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1、仁华学校 6 年级奥数思维导引上 教师版 繁分数的运算,涉及分数与小数的定义新运算问题,综合性较强的计算问题 1繁分数的运算必须注意多级分数的处理,如下所示: 甚至可以简单地说:“先算短分数线的,后算长分数线的”找到最长的分数线,将其上视为分 子,其下视为分母 2一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数,而不使用带分数所以需将带分数化 为假分数 3某些时候将分数线视为除号,可使繁分数的运算更加直观 4对于定义新运算,我们只需按题中的定义进行运算即可 5本讲要求大家对分数运算有很好的掌握,可参阅思维导引详解五年级 第 1 讲 循环小数与分数 7 4 1 1 7 1计算: 18 2 6 2
2、 3 13 1 - 3 5 8 3 4 16 7 1 7 23 23 17 【分析与解】原式 = 4 6 2 12 4 13 1 - 12 8 4 8 128 3 3 仁华学校 6 年级奥数思维导引上 教师版 19 5 ( 3 9- 5.22) 2计算: 910 19 5 ( - 6 27 5.22) 950 ( 1993 0.4 1.6 ) 1995 0.5 1995 【分析与解】注意,作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有19 5 于是,我们想到改变运算顺 序, 9 如果分子与分母在19 5 后的两个数字的运算结果一致,那么作为被除数的这个繁分数的值为1;如果不一 9 致,也不会增加我们
3、的计算量所以我们决定改变作为被除数的繁分数的运算顺序 而作为除数的繁分数,我们注意两个加数的分母相似,于是统一通分为19950.5 具体过程如下: 19 5 ( 3 9- 5.22) 原式 = 9 10 19 5 ( - 6 27 5.22) 950 (1993 0.4 1.6 ) 1995 0.5 1995 19 5 - 1.32 1993 0.4 4 0.4 0.5 9 = ( ) 5 19 - 1.32 1995 0.4 1995 0.5 9 =1 ( 1993 2 0.4 ) =1 0.4 =1 1 1995 0.5 0.5 4 3计算:1-1 1 1 1 1- 1987 1 1986
4、 1987 【分析与解】原式=1-=1-= 1987 1 3973 3973 1986 仁华学校 6 年级奥数思维导引上 教师版 4计算:已知= 1 8 ,则 x 等于多少 ? 1 1+ 11 2+ 1 x+ 1 4 【分析与解】方法一: 1 1 1 8x 6 8 1 1 4x 1 1+ 1 1 12x 7 11 1 4 8x 6 2+ 2 x+ 1 4x 1 4 交叉相乘有 88x+66=96x+56 , x=125 1 11 3 1 8 2 1 3 方法二 :有1 1,所以2 2 ;所以 x ,那么 x 1.25 1 8 8 1 3 3 4 2 2 x x 1 4 4 5求 4,43,44
5、3,., 44? .43 这 10 个数的和 9 个 4 【分析与解】方法一: 4+43+443 . ? 44.43 9个 4 =4 (44 - 1) (444 - 1) . (44? .4 - 1) 10 个 4 =4 44 444 . 44? .4 - 9 = 4 (9 99 999 . 999?.9) - 9 9 10 个910 个 4 = 4 (10 - 1) (100 - 1) (1000 - 1) . (1000?.0 - 1) - 9 9 10 个 0 = 4 111?.100 - 9=4938271591. 9 9 个 1 方法二 :先计算这10 个数的个位数字和为 3 9+4
6、=3 1 ; 再计算这10 个数的十位数字和为49=36,加上个位的进位的3,为 36 3 3 9 ;再 计算这 10 个数的百位数字和为48=32,加上十位的进位的3,为 32 3 3 5 ;再计 算这 10 个数的千位数字和为47=28,加上百位的进位的3,为 28 3 3 1 ; 仁华学校 6 年级奥数思维导引上 教师版 再计算这10 个数的万位数字和为46=24,加上千位的进位的3,为 24 3 2 7 ;再 计算这 10 个数的十万位数字和为45=20,加上万位的进位的2,为 20 2 2 2 ;再 计算这 10 个数的百万位数字和为44=16,加上十万位的进位的2,为16 2 1
7、8 ; 再计算这10 个数的千万位数字和为43=12,加上百万位的进位的1,为12 1 1 3 ;再计算这10 个数的亿位数字和为4 2=8,加上千万位的进位的1,为 8 1 9 ; 最后计算这10 个数的十亿位数字和为41=4,加上亿位上没有进位,即为 4 所以,这 10 个数的和为 4938271591 6. 如图 1-1 ,每一线段的端点上两数之和算作线段的长度,那么图中 6 条线段的长度之和是多少? 【分析与解】因为每个端点均有三条线段通过,所以这6 条线段的长度之和为: 3 ( 1 1 0.6 0.875) 1+0.75+1.8+2.625=6.175=6 7 3 4 40 7. 我
