初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑹.pdf
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1、1 / 10 初一数学竞赛讲座 第 6 讲 图形与面积 一、直线图形的面积 在小学数学中我们学习了几种简单图形的面积计算方法,数学竞赛中的面积问题 不但具有直观性,而且变换精巧,妙趣横生,对开发智力、发展能力非常有益。 TEQcv2mAvA 图形的面积是图形所占平面部分的大小的度量。它有如下两条性质: 1两个可以完全重合的图形的面积相等; 2图形被分成若干部分时,各部分面积之和等于图形的面积。 对图形面积的计算,一些主要的面积公式应当熟记。如: 正方形面积 =边长边长;矩形面积 =长宽;平行四边形面积 =底高; 三角形面积 =底高 2;梯形面积 =上底+下底)高 2。 此外,以下事实也非常有用
2、,它对提高解题速度非常有益。 1等腰三角形底边上的高线平分三角形面积; 2三角形一边上的中线平分这个三角形的面积; 3平行四边形的对角线平分它的面积; 4等底等高的两个三角形面积相等。 解决图形面积的主要方法有: 1观察图形,分析图形,找出图形中所包含的基本图形; 2对某些图形,在保持其面积不变的条件下改变其形状或位置叫做等积变 形); 3作出适当的辅助线,铺路搭桥,沟通联系; 4把图形进行割补 叫做割补法)。 例 1 你会用几种不同的方法把一个三角形的面积平均分成4 等份吗? 解:最容易想到的是将 ABC的底边 4 等分, 如左下图构成 4 个小三角形,面积都为原来的三 角形面积的 4 1
3、。 另外,先将三角形 ABC 的面积 2 等分如右 上图),即取 BC的中点 D,连接 AD , 则 SABD=SADC,然后再将这两个小三角 形分别 2 等分,分得的 4 个小三角形各 自的面积为原来大三角形面积的 4 1 。还 有许多方法,如下面的三种。请你再想出几种不同的方法。 例 2 右图中每个小方格面积都是1cm 2,那么六边形 ABCDEF 的面积是多少平方厘M ? 分析:解决这类问题常用割补法,把图形分成几个简单 的容易求出面积的图形,分别求出面积。 也可以求出六边形外空白处的面积,从总面积中减去空 白处的面积,就是六边形的面积。 2 / 10 解法 1:把六边形分成 6 块:
4、ABC ,AGF ,PEF ,EKD ,CDH和正方形 GHKP 。用 S 表示三角形面积,如 用 SABC表示 ABC 的面积。TEQcv2mAvA 故六边形 ABCDEF 的面积等于 6+2+1+ 2 1 +4+9=)( 2 1 22 2 cm 说明:当某些图形的面积不容易直接计算时,可以把这个图形分成几个部分,计 算各部分的面积,然后相加,也就是说,可以化整为零。TEQcv2mAvA 解法 2:先求出大正方形 MNRQ 的面积为 66=36cm2)。 说明:当某些图形的面积不易直接计算时,可以先求出一个比它更大的图形的面 积,再减去比原图形多的那些个)图形的面积,也就是说,先多算一点,再
5、把多算的 部分减去。 TEQcv2mAvA 解法 3:六边形面积等于 SABC+S梯形 ACDF-SDEF=62 2 1 +3+6)4 2 1 -31 2 1 =6+18-1 2 1 =)( 2 1 22 2 cm 说明:“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”,从不同的角度去观察同一个图 形,会对图形产生不同的认识。一种新的认识的产生往往会伴随着一种新的解法。做 题时多想一想,解法就会多起来,这对锻炼我们的观察能力与思考能力大有益处。 TEQcv2mAvA 3 / 10 例 3 如下图所示, BD ,CF将长方形 ABCD 分成 4 块, DEF的面积是 4cm 2,CED的面积是 6cm2。 问
