分解质因数(一).教师版.pdf
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1、专业文档 珍贵文档 1.能够利用短除法分解 2.整数唯一分解定理:让学生自己初步领悟“ 任何一个数字都可以表示为. 的结构, 而且 表达形式唯一” 一、质因数与分解质因数 ( 1) .质因数: 如果一个质数是某个数的约数,那么就说这个质数是这个数的质因数. ( 2) .互质数: 公约数只有1 的两个自然数,叫做互质数. ( 3) .分解质因数:把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数. 例如: 30235 .其中 2、3、5 叫做 30 的质因数 .又如 2 1222323 ,2、3 都叫做 12 的质因数, 其中后一个式子叫做分解质因数的标准式,在求一个数约数的个数和约数的和的时
2、候都要用到这个标准式.分 解质因数往往是解数论题目的突破口,因为这样可以帮助我们分析数字的特征. ( 4) .分解质因数的方法:短除法 例如: 212 2 6 3 , (是短除法的符号)所以 12223 ; 二、唯一分解定理 任何一个大于1 的自然数n 都可以写成质数的连乘积,即: 312 123 k aaaa k npppp其中为质数, 12k aaa 为自然数,并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式. 例如:三个连续自然数的乘积是210,求这三个数. 分析: 210=2 3 5 7, 可知这三个数是5、 6 和 7. 三、部分特殊数的分解 111337;1001711 13 ;1
3、111141271;1000173137; 199535719 ; 1998233337 ; 200733223; 2008222251; 101013713 37 . 模块一、分解质因数 【例1】分解质因数20034= 。 【考点】分解质因数【难度】 1 星【题型】填空 【关键词】走美杯,决赛,5 年级,决赛,第2 题, 10 分 例题精讲 知识点拨 教学目标 5-3-4. 分解质因数(一) 专业文档 珍贵文档 【解析】 原式 3 23753 【答案】 3 23753 【例2】三个连续自然数的乘积是210 ,求这三个数是多少? 【考点】分解质因数【难度】 1 星【题型】填空 【解析】 210
4、 分解质因数:2102357 ,可知这三个数是5 、 6 和 7 。 【答案】 5 、 6和 7 【例3】两个连续奇数的乘积是111555,这两个奇数之和是多少? 【考点】分解质因数【难度】 2 星【题型】填空 【解析】 111555分解质因数: 1115553353767( 3337 )( 567 )333335,所以和为 668.本讲 不仅要求学生熟练掌握分解质因数,而且要注意一些技巧,例如本题中的111337 。 【答案】 668 【巩固】已知两个自然数的积是35,差是 2,则这两个自然数的和是_. 【考点】分解质因数【难度】 2 星【题型】填空 【关键词】希望杯,四年级,二试,第8 题
5、 【解析】 35=1 35=5 7,5、7 差 2,两个自然数的和是5+7=12 【答案】12元 【例4】今年是 2010 年,从今年起年份数正好为三个连续正整数乘积的第一个年份是。 【考点】分解质因数【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】而思杯,6 年级, 1 试,第 3 题 【解析】 11 12131716 , 1213 14 2184 ,所以是2184 【答案】 2184 【例5】如果两个合数互质,它们的最小公倍数是126,那么,它们的和是 【考点】分解质因数【难度】 2 星【题型】填空 【关键词】迎春杯,五年级,初赛,第3题 【解析】 2 126237 ,因为两个数互质且都是合数,所
6、以这两个数只能为 9 和 14,它们的和为23 【答案】 23 【例6】4 个一位数的乘积是360,并且其中只有一个是合数,那么在这4 个数字所组成的四位数中,最大 的一个是多少? 【考点】分解质因数【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 将 360 分解质因数得360222335 ,它是 6 个质因数的乘积.因为题述的四个数中只有一个 是合数,所有该合数必至少为633 个质因数的积,又只有3 个 2 相乘才能是一位数,所以这4 个乘数分别为3,3,5, 8,所组成的最大四位数是8533. 【答案】 8533 【例7】已知 5 个人都属牛,它们年龄的乘积是589225,那么他们年龄的和为多少?