8、们规定,符号“”表示选择两数中较大数的运算,例如:352.9=2.9 3.5=3.5 符号“” (0.625 23 ) ( 155 0.4) 表示选择两数中较小数的运算,例如:3.5 2.9=2.9 3.5=2.9 请计算: 33 384 ( 1 0.3) ( 235 2.25) 3 104 【分析与解】原式 0.625 155 5 155 7 25 384 2 1 2.25 8 384 12 256 3 仁华学校 6 年级奥数思维导引上 教师版 8规定( 3)=234,(4)=345,(5)=4 56,(10)=9 1011,如果 1 -1 1 , (16) (17) (17) 那么方框内应
9、填的数是多少? 【分析与解】 ( 1 -1 ) 1 (17) - 1= 16 17 18 - 1 1 . (17) 16 17 (16) (17) (16) 15 5 9从和式 1 1 1 1 1 1 中必须去掉哪两个分数,才能使得余下的分数之和等于 1? 2 4 6 8 10 12 【分析与解】因为 1 1 1 ,所以1 , 1 , 1 , 1 的和为 l ,因此应去掉1 与1 . 12 6 4 2 4 6 12 8 10 10如图 1-2 排列在一个圆圈上 10 个数按顺时针次序可以组成许多个整数部分是一位的循环小 数,例如 1.892915929 那么在所有这种数中。最大的一个是多少?
10、ii 【分析与解】有整数部分尽可能大,十分位尽可能大,则有92918较大,于是最大的为 9.29189 2915 11请你举一个例子,说明“两个真分数的和可以是一个真分数,而且这三 个分数的分母谁也不是谁的约数”. 【分析与解】有 1 1 4 ,1 1 1 ,1 1 1 6 10 15 10 15 6 35 14 10 评注:本题实质可以说是寻找孪生 质数,为什么这么说呢? 仁华学校 6 年级奥数思维导引上 教师版 注意到 1 1 c a ,当 a c b 时,有 1 1 c a 1 a b c b a b c a b c b a b c a c 当 a、b、c 两两互质时,显然满足题意 显然
11、当a、b、c 为质数时一定满足,那么两个质数的和等于另一个质数,必定有一个质数为 2 ,不 妨设 a 为 2,那么有 2 c b ,显然 b、 c 为一对孪生质数 即可得出一般公式: 1 1 1 ,c 与 c+2 均为质数即可 . 2 (c 2 ) c (c 2) 2 c 12计算: (1 - 1 )( 1 -1 ). (1 -1 ) 3 3 10 10 2 2 【分析与解】 原式 = (2 - 1) (2 1) (3 - 1) (3 1) . (10 - 1) (10 1) 2 23 310 10 =1 3 2 4 3 5 4 6 5 7 6 8 7 9 8 10 9 11 2 2 3 3
12、4 4 . 10 10 =1 2 3 3 4 4 5 5 . 9 9 10 11 2 2 3 3 4 4 . 9 9 10 10 =1 2 10 11 = 11 . 2 2 10 10 20 13已知 a= 11 66 12 67 13 68 14 69 15 70 100. 问 a 的整数部分是多少? 11 65 12 66 13 67 14 68 15 69 【分析与解】 a= 11 66 12 67 13 68 14 69 15 70 100 11 65 12 66 13 67 14 68 15 69 11 (65 1) 12 (66 1) 13 (67 1) 14 (68 1) 15
13、(69 1) = 100 11 65 12 66 13 67 14 68 15 69 =(1 11 12 13 14 15 ) 100 11 65 12 66 13 67 14 68 15 69 =100 11 12 13 14 15 100 . 11 65+12 66 13 67 14 68 15 69 因为 11 12 13 14 15 100 11 12 13 14 15 100 100 11 65+12 66 13 67 14 68 15 69 (11 12 13 14+15) 65 65 所以 a 100+ 100 101 35. 6565 仁华学校 6 年级奥数思维导引上 教师版
14、同时 11 12 13 14 15 100 11 12 13 14 15 100 100 11 65 12 66 13 67 14 68 15 69 (11 12 13 14+15) 69 69 所以 a100 100 101 31 . 69 69 综上有 101 31 a101 35 所以 a 的整数部分为 101 69 65 14问 1 3 5 7 . 99 与1 相比,哪个更大,为什么 ? 2 4 6 8 100 10 【分析与解】方法一:令 1 3 5 7 . 99 A, 2 4 6 8 . 100 B , 2 4 6 8 100 3 5 7 9 101 有 A B 1 3 5 7 .
