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1、2017 年高考试题全国卷 理科数学(必修 +选修) (甘肃、青海、宁夏、贵州、新疆等地区) 本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分. 共 150 分. 考试时间120 分 钟. 第 I 卷 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B )=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(AB)=P(A) P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 Pn(k)=C k nP k(1P)nk 一、选择题:本大题共12 小题,每小题5分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的
2、1已知集合,2|,2, 1 ,0MaaxxNM,则集合NM= () A 0 B0,1 C1,2 D 0,2 2函数)( 2 Rxey x 的反函数为() A)0(ln2xxyB)0)(2ln(xxy C)0(ln 2 1 xxyD)0(2ln 2 1 xxy 3过点( 1,3)且垂直于直线032yx的直线方程为() A012yxB052yx C052yxD072yx 4) 1 )31 ( 2 i i = () Ai3Bi3Ci3Di3 球的表面积公式 S=4 2 R 其中 R 表示球的半径, 球的体积公式 V= 3 3 4 R 其中 R 表示球的半径 5不等式0 3 )2( x xx 的解集为
3、() A 30, 2|xxx或B3,22|xxx或 C0,2|xxx或D 3,0|xxx或 6等差数列 n a中,78,24 201918321 aaaaaa,则此数列前20 项和等于 () A 160 B180 C200 D220 7对于直线m、n 和平面,下面命题中的真命题是() A如果mnm,、n 是异面直线,那么/n B如果mnm,、n 是异面直线,那么与n相交 C如果mnm,/,、n 共面,那么nm/ D如果mnm,/,/、n 共面,那么nm/ 8已知椭圆的中心在原点,离心率 2 1 e, 且它的一个焦点与抛物线xy4 2 的焦点重合, 则此椭圆方程为() A1 34 22 yx B
4、1 68 22 yx C1 2 2 2 y x D1 4 2 2 y x 9 从 5 位男教师和4 位女教师中选出3 位教师, 派到 3 个班担任班主任 (每班 1 位班主任), 要求这 3 位班主任中男、女教师都要有,则不同的选派方案共有() A 210 种B420 种C630 种D840 种 10已知球的表面积为20,球面上有A、B、C 三点 .如果 AB=AC=2 ,BC=32,则球心 到平面 ABC 的距离为() A 1 B2C3D2 11 ABC 中, a、b、c 分别为 A、 B、 C 的对边 .如果 a、b、c 成等差数列, B=30, ABC 的面积为 2 3 ,那么 b= (
5、) A 2 31 B31C 2 32 D32 12设函数)(Rxxf为奇函数,),2()()2(, 2 1 ) 1 (fxfxff则)5(f() A 0 B1 C 2 5 D5 第卷 二、填空题:本大题共4 小题,每小题4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上. 13 8 ) 1 ( x x展开式中 5 x的系数为. 14向量a、b满足(ab) (2a+b)= 4,且|a|=2,|b|=4,则a与b夹角的余弦值 等于. 15函数)(2cos 2 1 cos)(Rxxxxf的最大值等于 . 16设yx,满足约束条件: ,0 , , 1 y xy yx 则yxz2的最大值是. 三、解答题:本大题
6、共6 小题,共74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17 (本小题满分12 分) 已知 为第二象限角,且sin=, 4 15 求 12cos2sin ) 4 sin( 的值 . 18 (本小题满分12 分) 求函数 2 4 1 )1ln()(xxxf在0,2上的最大值和最小值. A B C D P 19 (本小题满分12 分) 某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题.竞赛规则规定:每题回答正确得100 分, 回答不正确得100 分 .假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8,且各题回答正确与否相 互之间没有影响. ()求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望; ()求
7、这名同学总得分不为负分(即0)的概率 . 20 (本小题满分12 分) 如图,四棱锥PABCD 中,底面ABCD 为矩形, AB=8 ,AD=43,侧面 PAD 为等 边三角形,并且与底面所成二面角为60. ()求四棱锥PABCD 的体积; ()证明PABD. 21 (本小题满分12 分) 双曲线)0, 1(1 2 2 2 2 ba b y a x 的焦点距为2c,直线l过点( a,0)和( 0,b) ,且点 (1,0)到直线l的距离与点(1,0)到直线l的距离之和. 5 4 cs求双曲线的离心率e 的 取值范围 . 22 (本小题满分14 分) 已知函数0)(),sin(cos)(xfxxe
8、xf x 将满足的所有正数x从小到大排成数列 . n x ()证明数列 n xf为等比数列; ()记 n S是数列 nn xfx的前 n 项和,求.lim 21 n SSS n n 2004 年高考试题全国卷4 理科数学(必修 +选修) (甘肃、青海、宁夏、贵州、新疆等地区) 参考答案 一、选择题 112 D C A D A B C A B A B C 二、填空题:本大题共4 小题,每小题4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上. 13 28 14 2 1 15 4 3 162 三、解答题 17本小题主要考查同角三角函数的基本关系式,二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等 基础知识和基本技能.
