初三数学正多边形和圆.pdf
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1、1 / 9 初三数学正多边形和圆、弧长公式及有关计算知识 一. 本周教案内容: 正多边形和圆、弧长公式及有关计算 学习目标 1. 正多边形的有关概念;正多边形、正多边形的中心、半径、边心距、中心角。正n 边形的半径,边心距把 正 n 边形分成2n 个全等的直角三角形。b5E2RGbCAP 2. 正多边形和圆的关系定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆,因此可采用作辅助圆的办法,解决一些问题。 3. 边数相同的正多边形是相似多边形,具有以下性质: 1)半径 或边心距)的比等于相似比。 2)面积的比等于边心距或半径)的比的平方,即相似比的平方。 4. 由于正 n 边形的 n
2、 个顶点 n 等分它的外接圆,因此画正n 边形实际就是等分圆周。 1)画正 n 边形的步骤: 将一个圆n 等分,顺次连接各分点。 2)用量角器等分圆 先用量角器画一个等于 360 n 的圆心角,这个角所对的弧就是圆的 1 n ,然后在圆上依次截取这条弧的等弧,就 得到圆的n 等分点,连结各分点即得此圆的内接正n 边形。p1EanqFDPw 5. 对于一些特殊的正n 边形,如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。 6. 圆周长公式: CR2 ,其中 C为圆周长, R为圆的半径,把圆周长与直径的比值叫做圆周率。 7. n的圆心角所对的弧的弧长: l n R 180 n
3、表示 1的圆心角的度数,不带单位。 8. 正 n 边形的每个内角都等于 n n 2 180 ,每个外角为 360 n ,等于中心角。 二. 重点、难点: 1. 学习重点: 正多边形和圆关系,弧长公式及应用。 正多边形的计算可转化为解直角三角形的问题。 只有正五边形、正四边形对角线相等。 2. 学习难点: 解决有关正多边形和圆的计算,应用弧长公式。 例 1. 正六边形两条对边之间的距离是2,则它的边长是) A. 3 3 B. 23 3 C. 2 3 D. 2 2 3 解: 如图所示, BF2,过点 A作 AG BF于 G,则 FG1 2 / 9 F E A G D B C 又 FAG 60 AF
4、 FG FAGsin 1 3 2 2 3 3 故选 B 点拨:正六边形是正多边形中最重要的多边形,要注意正六边形的一些特殊性质。 例 2. 正三角形的边心距、半径和高的比是) A. 12 3 B. 123 C. 123 D. 123 解: 如图所示, OD是正三角形的边心距,OA是半径, AD是高 A O B D C 设ODr,则 AO 2r ,AD 3r OD AO AD r 2r3r 123 故选 A 点拨:正三角形的内心也是重心,所以内心到对边的距离等于到顶点距离的 1 2 。通过这个定理可以使问题得到 解决。 例 3. 周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积 SSS 346 、
5、之间的大小关系是) A. SSS 346 B. SSS 643 C. SSS 634 D. SSS 463 解读:设它们的周长为 l ,则正三角形的边长是 al 3 1 3 ,正四边形的边长为 al 4 1 4 ,正六边形的边长为 al 6 1 6 3 / 9 Sall 33 2221 2 60 1 2 1 9 3 2 3 36 sin Sal Sall 44 22 66 222 1 16 6 1 2 606 1 2 1 36 3 2 3 3 72 sin SSS 643 故选 B 点拨:一定要注意三个正多边形的周长相等这一重要条件,否则容易得出错误结论。 例 4. 如图所示,正五边形的对角线
6、AC和 BE相交于点M ,求证: 1)MEAB; 2) MEBEBM 2 点悟:若作出外接圆可以轻易解决问题。 证明: 1)正五边形必有外接圆,作出这个辅助圆,则 AB 1 5 36072 BEA 36 EC 2 5 360144 EAC EMAEAM MEAEAB 1 2 14472 180367272 2) BCABCABBEA, 又公共角ABM EBA ABM EBA AB BE BM AB ABBEBM 2 例 5. 已知正六边形ABCDEF 的半径为2cm,求这个正六边形的边长、周长和面积。 解: 正六边形的半径等于边长 正六边形的边长acm2 正六边形的周长 lacm612 4 /
7、 9 正六边形的面积 Scm6 1 2 22 3 2 6 3 2 点拨:本题的关键是正六边形的边长等于半径。 例 6. 已知正方形的边长为2cm ,求它的外接圆的外切正三角形的边长和面积。 解: 正方形的边长为2cm 正方形的外接圆半径为 2 cm 外接圆的外切正三角形一边上的高为 3 2 cm 正三角形的边长为 3 2 60 3 2 3 2 2 6 sin cm 正三角形的面积为 1 2 2 62 6 3 2 6 3 2 cm 点拨:本题的重点是正方形的边长、圆的半径和正三角形的半径之间的关系。 例 7. 如图所示,已知 O1 和 O2 外切于点P, O1 和 O2 的半径分别为r 和 3r
8、 ,AB为两圆的外公切线,A、 B为切点,求AB与两弧 PAPB 、 所围的阴影部分的面积。DXDiTa9E3d 解: 连结 O AO B 12 、 ,过点 O1 作 O CO B 12 在 Rt O O C 12 中, O OrrrO Crrr 122 3432, O Crrr 1 22 1642 3 梯形 O ABO 12的面积为: 1 2 32 34 3 2 rrrr 又 sinO O C O C O O r r 21 2 12 2 4 1 2 O O C OPO A 21 21 30 60120, 扇形 O PA 1 的面积为: 120 360 1 3 2 2r r 5 / 9 扇形
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