完全平方数及应用(一).教师版.pdf
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1、专业文档 珍贵文档 1.学习完全平方数的性质; 2.整理完全平方数的一些推论及推论过程 3.掌握完全平方数的综合运用。 一、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0,1, 4,5,6,9。不可能是2,3,7, 8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数,约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数 p 整除完全平方数 2 a ,则 p 能被 a 整除。 2.性质 性质 1:完全平方数的末位数字只可能是0, 1,4,5,6,9 性质 2:完全平方数被3,4,5,8, 16除的余数一定是完全平方数 性质 3:自然数 N为完全
2、平方数自然数 N约数的个数为奇数因为完全平方数的质因数分解中每个质因 数出现的次数都是偶数次,所以,如果p是质数, n是自然数, N是完全平方数,且 21 | n pN,则 2 | n pN 性质 4:完全平方数的个位是6它的十位是奇数 性质 5:如果一个完全平方数的个位是0,则它后面连续的0的个数一定是偶数如果一个完全平方数的个 位是 5,则其十位一定是2,且其百位一定是0,2,6中的一个 性质 6:如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间,则它不是完全平方数 3.一些重要的推论 1.任何偶数的平方一定能被4 整除;任何奇数的平方被4(或 8)除余 1.即被 4 除余 2 或 3 的数一定
3、 不是完全平方数。 2.一个完全平方数被3 除的余数是0或 1.即被 3 除余 2 的数一定不是完全平方数。 3.自然数的平方末两位只有:00,01,21,41,61,81,04,24,44,64,84,25,09,29,49,69, 89,16,36,56, 76,96。 4.完全平方数个位数字是奇数(1,5, 9)时,其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数(0,4)时,其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为6 时,其十位数字必为奇数。 7.凡个位数字是5 但末两位数字不是25 的自然数不是完全平方数;末尾只有奇数个“ 0”的自然数不是 完全平方数;个位数字为1
4、,4,9 而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 3.重点公式回顾:平方差公式: 22 ()()abab ab 模块一、完全平方数计算及判断 例题精讲 知识点拨 教学目标 5-4-4. 完全平方数及应用 (一) 专业文档 珍贵文档 【例1】已知: 1234567654321 49 是一个完全平方数,求它是谁的平方? 【考点】完全平方数计算及判断【难度】 2 星【题型】解答 【解析】我们不易直接求解, 但是其数字有明显的规律,于是我们采用递推(找规律 )的方法来求解: 121 2 11 ; 12321 2 111 ; 1234321 2 1111 , 于 是 , 我 们 归 纳 为1234n
5、4321= 2 (1111) n个1 , 所 以 , 1234567654321:11111112;则, 1234567654321 49=11111112 72=77777772所以,题中原式乘积 为 7777777 的平方 【答案】 7777777 【例2】1234567654321(1234567654321) 是的平方 【考点】完全平方数计算及判断【难度】 2 星【题型】填空 【关键词】祖冲之杯 【解析】 2 12345676543211111111 , 2 12345676543217 , 原式 22 (1111111 7)7777777 【答案】 7777777 【例3】已知自然数
6、n满足: 12! 除以n得到一个完全平方数,则n的最小值是。 【考点】完全平方数计算及判断【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】学而思杯,6 年级,第9 题 【解析】 (法 1)先将12!分解质因数: 1052 12!235711 ,由于 12! 除以n得到一个完全平方数,那么 这 个 完 全 平 方 数 是 12! 的 约 数 , 那 么 最 大 可 以 为 1042 235, 所 以n最 小 为 1042 12!2353711231。 (法2) 12! 除以n得到一个完全平方数,12! 的质因数分解式中3、 7 、11的幂次是奇数,所以n的 最小值是 3711231。 【答案】 231
