考点14平面向量的运算(线性运算和坐标运算)-2016届高考文科数学必考考点专题分类训练.pdf
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1、【考点剖析】 1. 最新考试说明: (1)掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义 (2)掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义 (3)了解平面向量基本定理及其意义,会用平面向量基本定理解决简单问题 (4)掌握平面向量的正交分解及坐标表示 来源: 学 # 科#网Z#X#X#K (5)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 (6)理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 2. 命题方向预测: (1)平面向量的线性运算是考查重点共线向量定理的理解和应用是重点,也是难点题型以选择题、填 空题为主,常与解析几何相联系. (2)平面向量基本定理的应用及坐标表示下向量共线条件的应用是重点
2、向量的坐标运算可能单独命题, 更多的是与其他知识点交汇,其中以与三角和解析几何知识结合为常见常以选择题、填空题的形式出现, 难度为中、低档. 3. 课本结论总结: (1)向量的有关概念 向量:既有大小又有方向的量,两个向量不能比较大小. 零向量: 模为 0 的向量, 记作0, 其方向为任意的, 所以0与任意向量平行, 其性质有:0a=0,0+a=a. 单位向量:模为1 个长度单位的向量,与a方向相同的单位向量为 a |a | . 相等向量:长度相等且方向相同的向量,记作a=b. 相反向量:长度相等且方向相反的两个向量,a的相反向量为 -a,有 -(- a)= a. (2) 向量的线性运算 向量
3、运算定义法则 (或几何意义 ) 运算律 加法求两个向量和的运算 来源 :学| 科 |网 (1) 交换律:ab ba. (2)结合律: (a b) ca(b c) 减法 求a与b的相反向量b的 和的运算叫做a与b的差 三角形法则 aba(b) 数乘 求实数 与向量a的积的 运算 (1)| a| | |a| ;(2) 当 0时,a的方向与a的方 向相同; 当 0时,a的方 向与a的方向相反;当 0 时, a0 ( a) ( )a;( )aa a;(ab) ab (3) 平面向量基本定理 若a、b是平面内不共线的向量,向量c是平面内任意一个向量,则存在唯一实数对,x y,使xyc =a +b. (4
4、) 共线向量 共线向量概念:若两个非零向量a、b的方向相同或相反,则称a与b共线,也叫a与b平行,规定零向 量与任意向量共线.两个向量共线其所在的直线可能重合也可能平行. 共线向量定理:ab(b0)存在唯一实数,使得a=b. 若a=( 1 x, 1 y) ,b=( 2 x, 2 y) ,则ab 1 x 2 y- 2 x 1 y=0. (5) 平面向量的基本运算 若a=( 1 x, 1 y) ,b=( 2 x, 2 y) ,则ab=( 1 x 2 x, 1 y 2 y) , a=( 1 x, 1 y) , 若 A( 1 x, 1 y) ,B( 2 x, 2 y) ,则AB=( 2 x- 1 x,
5、 2 y- 1 y). 4. 名师二级结论: (1)若 A 、B、C三点共线且OAOBOC,则=1. (2)若向量,a b不共线,xayb,则0xy (3)C是线段 AB中点的充要条件是 1 () 2 OCOAOB. (4) 若 1122 (,),(,)A x yB xy,则线段AB的中点坐标为( 1212 , 22 xxyy ). (4)G 是 ABC的重心的充要条件为0GAGBGC. (5) 若 ABC的三个顶点坐标分别为 112233 (,),(,),(,)A x yB xyC x y,则 ABC重心坐标为 123123 (,) 33 xxxyyy (6) 已知 1122 (,),(,)
6、A x yB xy,且ACCB,则点 C的坐标为 1212 (,) 11 xxyy . 5. 课本经典习题: (1) 新课标 A版第 92 页,习题A组第 12 题 在 ABC中, 1 4 ADAB,DE BC,且与边 AC相交于点 E,ABC的中线 AM与 DE相交于点N,设ABa, AC=b,用a,b分别表示向量,AE BC DE DB EC DN AN. 【经典理由】本题考查了平面向量的加法、减法、实数与向量积等线性运算,具有代表性. (2) 新课标 A版第 101 页,练习第7 题 已知 A(2,3 ), B(4,-3),点 P在线段 AB的延长线上,且 3 | 2 APPB , 求点
7、 P的坐标 . 【经典理由】本题考查了平面向量实数与向量积的坐标运算及数形结合思想,是经典题型. 6. 考点交汇展示: 来源: 学科网 (1) 三角函数交汇 【2015 届北京重点中学8 月测试 10】设0 2 ,sin2 ,cosa , cos ,1b ,若ab,则 tan . (2) 与平面几何交汇 【2015 高考北京,理13】在ABC中,点M, N 满足2AMMC , BNNC 若 MNxAByAC , 则 x ;y 【考点分类】 热点 1 平面向量的线性运算 1.【2015 高考新课标1,文 2】已知点(0,1),(3,2)AB,向量( 4, 3)AC,则向量BC ( ) (A)(
8、7, 4)(B)(7, 4)(C)( 1,4)( D)(1,4) 2. 【2015 江苏高考, 6】 已知向量a=)1 ,2(, b=)2, 1(, 若 ma+nb=)8, 9(Rnm,), 则nm的值为 _. 3.【 2014 福建 , 文 10】设 M 为平行四边形ABCD 对角线的交点, O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一 点,则 OAOBOCOD等于 () 2.3.4AOMB OMC OMDOM 4. 【 2014 上海 , 文 14】已知曲线C: 2 4xy,直线 l:x=6.若对于点A(m,0),存在 C 上的点 P 和 l 上的点 Q 使得0APAQ,则 m 的取值范围为
9、 . 【方法规律】 1.判定两向量的关系式时,特别注意以下两种情况: 来源: 学|科| 网 (1)零向量的方向及与其他向量的关系. (2)单位向量的长度与方向. 2.对任意向量可以自由移动,且任意一组平行向量都可平移到一条直线上. 3.向量不能比较大小,但它的模可以比较大小 4.在进行向量的线性运算要能的转化到三角形法、多边形或平行四边形中,运用三角形法则构成“首尾 相连”回路,或平行四边形法则,利用三角形中的中位线,相似三角形对应边成比例等平面几何知识,结 合实数与向量的积,逐步将未知向量转化为与已知向量有直接关系的斜率求解. 5.当M是线段 AB的中点时,则OM= 1 () 2 OAOB
10、是中点公式的向量形式,应当做公式记忆. 6.当已知向量的坐标或易建立坐标系时,常用向量的坐标运算解向量的线性运算问题. 来源:学科网 【解题技巧】 1. 进行向量运算时,要尽可能地将它们转化到平行四边形或三角形中,充分利用相等向量、相反向量、三 角形的中位线定理、相似多边形对应边成比例等性质,把未知向量用已知向量表示出来 2. 向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变 形手段在向量线性运算中同样适用运用上述法则可简化运算 3. 用向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形 式,再通过向量的运算来解决
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