15、 99 2 4 6 8 . 100 1 . 8 2 4 6 100 3 5 7 9 101 101 而 B 中分数对应的都比 A 中的分数大,则它们的乘积也是 BA, 有 AA4B( 1 )1 1 1 ,所以有 AA 1 1 ,那么 A1 101 100 10 10 10 10 10 即 1 3 5 7 . 99 与 1 相比, 1 更大 2 4 6 8 100 10 10 方法二 :设 A1 3 5 7 . 97 99 , 2 4 6 8 98 100 则 A2 1 1 3 3 5 5 . 99 99 2 2 4 4 6 6 100 100 = 1 3 3 5 5 7 7 . 97 97 9
16、9 99 1 , 2 2 4 4 6 6 8 . 96 98 98 100 100 显然 1 3 、3 5 、 5 7 、 97 99 、99 都是小于 1 的,所以有 A 2 1 ,于是 A1 . 4 6 98 100 2 2 4 6 98 100 10 15下面是两个1989 位整数相乘: 111?.11 111?.11 问:乘积的各位数字之和是多少? 1989 个 1 1989 个 1 【分析与解】在算式中乘以9,再除以9,则结果不变因为 111?.11能被 9 整除,所以将一个111?.?11乘 1989 个 1 1989 个 1 以 9 ,另一个除以 9 ,使原算式变成: 999?9
17、9?123456790?012345679 1989 个 9 共 1988 位数 =(1000 00 - 1) 123456790012345679 ? 1989 个 0 共 1988 位数 = 123456790 ? 012345679 000 ? 00?- 12345?6790012345679 共 1988 位数1989 个 0共 1988 位数 = 123456790?012345679123456789876543209 ? 987654320987654321 共 1988 位数共 1980 位数 仁华学校 6 年级奥数思维导引上 教师版 得到的结果中有19809=220个 “12
18、3456790 ”和 “987654320 ”及一个 “ 12345678”和 一 个 “987654321 ”,所以各位数之和为: (1 2 3 4 5 6 7 9) 220 (9 8 7 6 5 4 3 2) 220 +(1 2 3 4 5 6 7 8) (9 8 7 6 5 4 3 2 1 ) 17901 评注: 111111111 9=12345679 ; M 999?.9 的数字和为 9k(其中 M 999?.9 ) 可以利用上面性质较快的获得结果 k 个 9k 个 9 本讲主要是补充 计算综合 (I)未涉及和涉及不深的问题,但不包括多位数的运 算 1n(n+1)=n (n+1) (
19、n+2)-(n- 1)n(n+1) 3; 2从 1 开始连续 n 个自然数的平方和的计算公 a 式: 12 2 2 32?n2 1 nn 1 2 n 1 6 3平方差公式:a 2-b2=(a+b)(a-b) 1 已知 a= 1 , b 1 , 试比较 a、b 的大小 . 2 1 2 1 1 1 3 3 iii 1 iii 1 99 99 1 100 【分析与解】 仁华学校 6 年级奥数思维导引上 教师版 a 1 , b 1 , 1 1 2 2 1 1 3 3 iii 1 iii 1 98 1 98 1 A B 其中 A=99,B=99+ 1 .因为 A98+ 1 , 1 100 1 1 A B
20、 1 97 97 , 96 96 , 98 1 98 1 97 1 97 1 A B 98 1 98 1 A B ? 2 1 2 1 , 所以有 a b 1 1 3 3 1 1 4 4 iii 1 iii 1 98 1 98 1 A B 2. 试求 1 1 的和? 1 1 2 1 3 1 1 1 1 1 4 3 iii 1 4 1 2005 iii 1 2005 【分析与解】记 x 1 , 则题目所要求的等式可写为: 3 1 1 4 iii 1 2005 1 1 , 而 1 1 1 1x 1. 1 1 2 x 1 2 x 1 2 x 2 x 1 x 1x 所以原式的和为 1 评注: 上面补充的
21、两例中体现了递推和整体思想 2 试求 1+2+3+4+ 4+100 的值 ? 仁华学校 6 年级奥数思维导引上 教师版 【分析与解】方法一: 利用等差数列求和公式,( 首项 +末项) 项数 2=(1+100)1002=5050 方法二: 倒序相加, 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 97+98+ 99+ 100 100+ 99+ 98+ 97+ 96+ 4+3+ 2+ 1, 上下两个数相加都是 101 ,并且有 100 组,所以两倍原式的和为101100,那么原式的和 为 10l 100 2=5050 方法三: 整数裂项 ( 重点 ) , 原式=(12+22+32+42+1002)2 =1 2 2