7、【例4】有一个正整数的平方,它的最后三位数字相同但不为0,试求满足上述条件的最小的正整数 【考点】完全平方数计算及判断【难度】 3 星【题型】解答 【解析】平方数的末尾只能是0, 1,4,5,6,9,因为 111, 444,555,666,999 都不是完全平方数,所以 所求的数最小是4 位数考察1111,1444 可以知道 14443838,所以满足条件的最小正整数 是1444 【答案】 1444 【例5】A 是由 2002 个“4”组成的多位数,即 20024 4444 个 ,A 是不是某个自然数B 的平方?如果是,写出B; 如果不是,请说明理由 【考点】完全平方数计算及判断【难度】 3
8、星【题型】解答 【解析】略 【答案】 2 200242002 444421111A 个个1 如果 A 是某个自然数的平方,则 2002 1111 个1 也应是某个自然数的平方, 并且是某个奇数的平方由奇数的平方除以4 的余数是1 知,奇数的平方减1 应是 4 的倍数, 而 20022001 1111111110 个1个 1 不是4的倍数,矛盾,所以A 不是某个自然数的平方 【巩固】A是由 2008 个“ 4” 组成的多位数,即444 2008个4 ,A是不是某个自然数B的平方?如果是,写出B;如 果不是,请说明理由 【考点】完全平方数计算及判断【难度】 3 星【题型】解答 【解析】略 【答案】
9、不是 2 4442111A 2008个1 2008个4 假设A是某个自然数的平方,则111 2008个 1 也应是某个自然数的平方,并且 是某个奇数的平方由奇数的平方除以4 的余数是1 知,奇数的平方减1 应是4 的倍数,而 专业文档 珍贵文档 111 11110 2008个12007个1 不是 4 的倍数,与假设矛盾所以A不是某个自然数的平方 【例6】计算 1111 2004个1 2222 1002个 2 =A A,求 A 【考点】完全平方数计算及判断【难度】 4 星【题型】解答 【解析】此题的显著特征是式子都含有1111 n个1 ,从而找出突破口. 1111 2004个1 2222 100
10、2个2 =1111 1002个1 0000 1002个0 1111 1002个1 =1111 1002个1 ( 10000 1002个0 -1) =1111 1002个1 ( 9999 1002个9 ) =1111 1002个1 ( 1111 1002个1 3 3)= 2 A 所以, A 3333 1002个3 . 【答案】 3333 1002个3 【例7】 2 2004420038 444488889A 个个 ,求 A 为多少 ? 求是否存在一个完全平方数,它的数字和为2005? 【考点】完全平方数计算及判断【难度】 4 星【题型】解答 【解析】 本题直接求解有点难度,但是其数字有明显的规律
11、,于是我们采用递推(找规律 )的方法来求解: 注意到有 2004420038 444488889 个个 可以看成 48 444488889 n个n-1 个 ,其中 n2004; 寻找规律:当n=1 时,有 2 497 ; 当 n=2 时,有 2 448967 ; 当 n=3 时,有 2 444889667 于是,类推有 2004420038 444488889 个个 = 2 20036 66667 个 方法二:下面给出严格计算: 20044 20038 444488889 个 个 = 4 44440000 2004个2004个0 + 2004 8888 个8 +1; 则 4 44440000
12、2004个2004个0 + 2004 8888 个8 +1 1111 2004个1 (4 0 10000 2004个 +8)+1 1111 2004个1 4 ( 9 9999 2004个 +1)+8+1 1111 2004个1 4 ( 9 9999 2004个 )+12+1 2 (1111) 2004个1 36+12 1111 2004个1 +1 2 (1111) 2004个1 36+2 (6 1111 2004个1 )+1 22 (666661)(66667) 2004个 62003个6 由知 4 444488889 n个 n-1个8 2 66667 n-1 个6 ,于是数字和为(4n+8n
13、-8+9)=12 n+1;令 12n+1=2005 解得 n=167,所以 4 444488889 167个166个8 = 2 66667 166个6 。所以存在这样的数,是 4 444488889 167 个166个8 【答案】(1) 2 20036 66667 个 ,(2) 4 444488889 167个 166个8 = 2 66667 166个6 专业文档 珍贵文档 模块二、平方数特征 (1) 平方数的尾数特征 【例8】下面是一个算式:112123123412345123456 ,这个算式的得数 能否是某个数的平方? 【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】 3 星【题型】解答 【
