铅锤高求三角形面积法.pdf
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1、1 作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法 - 二次函数教学反思 最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题,经过研究,我发现作三角形铅锤高是解决三角形 面积问题的一个好办法。在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”,同学们很快掌握了这种 方法现总结如下:如图1,过ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的 距离叫ABC的“水平宽” (a) ,中间的这条直线在ABC内部线段的长度叫ABC的“铅垂高 (h)”. 我们 可得出一种计算三角形面积的新方法:ahS ABC 2 1 ,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 例 1 (2013 深圳) 如图,在
2、直角坐标系中,点A 的坐标为(2,0) ,连结 OA,将线段OA 绕原点 O 顺时针旋转120,得到线段OB. (1)求点 B 的坐标;(2)求经过A、O、B 三点的抛物线的解析式; (3)在( 2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使 BOC 的周长最小?若存在,求出点C 的坐标;若不 存在,请说明理由.( 4)如果点P 是( 2)中的抛物线上的动点,且在x 轴的下方,那么PAB 是否有最 大面积?若有,求出此时P 点的坐标及 PAB 的最大面积;若没有,请说明理由. 解: ( 1)B(1,3 ) (2)设抛物线的解析式为y=ax(x+a),代入点 B(1, 3 ) ,得 3 3 a,因此 2
3、32 3 33 yxx (3)如图,抛物线的对称轴是直线x=1,当点 C 位于对称轴与线段AB 的交点时, BOC 的周长最小 . 设直线 AB为 y=kx+b.所以 3 3, 3 20. 2 3 3 k kb kb b 解得, 因此直线 AB为 32 3 33 yx, 当 x=1时, 3 3 y, 因此点 C 的坐标为(1,3 /3). (4)如图,过P 作 y 轴的平行线交AB 于 D. B C 铅垂高 水平宽 h a 图 1 C B A O y x D B A O y x P 2 2 2 2 1 ()() 2 132 332 3 3 23333 33 3 22 319 3 228 PAB
4、PADPBDDPBA SSSyyxx xxx xx x 当 x= 1 2 时, PAB 的面积的最大值为 9 3 8 ,此时 13 , 24 P. 例 2(2014 益阳 ) 如图 2,抛物线顶点坐标为点C( 1, 4), 交 x 轴于点 A( 3, 0) ,交 y 轴于点 B. (1)求抛物 线和直线 AB 的解析式; (2)点 P 是抛物线 (在第一象限内 )上的一个动点,连结 PA,PB,当 P 点运动到顶点 C 时,求 CAB 的铅垂高 CD 及 CAB S ;(3)是否存在一点P,使 SPAB= 8 9 SCAB,若存在, 求出 P 点的坐标; 若不存在,请说明理由. 解: (1)
5、设抛物线的解析式为:4)1( 2 1 xay把 A(3,0)代入解析 式求得1a所以324) 1( 22 1 xxxy设直线AB 的解 析式为:bkxy2由32 2 1 xxy求得 B 点的坐标为)3 ,0(把 )0 ,3(A,)3 ,0(B代入bkxy2 中解得: 3, 1 bk所以3 2 xy (2) 因为 C 点坐标为 (,4)所以当 x时, y14,y22 所以 CD4- 2 2323 2 1 CAB S(平方单位 ) (3) 假设存在符合条件的点P,设 P 点的横坐标为x, PAB 的铅垂高为h,则 xxxxxyyh3)3()32( 22 21 由 SPAB= 8 9 SCAB得3
6、8 9 )3(3 2 12 xx化简 得:09124 2 xx解得, 2 3 x将 2 3 x代入32 2 1 xxy中,解得P 点坐标为) 4 15 , 2 3 ( 例 3 (2015 江津) 如图,抛物线cbxxy 2 与 x 轴交于 A(1,0),B(- 3,0) 两点, (1)求该抛物 线的解析式; (2)设( 1)中的抛物线交y 轴于 C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得 QAC的 周长最小?若存在,求出Q 点的坐标;若不存在,请说明理由. (3)在( 1)中的抛物线上的第二象限上 是否存在一点P,使PBC的面积最大?,若存在,求出点P的坐标及PBC的面积最大值 . 若没有,
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