小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)整理版.pdf
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1、模型三蝴蝶模型(任意四边形模型) 任意四边形中的比例关系( “蝴蝶定理”) : S4 S3 S2 S1 O D CB A 1243 :SSSS 或者 1324 SSSS 1243:AO OCSSSS 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型,一方面可以使不规则四边 形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 【例1】( 小数报竞赛活动试题) 如图,某公园的外轮廓是四边形ABCD,被对角线AC 、BD分成四个部分, AOB面积为 1 平方千米, BOC面积为 2 平方千米 ,COD的面积为3 平方千米,公园由陆地面积是
2、692 平方千米和人工湖组成,求人工湖的面积是多少平方千米? O D C B A 【分析】 根据蝴蝶定理求得3 121.5 AOD S平方千米,公园四边形ABCD的面积是1231.57.5平 方千米,所以人工湖的面积是7.56.920.58平方千米 【巩固】如图,四边形被两条对角线分成4 个三角形,其中三个三角形的面积已知, 求:三角形 BGC的面积;:AG GC ? A B C D G 32 1 【解析】 根据蝴蝶定理,123 BGC S,那么6 BGC S; 根据蝴蝶定理,:12 : 361: 3AG GC ( ? ) 【例2】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O( 如图所示 )。如果
3、三角形ABD的面积等于三角形BCD的 任意四边形、 梯形与相似模型 面积的 1 3 ,且2AO,3DO,那么CO的长度是DO的长度的 _倍。 A BC D O H G A BC D O 【解析】 在本题中,四边形ABCD为任意四边形,对于这种”不良四边形”,无外乎两种处理方法:利用已 知条件,向已有模型靠拢,从而快速解决;通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条 件:1:3 ABDBCD SS,这可以向模型一蝴蝶定理靠拢,于是得出一种解法。又观察题目中给出的已 知条件是面积的关系,转化为边的关系,可以得到第二种解法,但是第二种解法需要一个中介来改 造这个”不良四边形”,于是可以作AH垂直
4、BD于H,CG垂直BD于G,面积比转化为高之比。 再应用结论:三角形高相同,则面积之比等于底边之比,得出结果。请老师注意比较两种解法,使 学生体会到蝴蝶定理的优势,从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一::1:3 ABDBDC AO OCSS, 236OC , :6:32:1OC OD 解法二:作AHBD于H,CGBD于G 1 3 ABDBCDSS , 1 3 AHCG , 1 3 AODDOCSS, 1 3 AOCO , 236OC, :6:32:1OC OD 【例3】如图,平行四边形ABCD的对角线交于O点,CEF、OEF、ODF、BOE的面积依次是2、 4、4 和 6。求:求
5、OCF的面积;求GCE的面积 。 O G F E D CB A 【解析】 根据题意可知,BCD的面积为244616,那么BCO和CDO的面积都是1628, 所以OCF的面积为844; 由于BCO的面积为8,BOE的面积为6,所以OCE的面积为862, 根据蝴蝶定理,:2: 41: 2 COECOF EG FGSS,所以:1: 2 GCEGCF SSEG FG, 那么 112 2 1233 GCECEF SS 【例4】图中的四边形土地的总面积是52 公顷,两条对角线把它分成了4 个小三角形, 其中 2 个小三角形的 面积分别是6 公顷和 7 公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷? 7 6
6、7 6 E D C BA 【解析】 在ABE,CDE中有AEBCED,所以ABE,CDE的面积比为()AEEB:()CEDE 。同 理有 ADE,BCE的面积比为() :()AEDEBEEC 。所以有 ABESCDES=ADESBCES,也就是 说在所有凸四边形中,连接顶点得到2 条对角线,有图形分成上、下、左、右4 个部分,有:上、 下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。即6 ABE S=7 ADE S,所以有ABE与ADE的面积 比为7:6, ABE S= 7 3921 67 公顷, ADE S= 6 3918 67 公顷。 显然,最大的三角形的面积为21 公顷。 【例5】( 2008
7、年清华附中入学测试题) 如图相邻两个格点间的距离是1,则图中阴影三角形的面积 为。 C A B D O C A B D 【解析】 连接AD、CD、BC。 则可根据格点面积公式,可以得到ABC的面积为: 4 112 2 ,ACD的面积为: 3 313.5 2 , ABD的面积为: 4 213 2 所以:2:3.54: 7 ABCACD BO ODSS,所以 4412 3 471111 ABOABD SS 【巩固】如图,每个小方格的边长都是1,求三角形ABC的面积。 A B C D E 【解析】 因为:2:5BD CE,且BDCE,所以:2:5DA AC, 5 25 ABC S , 510 2 7
