组合与构造历届高中数学联赛真题分类汇编含详细答案.pdf
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1、组合与构造 2017A 三、 (本题满分50 分)将3333方格纸中每个小方格染三种颜色之一,使得每种颜色的小方 格的个数相等。若相邻两个小方格的颜色不同,则称他们的公共边为“分割边”。试求分割边条数的 最小值。 解析: 记分割边的条数为L.首先,将方格纸按如图所示分成三 个区域,分别染成三种颜色,粗线上均为分割边,此时共有56 条 分割边,即56L。 下面证明56L. 将方格纸的行从上至下依次记为 1 A, 2 A, 33 ,A,列从左至右依次记为 1 B, 2 B, 33 ,B,行 i A中方格出现的颜色数记为 i An, 列 i B中方格出现的颜色数记为 i Bn,三种颜色分别记为 1
2、c, 2 c, 3 c, 对于一种颜色 j c,设 i cn是表示含有 j c色方格的函数与列数之和. 记 色方格中不含 色方格中含有 , , ji ji ji cA cA cA 0 1 ,,同理定义 色方格中不含 色方格中含有 , , ji ji ji cB cB cB 0 1 ,, 则 3 1 33 1 3 1 33 1 3 1 33 1 , jij jjiji ij jiji i ii cncBcAcBcABnAn 由于染 j c色的方格有36333 3 12 个,设含有 j c色方格的行有a个,列有b个,则 j c色方格一定 在这a行和b列的交叉方格中,因此363ab.从而383632
3、2 abbacn i 即39 i cn.,3 ,2, 1j 由于在行 i A中有 i An种颜色的方格,因此至少有1 i An条分割边,同理在行 i B中有 i Bn种颜 色的方格,因此至少有1 i Bn条分割边,于是, 666611 3 1 33 1 33 1 33 1j j i ii i i i i cnBnAnBnAnL 下面分两种情形讨论. 当有一行或有一列全部方格同色时,不妨设有一行全为 1 c色,从而方格纸的33 列中均含有 1 c的方 格,由于 1 c的方格有363 个,故至少有11行中含有 1 c色方格。于是443311 1 cn。 由得566639394466 321 cnc
4、ncnL 没有一行或没有一列全部方格同色时,则对任意331i,均有2 i An,2 i Bn,从而由 知,566643366 33 1i ii BnAnL 综上可知,分割边条数的最小值为56。 2017A 四、 (本题满分50 分) 。设nm,均是大于1的整数,nm, n aaa, 21 是n个不超过m的 互不相同的正整数,且 n aaa, 21 互素。证明:对任意实数x,均存在一个i(ni1) ,使得 x mm xai )1( 2 ,这里y表示实数y到它最近的整数的距离。 证明: 首先证明两个引理: 引理 1:存在整数 n ccc, 21 ,满足1 2211nna cacac,并且mci,n
5、i1. 由 于 n aaa, 21 互 素 , 即1, 21n aaa, 有 裴 蜀 定 理 , 存 在 整 数 n ccc, 21 , 满 足 1 2211nna cacac。 下面证明,通过调整,存在一组 n ccc, 21 满足,且mci,记0, 211 mc in i ccccS, 0, 211 mc jn j ccccS。 如果0 1 S,那么存在1mci ,于是1 iic a,又 n aaa, 21 是大于1 的整数,故由可知, 存在0 j c,令 jii acc / , ijj acc / , kk cc / (nk1,jik,) ,则 1 / 2 / 21 / 1nna cac
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