高考5个大题题题研诀窍立体几何问题重在“建”——建模、建系讲义理.pdf
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1、立体几何问题重在“建”建模、建系 思维流程找突破口 技法指导迁移搭桥 立体几何解答题建模、建系策略 立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合,以 某个几何体为依托,分步设问,逐层加深解决这类题目 的原则是建模、建系 建模将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型 及角度、距离等的计算模型 建系依托于题中的垂直条件,建立空间直角坐标系, 利用空间向量求解. 典例 (2018全国卷) 如图,在三棱锥P-ABC中,ABBC22, PAPBPCAC 4,O为AC的中点 (1) 证明:PO平面ABC; (2) 若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为 30 ,求PC与平面PAM所成 角的正弦值 快
2、审题 求什么 想什么 证明线面垂直,想线面垂直成立的条件 求线面角的正弦值,想平面的法向量及直线的方向向量 给什么 用什么 给出边的长度,用勾股定理证线线垂直 给出二面角的大小,可求出点M的位置 差什么 找什么 差点M的坐标,利用垂直关系建立空间直角坐标系,找出平面PAM,平 面PAC的法向量 . 稳解题 (1) 证明:因为PAPCAC4,O为AC的中点, 所以POAC,且PO 23. 连接OB,因为ABBC 2 2 AC, 所以ABC为等腰直角三角形, 且OBAC,OB 1 2AC 2. 所以PO 2 OB 2 PB 2, 所以POOB. 又因为OBACO, 所以PO平面ABC. (2) 以
3、O为坐标原点, OB 的方向为x轴正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz. 由已知得O(0,0,0),B(2,0,0), A(0 , 2,0) ,C(0,2,0),P(0,0,23) , AP (0,2,23) 取平面PAC的一个法向量OB (2,0,0) 设M(a,2a,0)(00) 则P(0,a,h) AP (0 , a,h) ,DP (0 ,a2, h) ,AC (1,1,0) PAPD,AP DP a(a2) h 20. AC与PD所成角为60 , |cos AC , DP | |a2| 2a 2h2 1 2, (a2) 2 h 2, ( a2)(a 1) 0, 00,h1,
4、P(0,1,1) AP (0,1,1) ,AC (1,1,0) ,PC (1,0 , 1) , DC (1 , 1,0) , 设平面APC的法向量为n(x1,y1,z1) , 则 nAP 0, nAC 0, 即 y1z10, x1y10, 令x11,得y1 1,z11, 平面APC的一个法向量为n(1 , 1,1) , 设平面DPC的法向量为m (x2,y2,z2) 则 mPC 0, mDC 0, 即 x2z20, x2y20, 令x21,得y21,z21, 平面DPC的一个法向量为m (1,1,1) cos m ,n mn |m|n| 1 3. 二面角A-PC-D的平面角为钝角, 二面角A-
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