八年级数学下册第十六章分式知识点总结整理版.pdf
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1、分式的知识点解析与培优 一、 分式的定义:如果 A、B表示两个整式,并且B中含 有字母,那么式子 B A 叫做分式。 二、 判断分式的依据: 例:下列式子中, yx 15 、8a 2b、- 23 9a 、 yx ba 2 5 、 4 3 22 ba 、2- a 2 、 m 1 、 6 5xy x 1 、 2 1 、 2 1 2 x 、 xy3 、 yx 3 、 m a 1 中分式的个数为() A、 2 B、 3 C、 4 D、 5 练习题:( 1)下列式子中,是分式的有 . (1) 27 5 x x ; 1 23 x ; 2 5a a ; 2 2xx ; 2 2 b b ; . (7) 7 8
2、 x (8) 3 y y (9) 2 3 4x 二、分式有意义的条件是分母不为零;【B0】 分式没有意义的条件是分母等于零;【B=0】 分式值为零的条件分子为零且分母不为零。【B 0且 A=0 即子零母不零】 例 2. 注意: (1 2 x0) 例 1:当 x 时,分式 5 1 x 有意义; 例 2:分式 x x 2 12 中,当_x时,分式没有意义 例 3:当 x 时,分式 1 1 2 x 有意义。 例 4:当 x 时,分式 1 2 x x 有意义 例 5:x,y满足关系时,分式 xy xy 无意义; 例 6:无论 x 取什么数时, 总是有意义的分式是() A 1 2 2 x x B. 12
3、x x C. 1 3 3 x x D. 2 5 x x 例 7:使分式 2x x 有意义的x 的取值范围为() A2xB2xC2xD2x 例 8:分式 )3)(1( 2 xx x 无意义,则x 的值为() A. 2 B.-1 或-3 C. -1 D.3 三、分式的值为零: 使分式值为零:令分子=0 且分母 0,注意:当分子 等于 0 时,看看是否使分母=0 了,如果使分母=0 了, 那么要舍去。 例 1:当 x 时,分式 1 21 a a 的值为 0. 例 2:当 x 时,分式 1 1 2 x x 的值为 0. 例 3:如果分式 2 2 a a 的值为零 ,则 a 的值为 ( ) A. 2B.
4、2 C.-2 D以上全不对 例 4: 能使分式 1 2 2 x xx 的值为零的所有x的值是 () A. x=0 B.x-1 C.x=0 或 x=1 D.0x或1x 例 5: 要使分式 65 9 2 2 xx x 的值为 0, 则 x 的值为() A.3 或-3 B.3 C.-3 D 2 例 6:若01 a a ,则 a 是( ) A.正数B.负数C.零D.任意有理数 例 9:当 X= 时,分式 2 2 1 2 x xx 的值为零。 例 10:已知 1 x - 1 y =3,则 535 2 xxyy xxyy = 。 三、分式的基本性质:分式的分子与分母同乘或除以 一个不等于0 的整式,分式的
5、值不变。 例 1: abya xy ; zyzy zyx 2 )( 3 )(6 ; 如果 7 5 )13( 7 ) 13( 5 a a 成立 ,则 a 的取值范围是 _; CB CA B A CB CA B A 22 2 xy xy 0C 例 2: 例 3:如果把分式 ba ba2 中的 a 和 b 都扩大 10 倍,那么分 式的值() A、扩大 10 倍 B、缩小 10 倍 C、是原来的20 倍 D、不变 例 4:如果把分式 yx x10 中的 x,y 都扩大 10 倍,则分式 的值() A扩大 100 倍 B扩大 10 倍 C不变 D缩小到原来的 10 1 例 5:如果把分式 yx xy
6、中的 x 和 y 都扩大 2 倍,即分式 的值() A、扩大 2 倍;B、扩大 4 倍; C、不变; D 缩小 2 倍 例 6:如果把分式 yx yx 中的 x 和 y 都扩大 2 倍,即分式 的值() A、扩大 2 倍;B、扩大 4 倍; C、不变; D 缩小 2 倍 例 7:如果把分式 xy yx 中的 x 和 y 都扩大 2 倍,即分式 的值() A、扩大 2 倍; B、扩大 4 倍;C、不变;D 缩小 2 1 倍 例 8:若把分式 x yx 2 3 的 x、y 同时缩小12 倍,则分式的 值() A扩大 12 倍 B缩小 12 倍 C不变D缩小 6 倍 例 9:若 x、y 的值均扩大为
