第五周圆柱和圆锥的体积(含试题和答案).pdf
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1、1 【同步教育信息 】 一、本周主要内容 圆柱和圆锥的体积 二、本周学习目标 1、结合具体情境,让学生探索并掌握圆柱体积的计算方法,并能运用计算公式正 确计算圆柱体积或圆柱形容器的容积以及解决简单的实际问题。 2、通过转化的思想,在实验的基础上使学生理解和掌握圆锥体积公式,能运用公 式正确地计算圆锥的体积以及解决简单的实际问题。 3、通过圆柱、圆锥体积计算公式的推导、运用的过程,培养学生的观察、操作能 力和初步的空间观念,培养学生应用所学知识解决实际问题的能力,并体验数学问题的 探索性和挑战性,感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性,获得成功的喜悦。 三、考点分析 1、圆柱所占空间的大小是
2、圆柱的体积,圆柱的体积(容积)= 底面积 高, 用含有字母的式子表示是:V = sh 或者 V = r2h 。 2、圆锥所占空间的大小是圆锥的体积,圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的 三分之一。即V = 3 1 sh 或者 V = 3 1 r2h 。 【典型例题】 2 例 1、 (计算圆柱的体积)一个圆柱,底面周长9.42 分米,高20 厘米。求它的体 积? 分析与解: 求圆柱的体积,一般根据V = sh或者V = r2h ,题中没有给出底面 积,又没有给出底面半径,所以要先求出底面半径,同时题目中单位名称不统一,要注意化 单位 ,可以统一为分米,也可以统一为厘米。 20 厘米= 2 分米
3、底面半径: 9.42 3.14 2 = 1.5 (分米) 体积:3.14 1.52 2 = 14.13(立方分米) 答: 它的体积是14.13 立方分米。 点评:会使用圆柱体积计算公式是一个基本的要求。但知道圆柱体积计算公式的推 导过程也非常重要。 体积计算公式的推导过程和之前的圆柱的侧面积计算公式推导过程 一样,都用了转化的数学思想。 例 2、 (计算圆柱的容积)一个圆柱形的粮囤,从里面量得底面周长是9.42 米,高 是 2 米,每立方米稻谷约重545 千克,这个粮囤约装稻谷多少千克?(得数保留整千 克数)。 3 分析与解: 先通过底面周长求出底面半径,再求出底面积,进而求出容积。再去求 能
4、装稻谷多少千克。 3.14 (9.42 3.14 2)2 2 545 = 7700.85 7701 (千克) 答: 这个粮囤约装稻谷7701 千克。 点评: 虽然求容积的方法和求体积的方法相同,但并不意味着体积就是容积。体积 的数据是从外面量的, 而容积的数据要从里面量。所以一个物体的体积都比其容积要大。 例 3、 (计算和圆柱的体积相关的实际问题)有一个高为6.28 分米的圆柱形机件, 它的侧面展开正好是一个正方形,求这个机件的体积? 分析与解: 圆柱侧面展开是个正方形,说明圆柱的底面周长和高相等。先通过底面 周长求出底面积,再求体积。 3.14 (6.28 3.14 2)2 6.28 =1
5、9.7192(立方分米) 答: 这个机件的体积是19.7192立方分米。 点评: 圆柱侧面展开之后得到一个长方形,长是圆柱的底面周长,宽是圆柱的高。 在这儿展开之后是个正方形,就说明这个圆柱的底面周长和高相等。 例 4、 (综合题) 一种抽水机出水管的直径是1 分米, 管口的水流速度是每秒2 米, 1 分钟能抽水多少立方米? 4 分析与解: 每秒流出来的水的形状,可以看成是一个底面直径1 分米,高2 米的 圆柱,这个圆柱的体积就是1 秒种流出的水的体积,再乘60 得出 1 分钟抽水的体积。 1 分米= 0.1米 3.14 (0.12)2 2 = 0.0157(立方米) 0.0157 60 =0
