利用分类思想巧解动点与等腰三角形问题.pdf
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1、利用分类思想巧解动点与等腰三角形问题 在 2011 年的湖南湘潭市中考试卷中有这样一道题: 如图一,直线交轴于 A 点,交轴于 B 点,过 A、B 两 点的抛物线交轴于另一点 C(3,0)。 图一 (1)求抛物线的解析式; (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使 ABQ 是等腰三角 形?若存在,求出符合条件的Q 点坐标;若不存在,请说明理由。 第二问求“在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使 ABQ是等腰 三角形?若存在,求出符合条件的Q 点坐标;若不存在,请说明理 由。” 等腰三角形是一种特殊的几何图形,特别是当等腰三角形和函数 及动点问题结合到一起, 会出现答案的不唯一性, 中考命题人员对此
2、 类问题往往特别的青睐, 而学生解答时常会出现漏解现象。如果利用 分类思想,结合直观作图的手段进行分析解答,可以有效避免因思维 不严密出现漏解的现象。 下面结合本题重点介绍一下利用分类思想解 答此类问题的技巧。 一、以静制动,找准切入点。 此类问题中虽然所涉及的点是运动的,但总有部分已知点是不变 的,抓住这些不变的点,将其作为解题的突破口,采取以静制动的策 略是解答此类类型题成功所在。在这道题中,因为已知点Q 是对称 轴上的一个动点,所以它的位置是变化的,则ABQ 不唯一。认真 分析已知可发现点Q 在对称轴上,因此它的横坐标不变。且ABQ 的边 AB 是确定不变的,这样可从线段AB 入手,以
3、AB 作解决问题 的切入点,来寻找点Q 的具体位置。 二、分类讨论,作图击破。 等腰三角形的边分两类:一类是腰;另一类是底。在这里已知边 AB 既可以为腰,又可以为底。当AB 为腰时,又分两种情况:一种 情况为 AB=AQ,即 AB 为腰,且点 A 为顶角的顶点;另一种情况为 AB=BQ, 即 AB为腰,且点 B 为顶角的顶点。 这样共有三种情况出现: 第一种情况:当AB 为腰,且点 A 为顶角的顶点时,点在以点 为圆心 AB 长为半径的圆上(如图二)。 第二种情况:当 AB 为腰,且点 B 为顶角的顶点时, 点在以点 B 为圆心 AB 长为半径的圆上(如图三)。 第三种情况: 当 AB 为底时,点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上 (如 图四)。 图二图三 图四图五 由图二可以看出, 即在上又在对称轴上的点有两个,我们可以 将其标记为点和(如图五)。 由图三可以看出, 即在上又在对称轴上的点也有两个,我们可 以将其标记为点和(如图六)。 观察图像发现点在直线 上,因此不能构成等腰三角形。 由图四可以看出,即在线段AB 的垂直平分线上又在对称轴上的 点有一个,我们可以将其标记为点(如图七)。 图六图七
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