7、原来的2 倍,则下列分式的 值保持不变的是() A、 y x 2 3 B、 2 2 3 y x C、 y x 2 3 2 D、 2 3 2 3 y x 例 10:根据分式的基本性质,分式 ba a 可变形为 () A. ba a B. ba a C. ba a D. ba a 例 11:不改变分式的值,使分式的分子、分母中各项 系数都为整数, 05.0 012.02.0 x x ; 例 12:不改变分式的值,使分子、分母最高次项的系 数为正数, 2 1 1 xx x = 。 例 13. 不改变分式 2 3 23 523 xx xx 的值,使分子、分母 最高次项的系数为正数,则是(? ) 。 四
8、、分式的约分:关键先是分解因式。 分式的约分及最简分式: 约分的概念:把一个分式的分子与分母的公 因式约去,叫做分式的约分 分式约分的依据:分式的基本性质 分式约分的方法:把分式的分子与分母分解 因式,然后约去分子与分母的公因式 约分的结果:最简分式(分子与分母没有公 因式的分式,叫做最简分式) 约分主要分为两类:第一类:分子分母是单项 式的,主要分数字,同字母进行约分。 第二类:分子分母是多项式的,把分子分母能 因式分解的都要进行因式分解,再去找共同的 因式约去。 例 1: 下列式子 (1) yxyx yx1 22 ; ( 2) ca ba ac ab ; (3) 1 ba ab ;(4)
9、yx yx yx yx 中正确的是 () A 、1 个 B 、 2 个 C、 3 个 D、 4 个 例 2:下列约分正确的是() A、 3 2 6 x x x ; B、 0 yx yx ; C、 x xyx yx1 2 ;D、 2 1 4 2 2 2 yx xy 例 3:下列式子正确的是( ) A 0 2 2 yx yxB. 1 ya ya C. x zy x z x y D.0 a dcdc a dc a dc 例 4:下列运算正确的是() A、 aa abab B 、 241 2xx C、 2 2 aa bb D、 111 2mmm 例 5:化简 2 2 9 3 m mm 的结果是() A
10、. 3m m B. 3m m C. 3m m D. m m 3 )( 1 33 2 ba ab )( cb a cb 例7:约分: 2 2 6 4 xy yx ; 9 3 2 x x = ; xyxy 1 3 2 ; yx yx yx 53 6.0 3 1 5 1 。 例 8:约分: 2 2 4 44 a aa ; yx xy 2 16 4 )( )( bab baa ; 2 )(yx yx 22 yx ayax ; 168 16 2 2 xx x ; 62 9 2 x x 23 3 14 _ 21 a bc a bcba ab 2 20 5 2 9 _ 3 m m96 9 2 2 xx x
11、_ 例 9:分式 3a 2a 2 , 22 ba ba , )ba(12 a4 , 2x 1 中,最简分式 有( )A1 个 B 2 个 C3 个 D4 个 例 8. 分式 43 4 yx a , 2 4 1 1 x x , 22 xxyy xy , 2 2 2 2 aab abb 中是最 简分式的有() 。 例 9. 约分: (1) 2 2 69 9 xx x ;(2) 2 23 2mm mm 例 10. 通分: ( 1) 2 6 x ab , 2 9 y a bc ; (2) 2 1 21 a aa , 2 6 1a 例 11. 已知 x 2+3x+1=0,求 x2+ 2 1 x 的值 例
12、 12. 已知 x+ 1 x =3,求 2 42 1 x xx 的值 四、分式的通分及最简公分母: 通分:主要分为两类:第一类:分母是单项式;第二类: 分母是多项式(要先把分母因式分解) 分为三种类型: “二、三”型; “二、四”型; “四、六” 型等三种类型。 “二、三”型:指几个分母之间没有关系,最简公分 母就是它们的乘积。 例如: 22 2 x x x 最简公分母就是22 xx。 “二、四”型:指其一个分母完全包括另一个分母, 最简公分母就是其一的那个分母。 例如: 42 2 2 x x x 最简公分母就是 224 2 xxx “四、六”型:指几个分母之间有相同的因式,同时 也有独特的因