9、满分 12 分. 解: 2 cos2cossin2 )cos(sin 2 2 12cos2sin ) 4 sin( . )cos(sincos4 )cos(sin2 当为第二象限角,且 4 15 sin时 4 1 c o s,0c o ssi n, 所以 12cos2sin ) 4 sin( =.2 cos4 2 18本小题主要考查函数的导数计算,利用导数讨论函数的性质,判断函数的最大值、最小 值以及综合运算能力.满分 12 分. 解:, 2 1 1 1 )(x x xf 令, 0 2 1 1 1 x x 化简为,02 2 xx解得.1),(2 21 xx舍去 z y x图1 A B C D
10、P OE 当)(,0)(,10xfxfx时单调增加; 当)(,0)(,21xfxfx时单调减少 . 所以 4 1 2ln) 1(f为函数)(xf的极大值 . 又因为),2()1 (,013ln)2(,0)0(ffff 所以0)0(f为函数)(xf在0,2上的最小值, 4 1 2ln) 1(f为函数)(xf 在0,2上的最大值 . 19本小题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望等概念,以及运用概率统计知识解 决实际问题的能力.满分 12 分. 解: ()的可能值为300, 100,100,300. P(=300)=0.2 3=0.008, P( =100) =3 0.2 20.8=0.096
11、, P(=100) =3 0.20.8 2=0.384, P( =300)=0.8 3=0.512, 所以的概率分布为 300 100 100 300 P 0.008 0.096 0.384 0.512 根据的概率分布,可得的期望 E=( 300) 0.08+( 100) 0.096+100 0.384+300 0.512=180. ()这名同学总得分不为负分的概率为P(0)=0.384+0.512=0.896. 20本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析 问题能力 .满分 12 分 . 解: ()如图1,取 AD 的中点 E,连结 PE,则 PEAD.
12、作 PO平面在 ABCD ,垂足为O,连结 OE. 根据三垂线定理的逆定理得OEAD , 所以 PEO 为侧面 PAD 与底面所成的二面角的平面角, 由已知条件可知PEO=60, PE=6, 所以 PO=33,四棱锥 PABCD 的体积 VPABCD= .9633348 3 1 ()解法一:如图1,以 O 为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得 P(0,0,33) ,A(23, 3,0) , B(23,5,0) ,D( 23, 3,0) 图2 A B C D P O E F 所以).0 ,8,34(),33, 3, 32(BDPA 因为, 002424BDPA所以 PABD. 解法二:如图2,
13、连结AO ,延长AO 交 BD 于点 F.通过计算可得EO=3, AE=23,又知 AD=43,AB=8 ,得. AB AD AE EO 所以RtAEO RtBAD. 得 EAO= ABD. 所以 EAO+ ADF=90 所以AFBD. 因为直线 AF 为直线 PA 在平面 ABCD 内的身影,所以PABD. 21本小题主要考查点到直线距离公式,双曲线的基本性质以及综合运算能力.满分 12 分. 解:直线l的方程为1 b y a x ,即.0a ba yb x 由点到直线的距离公式,且1a,得到点( 1,0)到直线l的距离 22 1 ) 1( ba ab d, 同理得到点(1,0)到直线l的距
14、离 22 2 )1( ba ab d . 22 22 21 c ab ba ab dds 由, 5 42 , 5 4 c c ab cs得即.25 222 caca 于是得 . 025254,215 2422 eeee即 解不等式,得.5 4 5 2 e由于,01e所以e的取值范围是 .5 2 5 e 22本小题主要考查函数的导数,三角函数的性质,等差数列与等比数列的概念和性质,以 及综合运用的能力.满分 14 分. ()证明:.sin2)cossin()sin(cos)(xexxexxexf xxx 由,0)(xf得.0sin2 xe x 解出nnx,为整数,从而 ,3 ,2 , 1,nnx
15、n .)1()( nn n exf . )( )( 1 e xf xf n n 所以数列)( n xf是公比eq的等比数列,且首项.)( 1 qxf ()解:)()()( 2211nnn xfxxfxxfxS ),21( 1n nqqq ), 1 1 ( )21( ),2( 12 2 n n nn nn n n nq q q q nqqqqqSS nqqqqqS 从而). 1 1 ( 1 n n n nq q q q q S n SSS n21 . )1( )1 ( )1( 2 )1( ) 1 1 ( )1 (1 1 )1()1( )21( )1( )1 ( )1()1( 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 q q q qn q q q nq q q qn q q q qn q q q nqq qn q qq qn q q q n n n nn nn 因为0lim.1| n n qeq ,所以 . ) 1()1( lim 22 21 e e q q n SSS n n
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