14、关键词】华杯赛 【解析】判断一个数是否是某个数的平方,首先要观察它的个位数是多少平方数的个位数只能是0,1,4, 5,6,9,而 2,3,7,8 不可能是平方数的个位数这个算式的前二项之和为3,中间二项之和 的个位数为0,后面二项中每项都有因子2 和 5,个位数一定是0,因此,这个0 算式得数的个位数 是 3,不可能是某个数的平方 【答案】不是 【例9】一个数与它自身的乘积称为这个数的平方各位数字互不相同且各位数字的平方和等于49 的四位 数共有 _个 【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】 4 星【题型】填空 【关键词】学而思杯,5 年级,第10 题 【解析】 4914925 , 1,
15、2,3,5 全排列共有24个。 【答案】24 【例10】 用 19 这 9 个数字各一次,组成一个两位完全平方数,一个三位完全平方数,一个四位完全平方 数那么,其中的四位完全平方数最小是 【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】 5 星【题型】填空 【关键词】迎春杯,高年级,复试,11 题 【解析】四位完全平方数1234 35 21225,所以至少是 36 21296当四位完全平方数是 1296 时,另两个 平方数的个位只能分别为4,5,个位为 5 的平方数的十位只能是2,但数字 2 在 1296 中已经使用 当 四位完全平方数是37 21369 时,另两个平方数的个位只能分别为 4,5,
16、个位为 5 的平方数的十位一 样只能是2,还剩下7,8,而 784 恰好为 28 2所以,其中的四位完全平方数最小是 1369 【答案】 1369 【例11】 称能表示成1+2+3+ +K的形式的自然数为三角数,有一个四位数N,它既是三角数,又是完全 平方数, N= 。 【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】 5 星【题型】填空 【关键词】走美杯,初赛,六年级,第14 题 【解析】N=k(1+k)/2=m2 ,4 位数的话 2000=k (k+1)20000, 45=k=140,k=2n n*(2n+1)=N 。 n 与 2n+1 互质, 所以要均为平方数。 平方数末尾149650。 满
17、足要求的是4950。 23=n=70 发现没有: k=2n-1 , n(2n-1)=N 同上,满足要求是1650 找到 25 所以 k=49 , N=1225, m=35。 【答案】 1225 (2) 奇数个约数 指数是偶数 【例12】 在224,339,4416 ,5525,6636 , 等这些算是中, 4, 9,16,25, 36, 叫做完全平方数。那么,不超过2007 的最大的完全平方数是_。 【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】 2 星【题型】填空 【关键词】希望杯,四年级,复赛,第4 题, 5 分 【解析】 45 45=2025;44 44=1936,所以最大的是1936. 【答案
18、】 1936 【例13】 写出从 360 到 630 的自然数中有奇数个约数的数 【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】 2 星【题型】解答 【解析】一 个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数 )加 1 后所得的乘积. 如:1400 严格分解质因数后为23 52 7,所以它的约数有(3+1) (2+1) (1+1)=4 3 2=24 个.(包括 1 和它 自身 ) 专业文档 珍贵文档 如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1 后均是奇 数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除 0
19、外) 有奇数个约数,反过来 ,有奇数个约数的数一定是完全平方数 由以上分析知,我们所求的为360630 之间有多少个完全平方数? 18 18=324,19 19=361,25 25=625,26 26=676, 所 以 在360 630之 间 的 完 全 平 方 数 为 192,202,212,222,232,242,252 即 360 到 630 的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625 【答案】 361,400,441,484,529,576,625 【例14】 1016与正整数a 的乘积是一个完全平方数,则a 的最小值是 _ 【考点】平方数特征之
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