13、式,最简公分母要有独特的;相同的都 要有。 例如: 2 2 22xxx x 最简公分母是:22xx 这些类型自己要在做题过程中仔细地去了解和应用, 仔细的去发现之间的区别与联系。 例 1:分式 nmnmnm 2 , 1 , 1 22 的最简公分母 () A)( 22 nmnm B 222 )(nm C )()( 2 nmnm D 22 nm 例 2:对分式 2 y x , 2 3 x y , 1 4xy 通分时,最简公分母 是() Ax 2y B 例 3:下面各分式: 2 2 1x xx , 22 xy xy , 1 1 x x , 22 22 xy xy , 其中最简分式有()个。 A. 4
14、 B. 3 C. 2 D. 1 例 4:分式 4 1 2 a , 42a a 的最简公分母是. 例 5:分式 a 与 1 b 的最简公分母为_; 例 6:分式 xyxyx 222 1 , 1 的最简公分母为。 五、分式的运算:分式的乘,除,乘方以及加减 分式的乘法:乘法法测: b a d c = bd ac . 分式的除法:除法法则: b a d c = b a c d = bc ad 分式的乘方:求n 个相同分式的积的运算就是分式的乘 方,用式子表示就是( b a ) n 分式的乘方,是把分子、分母各自乘方. 用式子表示为: ( b a ) n= n n b a (n 为正整数 ) 分式的加
15、减法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分 子相加减。异分母的分式相加减,先通分,变为同分母分 式,然后再加减。 混合运算 : 运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用 运算率简算。 例题: 计算: (1) 7 4 6 2 39 25 15 26 y x x x (2) a aa 1 (3) 2 422 2 aab aba aba ba (4) 4 25 5 2 2 2 x x x x (5) 2 1 44 1 2 2 a a aa a (6) a b ab 2 3 6 2 (7) 2xy xyx xy (8) 22 2 21 10 6 5 3 2 x y x y y x (9) 2 22 1
16、3 (1) 69 xx x xxxx (10) 2 2 12 1 441 aa a aaa 求值题: (1)已知: 4 3 y x ,求 xyx yxy yxyx yx 2 2 22 22 2 的值。 (2)已知:xyyx39,求 22 22 yx yx 的值。 (3)已知:3 11 yx ,求 yxyx yxyx 2 232 的值。 乘方例题: 计算: (1) 2 3 2 () 3 y x (2) 5 2 b a = (3) 3 2 3 2 3 x y = (4) 3 2 2 2a b = (5) 4 3 2 2 ab a b b a (6) 22 2 2 1 1 11a a a a a a
17、a (7)已知:032510 2 yxx求 yxy xx 22 2 的值。 (8).当分式 2 1 1x - 2 1x - 1 1x 的值等于零时,则 x=_。 (9) 已知 a+b=3, ab=1,则 a b + b a 的值等于 _。 (10).先化简,再求值: 3 a a - 2 6 3 a aa + 3 a ,其中 a= 3 2 。 8、分式的加减: 分式加减主体分为:同分母和异分母分式加减。 1、同分母分式不用通分,分母不变,分子相加减。 2、 异分母分式要先通分,在变成同分母分式就可以了。 通分方法:先观察分母是单项式还是多项式,如果是 单项式那就继续考虑是什么类型,找出最简公分母