8、7 DBC S 【例6】( 2007 年人大附中考题) 如图,边长为1 的正方形ABCD中,2BEEC,CFFD,求三角形AEG 的面积 A BC D E F G A BC D E F G 【解析】 连接EF 因为2BEEC,CFFD,所以 1111 () 23212 DEFABCDABCD SSS 因为 1 2 AEDABCD SS,根据蝴蝶定理, 11 :6:1 2 12 AG GF, 所以 6613 6 77414 AGDGDFADFABCDABCD SSSSS 所以 1322 21477 AGEAEDAGDABCDABCDABCD SSSSSS, 即三角形AEG的面积是 2 7 【例7
9、】如图,长方形 ABCD中,:2:3BE EC , :1: 2DFFC ,三角形 DFG的面积为2平方厘米,求长 方形ABCD的面积 A BC D E F G A BC D E F G 【解析】 连接AE,FE 因为:2:3BE EC,:1: 2DFFC,所以 3111 () 53210 DEF ABCDABCDSSS长方形长方形 因为 1 2 AED ABCD SS长方形 , 11 :5:1 2 10 AG GF, 所以510 AGDGDF SS平方厘米, 所以12 AFD S平 方厘米因为 1 6 AFD ABCD SS长方形 ,所以长方形ABCD的面积是72平方厘米 【例8】如图,已知正
10、方形ABCD的边长为10 厘米,E为AD中点,F为CE中点,G为BF中点,求三角 形BDG的面积 A BC D E F G O A BC D E F G 【解析】 设BD与CE的交点为 O,连接BE、DF 由蝴蝶定理可知: BEDBCD EO OCSS,而 1 4 BEDABCD SS, 1 2 BCDABCD SS, 所以:1: 2 BEDBCD EO OCSS,故 1 3 EOEC 由于F为CE中点,所以 1 2 EFEC ,故:2:3EO EF,:1:2FO EO 由蝴蝶定理可知:1: 2 BFDBED SSFOEO,所以 11 28 BFDBEDABCDSSS , 那么 111 101
11、06.25 21616 BGDBFDABCD SSS(平方厘米) 【例9】如图,在ABC中,已知M、N分别在边AC、BC上,BM与AN相交于O,若AOM、ABO和 BON的面积分别是3、2、1,则MNC的面积是 N M O C B A 【解析】 这道题给出的条件较少,需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解 根据蝴蝶定理得 3 13 22 AOMBON MON AOB SS S S 设 MONSx ,根据共边定理我们可以得 ANMABM MNCMBC SS SS , 3 3 32 2 3 1 2 x x ,解得22.5x 【例10】( 2009 年迎春杯初赛六年级) 正六边形 123456 AA A
12、A A A 的面积是2009 平方厘米,123456 B B B B B B 分别 是正六边形各边的中点;那么图中阴影六边形的面积是平方厘米 B6 B5 B4 B3 B2 B1 A6 A5A4 A3 A2A1 O B6 B5 B4 B3 B2 B1 A6 A5A4 A3 A2A1 【解析】 如图, 设 62 B A 与13B A 的交点为 O,则图中空白部分由6个与 23 A OA 一样大小的三角形组成,只要求 出了 23 A OA 的面积,就可以求出空白部分面积,进而求出阴影部分面积 连接 63 A A 、 61 B B 、 63 B A 设 116 AB B 的面积为”1“,则1 2 6
13、BAB面积为”1“, 126 A A B 面积为”2“,那么636 A A B 面积为126A A B 的2倍,为”4“,梯形 1236 A A A A 的面积为224212,263 A B A 的面积为”6“,123 B A A 的 面积为2 根据蝴蝶定理, 126326 13 :1: 6 B A BA A B BOA OSS,故 2 3 6 16 A OA S , 123 12 7 B A A S, 所 以 231236 12 :12:1: 7 7 A OA A A A A SS梯形 ,即 23 A OA 的 面积 为梯形 1236 A A A A 面 积的 1 7 , 故为六 边形 12
14、3456 A A A A A A 面积的 1 14 ,那么空白部分的面积为正六边形面积的 13 6 147 ,所以阴影部分面积为 3 200911148 7 ( 平方厘米 ) 板块二梯形模型的应用 梯形中比例关系( “梯形蝴蝶定理”) : A B C D O b a S3 S2 S1 S4 22 13 :SSab 22 1324 :SSSSabab ab ; S的对应份数为 2 ab 梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道,通过构造模型,直接应用结 论,往往在题目中有事半功倍的效果( 具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明) 【例11】如图,