7、 【考点】分解质因数【难度】 2 星【题型】解答 【解析】基本思路与上题一样,重点还是在“1”这个因数的使用上,所以分解因数得到 5892251 13253749 ,五个人的年龄和为125 岁。 【答案】 125 岁 【例8】如 果 两 个 自 然 数 的 和 与 差 的 积 是23, 那 么 这 两 个 自 然 数 的 和 除 以 这 两 个 数 的 差 的 商 是 _。 【考点】分解质因数【难度】 2 星【题型】填空 【关键词】希望杯,4 年级,初赛, 4 题 专业文档 珍贵文档 【解析】 根据题意列式子如下:23abab,因为 23分解质因数是 1与 23,所以23,1abab , 根据
8、和差关系算出12a,11b,所以这两个自然数的和除以这两个自然数的差的商为23, 【答案】 23 【例9】2004720 的计算结果能够整除三个连续自然数的乘积,这三个连续自然数之和最小是多少? 【考点】分解质因数【难度】 2 星【题型】解答 【解析】首先分解质因数,20047202222357167,其中最大的质因数是167,所以所要求 的三个连续自然数中必定有167 本身或者其倍数. 16535 1,166283 ,16822237 , 1691313,所以 165166 167, 166167 168 ,167168 169都没有4 个 2,不满足题意.说明 167不可行.尝试3341
9、,335567,336222237, 3343353362222235767167 ,包括了2004720 中的所有质因数,所以这组 符合题意,以此三数之和最小为1005. 【答案】 1005 【例10】 A 是乘积为2007 的 5 个自然数之和,B 是乘积为2007 的 4 个自然数之和。那么A、B 两数之差的 最大值是。 【考点】分解质因数【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】华杯赛,五年级,决赛,第8 题, 10 分 【解析】 2007=11 3 3 223=11 1 9 223=11 1 3 669=1 1 1 1 2007,所以 A 的可能值是231 或 235 或 675 或
10、2011,又 2007=1 3 3 223=1 1 9 223=1 1 3 669=1 1 1 2007,所以 B 的可能值是230 或 234 或 674 或 2010,A、 B两数之差的最大值为2011230=1781。 【答案】 1781 【例11】 (老师可以先引入:小明一家四兄弟,大哥叫大毛,二哥叫二毛,三哥叫三毛,那老四叫什么?) 大毛、 二毛、 三毛、 小明四个人, 他们的年龄一个比一个大2岁,他们四个人年龄的乘积是48384 。 问他们四个人的年龄各是几岁? 【考点】分解质因数【难度】 2 星【题型】填空 【解析】 题中告诉我们,48384 是四个人年龄的乘积,只要我们把483
11、84 分解质因数,再按照每组相差2 来 分成四个数相乘,这四个数就是四个人的年龄了。 4838428337(223)(27)24(232)12141618 ,由此得出这四个人的年龄分别 是 12 岁、 14 岁、 16 岁、 18 岁。由题意可知,这四个数是相差2 的四个整数。它们的积是偶数, 当然这四个数不是奇数,一定是偶数。又因为48384 的个位数字不是0,显然这四个数中,没有 个位数字是0 的,那么这四个数的个位数字一定是2、4、6、8。又因为 4 1048384 ,而 4 48 38 42 0, 所以可以断定,这四个数一定是12、14、16、18。也就是说,这四个人的年龄分别是12
12、岁、 14 岁、 16 岁、 18 岁。答:这四个人的年龄分别是12 岁、 14 岁、 16 岁、 18 岁。 【答案】 12 岁、 14 岁、 16 岁、 18 岁 【例12】 甲数比乙数大5 ,乙数比丙数大5 ,三个数的乘积是6384 ,求这三个数? 【考点】分解质因数【难度】 2 星【题型】解答 【解析】将 6384 分解质因数,638422223719 ,则其中必有一个数是19或 19 的倍数;经试算, 1951427 ,195242223 , 恰好 1419246384 ,所以这三个数即为14,19,24. 一般象这种类型的题,都是从最大的那个质因数去分析.如果这道题里19不符合要求
13、, 下一个该考虑 38 ,再下一个该考虑57 ,依此类推 【答案】14, 19,24 【例13】 四个连续自然数的乘积是3024,这四个自然数中最大的一个是多少? 【考点】分解质因数【难度】 2 星【题型】填空 专业文档 珍贵文档 【解析】分解质因数 43 3024237,考虑其中最大的质因数7,说明这四个自然数中必定有一个是7 的倍 数.若为 7,因 3024 不含有质因数5,那么这四个自然数可能是6、7、8、9 或 7、8、9、 10(10 仍含 有 5,不行 ),经检验6、7、8、9 恰符合 . 【答案】 9 【例14】 植树节到了,某市举行大型植树活动,共有1430 人参加植树,要把人
14、数分成相等的若干队,且每 队人数在100 至 200 之间,则有分法() 。 A、3 种B、7 种C、 11种D、13 种 【考点】分解质因数【难度】 3 星【题型】选择 【关键词】华杯赛,五年级,初赛,第4 题 【解析】 只要找到 100 到 200 之间可以整除1430 的数即可。 1430 可分解成2,5,11,13 的乘积,所以可以 按每组 110 人, 130 人, 143 人分组,共有3 个方案。所以答案为A 【答案】A 【例15】 a、b、c、d、e 这五个无数各不相同,它们两两相乘后的积从小到大排列依次为:3, 6,15,18, 20,50, 60,100,120, 300.那
15、么,这五个数中从小大大排列第2 个数的平方是_。 A1 B. 3 C. 5 D. 10 【考点】分解质因数【难度】 5 星【题型】选择 【关键词】迎春杯,中年级,复试,2 题 【解析】D , 解:设abcde 。由3,6abac推知2cb ;由120,300cede推知 5 5 2 dcb 。 2 22bcbbb , 2 55bdbbb , 2 2510cdbbb 。在 15,18, 20, 50, 60,100中,满足2 :5:10 的 三个数是 20,50,100, 所以 2 1001010b。 【答案】 D 【例16】 a、b、c、d、e这五个数各不相同,他们两两相乘后的积从小到大排列依
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