18、, 进行通分;如果是多项式,那么先把分母能分解的要 因式分解,考虑什么类型,继续通分。 分类:第一类:是分式之间的加减,第二类:是整式 与分式的加减。 例 1: m n m 22 = 例 2: 1 4 1 32 2 2 2 2 a a a a = 例 3: xy x yx y = 例 4: 222222 22 yx x xy y yx yx = , abab acadbcadbc cccbdbdbdbd 例 5 计算: (1) 41 33 m mm (2) ab b ba a (3) 2 2 2 2 )()(ab b ba a (4) 2 2 53a b ab 2 2 35a b ab 2 2
19、 8a b ab . 例 6:化简 1 x + 1 2x + 1 3x 等于() A 1 2x B 3 2x C 11 6x D 5 6x 例 7: c a b c a b ( 2) 2 21 42 a aa (2) x x x x 3)3( 3 2 (4) xxx x x x1 3 6 3 2 (5) 2 21 2 a aa 2 2 4 a a (6) 1 1 a a a (7) 2 1 1 x x x (8) 22 ab ab ba b (9) x x xx2 1 4 4 2 1 2 (10) 2 12 9a + 2 3a . 例 8:计算 1 1 a a a的结果是() A 1 1 a
20、B 1 1 a C 1 1 2 a aa D 1a 例 9:请先化简: 2 12 24 x xx ,然后选择一个使原式 有意义而又喜欢的数代入求值. 例 10: 已知:034 2 xx求 44 21 2 2 xx x x x 的值。 9、分式的混合运算: 例 1: 44 2 16 4 2 x x xx 例 2: 34 12 1 3 1 1 2 2 2 xx xx x x x 例 3: 2 2 2 ) 2 2 2 2 ( x xx x x x x 例 4: 13 4 2 x x x 例 5: 11 1 1 x x x 例 6: 22 22 442 1 yxyx yx yx yx 例 7: xxx
21、 x xx x1 12 1 22 例 8: x x xx x xx x4 ) 44 1 2 2 ( 22 10、分式求值问题: 例 1:已知 x 为整数,且 2 3x + 2 3x + 2 218 9 x x 为整数, 求所有符合条件的x 值的和 . 例2: 已 知x 2, y 1 2 , 求 22 2424 ()()xyxy 11 xyxy 的值 . 例 3:已知实数x 满足 4x 2-4x+l=O ,则代数式 2x+ x2 1 的值为 _ 例4 : 已 知 实 数a满 足a2 2a 8=0 , 求 34 12 1 3 1 1 2 2 2 aa aa a a a 的值 . 例 5:若 1 3
22、x x 求 1 24 2 xx x 的值是() A 8 1 B 10 1 C 2 1 D 4 1 例 6:已知 11 3 xy ,求代数式 2142 2 xxyy xxyy 的值 例 7:先化简,再对a取一个合适的数,代入求值 2 2 1369 324 aaaa aaa 练习题: (1) 168 4 2 2 xx xx ,其中 x=5. (2) 16 168 2 2 a aa , 其中 a=5 (3) 22 2 2baba aba , 其中 a=-3,b=2 (4) 2 1 44 1 2 2 a a aa a ;其中 a=85; (5) x x xx x xx x4 ) 44 1 2 2 (
23、22 ,其中 x= -1 (6)先化简,再求值: 3 24 x x (x+2 5 2x ).其中 x 2. (7) (8)先化简, 2 11 1 x xx ,再选择一个你喜欢的数 代入求值 11、分式其他类型试题: 例 1:观察下面一列有规律的数: 3 2 , 8 3 , 15 4 , 24 5 , 35 6 , 48 7 ,, 根据其规律可知第个数应是(n为正 整数) 例 2:观察下面一列分式: 2345 124816 ,., x xxxx 根 据 你 的 发 现 , 它 的 第8 项 是, 第n 项 是。 例 3:当 x=_时,分式 x5 1 与 x32 10 互为相反数 . 例 4:在正
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