15、2 2S, 3 4S,求梯形的面积 S4 S3 S2 S1 【解析】 设 1 S 为 2 a 份, 3 S 为 2 b 份,根据梯形蝴蝶定理, 2 3 4Sb ,所以2b;又因为 2 2Sab,所以 1a;那么 2 1 1Sa, 4 2Sab,所以梯形面积 1234 12429SSSSS,或者根 据梯形蝴蝶定理, 22 129Sab 【巩固】 ( 2006 年南京智力数学冬令营) 如下图,梯形ABCD的AB平行于CD,对角线AC,BD交于O,已 知AOB与BOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米,那么梯形ABCD的面积是 _ 平方厘米 35 25 O AB CD 【解析】 根 据 梯 形
16、蝴 蝶 定 理 , 2 :25: 35 AOBBOC SSaab, 可 得:5:7a b, 再 根 据 梯 形 蝴 蝶 定 理 , 2222 :5 :725: 49 AOBDOCSSab, 所 以49DOCS( 平 方 厘 米 ) 那么 梯 形ABCD的 面 积 为 25353549144( 平方厘米 ) 【例12】梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O,已知梯形上底为2,且三角形ABO的面积等于三角 形BOC面积的 2 3 ,求三角形AOD与三角形BOC的面积之比 O A BC D 【解析】 根据梯形蝴蝶定理, 2 :2:3 AOBBOC SSab b,可以求出:2:3a b, 再根据梯形蝴
17、蝶定理, 2222 :2 :34:9 AODBOC SSab 通过利用已有几何模型,我们轻松解决了这个问题,而没有像以前一样,为了某个条件的缺乏而千 辛万苦进行构造假设,所以,请同学们一定要牢记几何模型的结论 【例 13】( 第十届华杯赛) 如下图,四边形ABCD中,对角线AC和BD交于O点,已知1AO,并且 3 5 ABD CBD 三角形的面积 三角形的面积 ,那么OC的长是多少? A B C D O 【解析】 根据蝴蝶定理, ABDAO CBDCO 三角形的面积 三角形的面积 ,所以 3 5 AO CO ,又1AO,所以 5 3 CO 【例14】梯形的下底是上底的1.5倍,三角形OBC的面
18、积是 2 9cm ,问三角形AOD的面积是多少? A BC D O 【解析】 根据梯形蝴蝶定理,:1:1.52:3a b, 2222 :2 :34:9 AODBOCSSab, 所以 2 4 cm AOD S 【巩固】如图,梯形ABCD中,AOB、COD的面积分别为1.2和2.7,求梯形ABCD的面积 O D C B A 【解析】 根据梯形蝴蝶定理, 22 :4:9 AOBACOD SSab,所以:2:3a b, 2 :3: 2 AODAOB SSab ab a, 3 1.21.8 2 AODCOBSS , 1.21.81.82.77.5 ABCD S梯形 【例15】如下图,一个长方形被一些直线
19、分成了若干个小块,已知三角形ADG的面积是11, 三角形BCH 的面积是23,求四边形EGFH的面积 H G F E DC B A H G F E DC B A 【解析】 如图,连结EF,显然四边形ADEF 和四边形BCEF 都是梯形,于是我们可以得到三角形EFG 的面 积等于三角形ADG 的面积; 三角形 BCH 的面积等于三角形EFH 的面积, 所以四边形EGFH 的面积 是112334 【巩固】 ( 人大附中入学测试题) 如图,长方形中,若三角形1的面积与三角形3 的面积比为4 比 5,四边形 2 的面积为36,则三角形1 的面积为 _ 321321 【解析】 做辅助线如下:利用梯形模型
20、,这样发现四边形2 分成左右两边,其面积正好等于三角形1 和三角 形 3,所以 1 的面积就是 4 3616 45 ,3 的面积就是 5 3620 45 【例 16】如图,正方形 ABCD面积为3平方厘米,M是AD边上的中点求图中阴影部分的面积 G M D C B A 【解析】 因为M是AD边上的中点,所以:1: 2AMBC,根据梯形蝴蝶定理可以知道 22 :1 : 1 2 : 12 :21: 2: 2 :4 AMGABGMCGBCG SSSS () (), 设1 AGM S份, 则123 MCD S份, 所以正方形的面积为1224312份,224S阴影份,所以:1: 3SS 阴影正方形 ,所
21、以1S阴影 平方厘米 【巩固】在下图的正方形ABCD中,E是BC边的中点,AE与BD相交于F点,三角形BEF的面积为1 平 方厘米,那么正方形 ABCD面积是 平方厘米 A BC D E F 【解析】 连接DE, 根据题意可知:1: 2BE AD, 根据蝴蝶定理得 2 129S梯形()(平方厘米 ) ,3 ECD S( 平 方厘米 ) ,那么12 ABCD S( 平方厘米 ) 【例17】如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中,,E F 是DC边上的三等分点,求阴影部分的面积 O FE DC B A 【解析】 因为,E F 是DC边上的三等分点,所以:1:3EFAB,设1 OEF S份,根据梯
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