考点23几何体的体积和表面积-2016届高考文科数学必考考点专题分类训练.pdf
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1、【考点剖析】 1. 最新考试说明: 1. 了解和正方体、球有关的简单组合体的结构特征,理解柱、锥、台、球的结构特征 2. 会计算球、柱、锥台的表面积和体积( 不要求记忆公式) 2. 命题方向预测: 1. 空间几何体的表面积、体积是高考的热点,与三视图相结合往往是选择题、填空题,与平行关系、垂直 关系相结合,往往是解答题 2. 求表面积或体积,同时考查空间想象能力及运算能力 3. 课本结论总结: 1. 空间几何体的结构特征 多面体 (1) 棱柱的侧棱都平行且相等,上、下底面是全等的多边形. 来源 :学科网 ZXXK (2) 棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形. (3) 棱台可由
2、平行于底面的平面截棱锥得到,其上、下底面是相似 多边形 . 旋转体 (1) 圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到. (2) 圆锥可以 由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到. (3) 圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底 中点连线所在直线旋转得到,也可由平行于底面的平面截圆锥得 到. (4) 球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到. 2. 柱、锥、台和球的表面积和体积 名称 来 源 : 学科网 ZXXK 几何体 表面积体积 柱体 ( 棱柱和圆 柱 ) S表面积S侧2S底VSh 锥体 ( 棱锥和圆 锥 ) 来源 :Zxxk.Com S表面积S侧S底 来源学科网 1 V=Sh
3、 3 台体 ( 棱台和圆 台 ) S表面积S侧S上S下 1 V=(S +S +S S )h 3 下下 上上 球S4R 234 V=R 3 正棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱,底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱反之,正棱柱的底面 是正多边形,侧棱垂直于底面,侧面是矩形 正棱锥:底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥特别地,各棱均 相等的正三棱锥叫正四面体反过来,正棱锥的底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底面正多边形的 中心 4. 名师二级结论: (1) 解与球有关的组合体问题的方法,一种是内切,一种是外接解题时要认真分析图形,明确切点和 接点的位置,确定有关元素
4、间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个 面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线 长等于球的直径球与旋转体的组合,通常作它们的轴截面进行解题,球与多面体的组合,通过多面体的 一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图 (1) 等积法:等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形( 或几何体 ) 的面积 ( 或体积 ) 通过 已知条件可以得到,利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高,特别是在求三角形的高和三棱 锥的高这一方法回避了具体通过作图得到三角形( 或三棱锥 ) 的高,而通过直接计算得到高的数
5、值 (2)求几何体体积问题需先由三视图确定几何体的结构特征,判断是否为组合体,由哪些简单几何体构 成,并准确判断这些几何体之间的关系,将其切割为一些简单的几何体,再求出各个简单几何体的体积, 最后求出组合体的体积. 5. 课本经典习题: (1)必修 2 第 31 页 在长方体ABCDA B C D中,用截面截下一个棱锥CA DD, 求棱锥CA DD的体积与剩余部 分的体积之比 【答案】15: 【解析】已知长方体可以看成直四棱柱ADDABCC B, 设它的底面ADD A面积为S,高为h,则 它的体积为VSh. 因为棱锥CA DD的底面积为 1 2 S,高为h,所以棱锥CA DD的体积为 111
6、. 326 CA DD VShSh余下的体积为 15 . 66 ShShSh 所以棱锥CA DD的体积与剩余部分的体积之比为15:. 【经典理由】利用几何体特征,灵活应用“等体积”,用适当的字母表示几何体的体积,“设而不求”. (2)必修 2 第 14 页 设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( ) A3a 2 B 6a 2 C 12a 2 D 24a 2 【经典理由】考察长方体外接球,说明了求多面体外接球的一般方法. 6. 考点交汇展示: (1) 体积与最值问题交汇 【2015 高考福建,文20】如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于,A B的点,
7、垂直于圆所在 的平面,且1 ()若D为线段AC的中点,求证C平面D; ()求三棱锥PABC体积的最大值; ()若2BC,点E在线段PB上,求CEOE的最小值 (2) 体积、面积与三视图交汇 【2015 高考重庆,理5】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A、 1 3 B、 2 3 C、 1 2 3 D、 2 2 3 (3) 体积与基本不等式交汇 已知正三棱柱内接于一个半径为2 的球,则正三棱柱的侧面积取得最大值时,其底面边长为 A6 B C3 D2 【考点分类】 热点 1 表面积计算问题 1. 【2015 高考陕西,理5】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为() A3 B
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