22、 (3 - 1) 3 (4 - 2) 4 (5 - 3) iii 100 (101 - 99) 2 =( 1 2 2 3 - 1 2 3 4 - 2 3 4 5 - 3 4 iii 100 101 - 99 100 ) 2 =100 101 2 =5050. 3 试求l 2+23+34+45+56+99100 【分析与解】方法一:整数裂项 原式=(123+233+343+453+563+991003)3=123+23(4 - 1)+34(5 - 2)+45(6 - 3)+56(7 - 4)+99100(101 - 98) 3 (1 2 3 2 3 4 - 1 2 3 3 4 5 - 2 3 4
23、 4 5 6 - 3 4 5 5 6 7 - 4 5 6 iii 99 100 101- 98 99 100 ) 3 99 100 101 3 33 101 100 3333 100 333300. 方程二: 利用平方差公式 12+22+32+42+n 2=n2 n ( n 1)(2 n 1) . 6 原式: 1 2+l+22+2+32+3+42+4+52+5+992+99 =1 2+22 +3 2+42+52+992+1+2+3+4+5+ +99 仁华学校 6 年级奥数思维导引上 教师版 =99 100 199 99 100 62 =328350+4950 =333300 5计算下列式子的值
24、: 0.1 0.3+0.20.4+0.3 0.5+0.4 0.6+9.79.9+9.8 10.0 【分析与解】这个题看上去是一个关于小数的问题,实际上我们可以先把它们变成整数,然后再进行计 算即先计算13+24+35+46+9799+98100。再除以 100 方法一: 再看每一个乘法算式中的两个数,都是差2,于是我们容易想到裂项的方法 0.1 0.3+0.2 0 .4+0.3 0.5+0.4 0.6+9.79.9+9.8 10.0 =(13+24+35+46+9799+98100)100 =(l 2+1)+(2 3+2)+(3 4+3)+(4 5+4)+(9798+97)+(9899+98)
25、 100 =(1 2+23+34+45+9798+9899)+(1+2+3+4+97+98) 100 =( 1 9899100+ 1 9899)100 32 =3234+48.51 =3282.51 方法二: 可以使用平方差公式进行计算 0.1 0.3+O.20.4+0.3 0.5+0.4 0.6+9.79.9+9.8 10.0 =(13+24+35+46+9799+98l00) 100 =(1 2-1+22-1+32-1+42-1+52- 1+992- 1)100 =(1 1+22+32+42+52+992- 99)100 =( 1 99100199 -99)100 6 =16.5199-0
26、.99 =16.5200-16.5-0.99 =3282.51 评注: 首先,我们要清楚数与数之间是相通的,小数的计算与整数的计算是有联系的下面简单介绍一 仁华学校 6 年级奥数思维导引上 教师版 下整数裂项 12+23+34+(n - 1)n = 1 1 23+233+343+(n - 1)n3 3 = 1 123+23(4 - 1)+34(5 - 2)+(n - 1)nn+1 -(n-2) 3 1 1 2 3 - 2 3 1 2 3 4 - 3 4 2 3 4 5 iii = 3 - ( n - 1) n ( n - 2) ( n - 1) n ( n 1) = 1 ( n - 1) n
27、( n 1) 3 6. 计算下列式子的值: 24 ( 1 1 iii 1 ) - ( 1 1 iii 1 ) 20 21 1 2 2 2 iii 10 2 2 3 4 5 1 1 2 2 2 2 【分析与解】虽然很容易看出 1 1 -1 , 1 1 -1 ? 可是再仔细一看,并没有什么效果,因 2 4 5 5 2 3 3 4 为这不像分数裂项那样能消去很多项我们再来看后面的式子,每一项的分母容易让我们想到公式 2 2 2 2 1 1 6 . 1 +2 +3 +n = n(n+1) (2n+1),于是我们又有 6 2 2 2 3 2 2 n ( n 1)(2 n- 1) 1 iiin 减号前面括