6、:四边形 ABEF的面积是多少平方厘M ? 解:如下图,连结 BF 。则 BDF与CFD面积相等, 减去共同的部分 DEF ,可得 BEF与CED 面积相等, 等于 6cm2。 四边形 ABEF的面积等于 SABD-SDEF=SBDC-SDEF=SBCE+SCDE-SDEF=9+6-4=11cm 2)。TEQcv2mAvA 问:两块红色图形的面积和与两块蓝色图形的面积和, 哪个大? 分析:只需比较 ACE与BDF面积的大小。因 为ACE 与BDF的高相等 都是 CD ),所以只需比 较两个三角形的底AE与 BF的大小。 因为 ACE 与BDF高相等,所以 SACE SBDF 。 减去中间空白的
7、小四边形面积,推知两块红色图形的面积和大于两块蓝色图形的 面积和。 例 5 在四边形 ABCD 中见左下图),线 段 BC长 6cm ,ABC为直角, BCD 为 135, 而且点 A到边 CD的垂线段 AE的长为 12cm ,线 段 ED的长为 5cm ,求四边形 ABCD 的面积。 解:延长 AB ,DC相交于 F见右上图), 则BCF=45 , FBC=90 ,从而 BFC=45 。 因为 BFC= BCF ,所以 BF=BC=6cm)。 在 RtAEF中, AFE=45 ,所以 FAE=90 -45=45,从而 EF=AE=12cm)。 TEQcv2mAvA 故 S四边形 ABCD=S
8、ADF-S BCF=102-18=84cm 2)。 说明:如果一个图形的面积不易直接求出来,可根据图形的特征和题设条件的特 点,添补适当的图形,使它成为一个新的易求出面积的图形,然 TEQcv2mAvA 4 / 10 后利用新图形面积减去所添补图形的面积,求出原图形面积。 这种利用“补形法”求图形面积的问题在国内外初中、小学 数学竞赛中已屡见不鲜。 例 6 正六边形 ABCDEF 的面积是 6cm 2,M ,N ,P分别是所 在边的中点 如上图)。 问:三角形 MNP 的面积是多少平方厘M ? 解法 1:如左下图,将正六边形分成6 个面积为正 1cm 2 的正三角形,将另外三个面积为1cm 2
9、 的正三角形分 别拼在边 BC ,DE ,AF外面,得到一个大的正三角形XYZ ,其面积是 9cm 2。 这时, M ,N ,P分别是边 ZX,YZ ,Xy的中点,推知 解法 2:如右上图,将正六边形分成6 个面积为 1cm2的正三角形,再取它们各边 的中点将每个正三角形分为4 个面积为 4 1 的小正三角形。于是正六边形ABCDEF 被分成 了 24 个面积为 4 1 的小正三角形。因为 MNP 由 9 个面积为 4 1 的小正三角形所组成,所 以 SMNP= 4 1 9=2.25cm 2)TEQcv2mAvA 二、圆与组合图形 以上我们讨论了有关直线图形面积计算的种种方法。现在我们继续讨论
10、涉及圆的 面积计算。 1圆的周长与面积 计算圆的周长与面积,有的直接利用公式计算,有的需要经过观察分析后灵活运 用公式计算。主要公式有: 1)圆的周长 =直径 =2半径,即 C= d=2r ; 2)中心角为 n的弧的长度 =n半径) 180,即 1= 180 rn 3)圆的面积 =半径) 2,即 S=r2; 4)中心角为 n的扇形面积 =n半径) 2360,即 lr rn S 2 1 360 2 例 7 右图是三个半圆 单位: cm ),其阴影部分 的周长是多少? 解:由图可知,阴影部分是由三个直径不同的半 圆周所围成,所以其周长为 5 / 10 说明:实际上,该图形中两个小半圆的直径之和等于
11、大半圆的直径,因而它们的 周长也正好等于大半圆的半圆周。 推而广之,若 n 个小圆的直径之和等于大圆的直径,即:d1+d2+d3+ +dn=D , 那么这些小圆的周长之和也等于大圆的周长,即 d1+d2+d3+dn=d1+d2+d3+ +dn)=D。 例 8 某开发区的大标语牌上,要画出如下图所示图形阴影部分)的三种标点符 号:句号、逗号、问号。已知大圆半径为R,小圆半径为 r ,且 R=2r。若均匀用料,则 哪一个标点符号的油漆用得多?哪一个标点符号的油漆用得少? TEQcv2mAvA 分析:在均匀用料的情形下,油漆用量多少问题可转化为阴影部分的面积大小问 题。现在涉及到的基本图形是圆,弄清
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