6、.942(立方米) 答: 1 分钟能抽水0.942 立方米。 例 5、 (综合题) 把一根长4 米的圆柱形钢材截成两段,表面积比原来增加31.4 平 方厘米。这根钢材的体积是多少立方厘米? 分析与解: 长 4 米是圆柱的高,要求圆柱的体积还要知道底面积。把圆柱截成两 段,增加了两个底面的面积,即增加31.4 平方厘米,可以求出圆柱的底面积。 4 米 = 400厘米 31.4 2 = 15.7(平方厘米) 15.7 400 = 6280(立方厘米) 答: 这根钢材的体积是6280 立方厘米。 例 6、 (计算圆锥的体积)一个圆锥的底面半径是6 厘米,高是4 厘米,求它的体 积。 5 分析与解:
7、已知圆锥的底面半径、直径、周长时,都要先求出底面积,然后根据V = 3 1 sh 来计算圆锥的体积。在计算时,千万不要忘记“除以3”或“乘 3 1 ” 。 3 1 3.14 6 2 4 = 150.72(立方厘米) 答: 圆锥的体积是150.72立方厘米。 点评: 求圆锥的体积不能忘了最后要除以3。如果不除以3,求的就是和这个圆锥 等底等高的圆柱的体积,而不是圆锥的体积。计算时,可以先算 3 1 6 2 4,最后再乘 3.14 ,可以使计算简便,提高正确率。 例 7、 (解决和圆锥体积计算相关的实际问题)一个圆锥形沙堆高1.5 米,底面周 长是 18.84 米,每立方米沙约重1.7 吨,这堆沙
8、约重多少吨? 分析与解: 要求沙堆的质量,先要求沙堆的体积。沙堆是圆锥形,已知它的高和底 面周长,根据圆锥体积的计算公式,先求圆锥的底面积。 底面半径: 18.84 3.14 2 = 3 (米) 体积: 3 1 3.14 3 2 1.5 = 14.13(立方米) 沙堆的质量: 14.13 1.7 = 24.021(吨) 答: 这堆沙约重24.021吨。 6 例 8、判断:(1)圆锥的体积是圆柱体积的 3 1 。 () (2)如果一个圆锥的体积是一个圆柱体积的 3 1 ,那么它们等底等高。() 分析与解:(1)一个圆锥的体积是和它等底等高的圆柱体积的 3 1 ,这一结论是将 它的体积和它等底等高
9、的圆柱进行比较得到的。 ( 2)等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的 3 1 ;但圆锥的体积是圆柱体积的 3 1 ,并 不意味着它们等底等高。 例 9、 (综合题) 一个圆锥的底面半径是3 厘米,体积是75.36 立方厘米,高是多 少厘米? 分析与解: 要求圆锥的高,根据圆锥体积计算的公式,可以先用体积乘3,求出和 它等底等高的圆柱的体积,再除以底面积,即高= 体积 3 底面积,注意不能用 圆锥的体积直接除以底面积。也可以根据圆锥体积计算的公式列方程解答。 方法 1: 底面积: 3.14 3 2= 28.26 (平方厘米) 高: 75.36 3 28.26 = 8(厘米) 7 方法 2:设高是厘米
10、。 3 1 3.14 3 2 = 75.36 9.42 = 75.36 先算左边的 3 1 3.14 3 2 = 8 答: 高是 8 厘米。 点评: 通过体积去求圆锥的高时要注意先用体积乘3,求出与这个圆锥等底等高 的圆柱的体积,再除以底面积,求出高;也可以根据圆锥体积计算公式用方程解答。 例 10 、 (综合题) 把一个棱长为12 厘米的正方体木块加工成一个最大的圆锥,圆 锥的体积是多少立方厘米?削去的部分是多少立方厘米? 分析与解: 将正方体木块加工成一个最大的圆锥,圆锥的底面直径和高都等于正方 体的棱长。 正方体的体积:12 12 12 = 1728(立方厘米) 圆锥的体积: 3 1 3
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