28、号里的式子有 10 项,减号后面括号里的式子也恰好有 10 项,是不是“一个对一个”呢? 24 ( 1 1 iii 1 ) - ( 1 1 iii 1 ) 1 2 2 1 2 2 iii 10 2 2 3 4 5 20 21 1 2 2 2 = 24 ( 1 1 iii 1 ) - 6 ( 1 1 iii 1 ) 20 21 2 3 4 5 1 2 3 2 3 5 10 11 12 = 24 ( 1 1 iii 1 ) - 24 ( 1 1 iii 1 ) 20 21 2 3 4 5 2 4 3 4 6 5 20 22 21 1 1 1 1 1 1 = 24 ( -) ( -) iii ( -
29、) 2 3 2 4 3 4 5 4 6 5 20 21 20 22 21 = 24 ( 1 1 iii 1 ) 2 4 4 6 20 22 = 6 ( 1 1 iii 1 ) 2 3 1 2 10 11 =6 (1 - 1 ) 11 =60 11 仁华学校 6 年级奥数思维导引上 教师版 7计算下列式子的值: (1 1 1 1 1 iii 1 ) 2 ( 1 1 1 1 iii 1 ) 2 ( 1 1 1 iii 1 )2 198012 198012 2 3 4 5 2 3 4 5 3 4 5 198012 ( 1 1 iii 1 ) 2 ( 1 1 iii 1 ) 2iii ( 1 ) 2
30、(1 1 1 1 1 iii 1 ) 198012 198012 198012 4 5 5 6 198012 2 3 4 5 【分析与解】显然直接求解难度很大,我们试着看看是否存在递推的规律. 显然 1 2+1=2; (1 1 ) 2 ( 1 ) 2 (1 1 ) 4; 222 (1 11 ) 2 ( 1 1 ) 2 ( 1 ) 2 (1 11) 6; 2 32 332 3 (1 111 ) 2 ( 1 11 ) 2 ( 1 1 ) 2 ( 1 ) 2 (1 111 ) 8; 2 3 42 3 43 442 3 4 所以原式 =1980122=396024 习题 计算1718+1819+192
31、0+2930的值 提示:可有两种方法,整数裂项,利用 1 到 n 的平方和的公式. 答案: (293031 - 161718)3=291031 - 16176=7358. 多位数的运算,涉及利用 999 ? 9 10 k-1 ,提出公因数,递推等方法求解问题 ? k 个 9 仁华学校 6 年级奥数思维导引上 教师版 一、 999 ?9 10 k-1 的运用 ? k 个 9 在多位数运算中,我们往往运用 999?9 10 k-1 来转化问题; ? k 个 9 如: 333?3 59049 ? 2004 个 3 我们把 333?3 转化为999 ?9 3, ? 2004 个 3 2004个 9 于
32、是原式为 333?3 59049=( 999 ?9 3)59049= 999?9 59049=(1000 ? 0 -1)19683=19683 ? 2004 个 3 2004 个 9 2004 个 9 2004 个 0 1000 ? 0 -19683 ? 2004 个 0 而对于多位数的减法,我们可以列个竖式来求解; 2004 个 9 ? 1968299 ?999999 +1 2004 个 9 ? 1968299 ?999999 1 如: - 19683 ,于是为1968299 ?980317 1999 个 9 ? ?1999 个 9 1968299 ?980316 1 ? 1999 个 9
33、1968299 ?980317 简便计算多位数的减法,我们改写这个多位数 原式= 333?3233 333?3 ? 2004 个 32008 个 3 =333?3 23 999 ?9 ? 2004 个 32008个 9 =1999 ?98 (1000 ?0 -1 ) ? 2003 个 92008 个 0 =1999 ?98 1000 ?0 -1999 ?98 ? 2003 个 92008个 02003 个 9 仁华学校 6 年级奥数思维导引上 教师版 ? 2003 个 9 2008 个 9 1999 ? 97 9999999 ?99 1 - 1999 ? 98 ? ,于是为1999 ? 979
34、998 000 ? 02 . = 2003 个 9 2003 个 9 2003 个 0 ? ?2003 个 9 2003 个 0 1999 ? 979998 000 ?01 1 1999 ? 979998 000 ? 02 ? 2003 个 9 2003 个 0 2计算111?1 222?2 =AA,求 A ? ? 2004 个 11002 个 2 【分析与解】此题的显著特征是式子都含有111?1,从而找出突破口 . ? n 个 1 111?1 222?2 =111?1 000 ?0 111?1 ? 2004 个 11002 个 21002 个 11002 个 0 1002 个 1 =111?
35、1(1000 ?0 -1 ) ? 1002 个 11002 个 0 =111?1( 999?9 ) ? 1002 个 11002 个 9 =111?1(111?133) =A 2 ? 1002 个 11002 个 1 所以, A 333?3 . ? 1002 个 3 3计算 666 ?6 666?6 25 的乘积数字和是多少? ? 2004 个 62003 个 6 【分析与解】 我们还是利用 999?9 =1000 ?0 - 1 来简便计算,但是不同于上式的是不易得出凑成 ? k 个 9k 个 0 999?9 ,于是我们就创造条件使用: ? k 个 9 666 ?6 666? 67 25= 2
36、 ( 999 ?9 ) 2 ( 999?9 )+125 ? 3 ? 3 ? 2004 个 6 2003个 6 2004 个 9 2004 个 9 = 2 (1000 ? 0 - 1 ) 2 (1000 ? 0 )+125 3 ? 3 ? 2004个 0 2004 个 0 = 1 1 2 1000 ? 0 - 2 2 (1000 ? 0 )+125 3 3 ? 2004个 0 2004 个 0 仁华学校 6 年级奥数思维导引上 教师版 = 25 4 1000 ? 0 -21000 ? 0 -2 9 ? 4008个 0 2004 个 0 = 100 999?9 - 50 999?9 ? ? 9 4
37、008 个 992004 个 9 =100 111 ?1- 50111 ? 1 ? 4008 个 12004 个 1 =111?100 - 555 ?50 ( 求差过程详见评注 ) ? 4008 个 1 2004 个 5 =111?10 555?50 ? ? 2004 个 12004 个 5 所以原式的乘积为111?10 555?50 ? 2004 个 12004 个 5 那么原式乘积的数字和为12004+52004=12024 评注:对于111?100 - 555 ?50 的计算,我们再详细的说一说 ? 4008 个 1 2004 个 5 111?100 - 555 ?50 ? 4008 个
38、 1 2004 个 5 =111?1000 ? 0 111?100 - 555?50 ? 2005 个 12005 个 02003 个 12004 个 5 =111?10999 ? 9 1 111?100 - 555?50 ? 2004 个 12005 个 92003 个 1 2004 个 5 =111?10444 ? 49 111?101 ? 2004 个 12004 个 4 2003 个 1 =111?10555?5 ? 2004 个 12004 个 5 4计算 222? 2 222?2 的积 ? ? ? 1998 个 21998 个 2 【分析与解】我们先还是同上例来凑成 999 ?9
39、; ? k 个 9 222? 2 222?2 ? ? 1998 个 21998 个 2 2 999 ?9 222 ?2 9 ? 1998 个 91998 个 2 2 1000 ? 0 - 1 222 ?2 ? 1998 个 01998 个 29 1 1000? 0 - 1 444?4 9 ? 1998 个 01998 个 4 仁华学校 6 年级奥数思维导引上 教师版 1 444 ? 4 000 ? 0 - 444 ?4 9 ? ? 1998 个 41998 个 01998 个 4 1 444 ? 4 3555?5 6 ( 求差过程详见评注) 9 ? 1997 个 41997 个 5 我们知道
40、444?4 能被 9 整除,商为: 049382716 ? 9 个 4 又知 1997 个 4 ,9 个数一组,共 221 组,还剩下 8 个 4 ,则这样数字和为84=32,加上后面的 3,则数字和为 35 ,于是再加上 2 个 5 ,数字和为 45 ,可以被 9 整除 444?4355 能被 9 整除,商为04938271595; ? 8 个 4 我们知道 555?5 能被 9 整除,商为: 061728395; ? 9个 5 这样 9 个数一组,共 221 组,剩下的 1995 个 5 还剩下 6 个 5 ,而 6 个 5 和 1 个、 6,数字 和 36 ,可以被 9 整除 555?5
41、6 能被 9 整除,商为0617284 ? 6 个 5 于是,最终的商为: 49382716 049382716 ? 049382716 04938271595 061728395 ?061728395 0617284 ? 220 个 049382716 221 个 061728395 评注:对于 444?4 000?0 - 444?4 计算,我们再详细的说一说 ? ? 1998 个 41998 个 0 1998 个 4 444? 4 000?0 - 444?4 ? 1998 个 41998 个 01998 个 4 444? 43999?9 +1- 444?4 ? ? 1997 个 41998
42、 个 9 1998 个 4 444? 43555?5 +1 ? ? 1997 个 4 1998 个 5 444? 43555?56 . ? ? 1997 个 4 1997 个 5 二、提出公因式 有时涉及乘除的多位数运算时,我们往往需提出公因式再进行运算,并且往往公因式也是和式或者 差式等 5. 计算:( 1998+19981998+199819981998+ 19981998?1998)( 1999+19991999+199919991999 ? 1998 个 1998 仁华学校 6 年级奥数思维导引上 教师版 19991999?1999 )1999 ? 1998 个 1999 【分析与解】
43、19981998?1998199810011001?1001 ? 1998 个 1998 1998 个 1001 原式 1998 ( 1+10001+100010001+ 10011001?1001) 1999 ( 1+10001+100010001+ ? 1998 个 1001 10011001?1001)19991998199919991998. ? 1998 个 1001 6试求1993123999999 乘积的数字和为多少? 【分析与解】我们可以先求出1993123 的乘积,再计算与(1000000 1)的乘积,但是 1993123 还是有点繁琐 设 1993123=M ,则(1000
44、123)123000M(2000 123=)246000,所以 M 为 6 位数,并且末位不是 0; 令 M abcdef 则 M 999999M ( 1000000-1 ) 1000000M-M abcdef 000000- abcdef abcdef f - 1 999999+1 abcdef abcdef f - 19 - a9 - b9 - c9 - d9 - e9 - f +1 abcdef f - 19 - a9 - b9 - c9 - d9 - e9 - f 1 那么这个数的数字和为: a+b+c+d+e+(f 1)+(9 a)+(9 b)+(9 c)+(9 d)+(9 e)+(
45、9 f+1)=9 6=54 所以原式的计算结果的数字和为 54 评注: M 999 ?9 的数字和为9k ( 其中 M的位数为x,且 xk) ? k 个 9 7试求 999999999999999 999 ? 9 999 ?9 999 ? 9 乘积的数字和为多少? ? ? 256 个 9512 个 91024 个 9 【分析与解】通过上题的计算,上题评注: 设 999999999999999 999 ?9 999 ?9 999 ?9 M , ? 256 个 9512 个 91024个 9 仁华学校 6 年级奥数思维导引上 教师版 于是 M 999 ?9 类似的情况,于是,确定好 M 的位数即可; ? 1024 个 9 注意到 999999999999999 999 ?9 999 ?9 M , ? 256 个 9 512 个 9 则 M10 100100013100000000 1000 ? 0 1000 ? 0 1000 ? 0 ? 256 个 0 512 个 0 k 个 0 其中k=1+2+4+8+16+ + 512=1024l=1023 ; 即 M1000 ? 0 ,即 M最多为 1023 位数,所以满足的使用条件,那么M与 999?9 乘积的数 ? 1023 个 0 1024 个 9 字和为10249=10240 1024=9216 原式的乘积数字和
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