培优专题:极化恒等式专题习题含答案(图片版).pdf
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1、向量之极化恒等式专题 一、极化恒等式原理: (ab)2 (ab)2 (ab)2 (ab)2 代数原理: ab 向量原理: a b 4 4 ABDC 中有如下向量关系: 2 2 ( ABAC) 2 ( ABAC) 2 AD CB AB AC 4 4 即:平行四边形临边对应的向量的数量积等于和对角线平方与差对角线平方之差的四分 之一 在ABC 中有如下向量关系: 2 2 2 2 2 1 ( ABAC) 2 ( ABAC) 2 AD CB 4 AE CB 2 AB AC = AE CB 4 4 4 4 2 1 2 AB AC AE CB 4 即:在三角形中相邻两边所在向量的数量积等于相应中线的平方与
2、四分之一对边平方之 差。 极化恒等式构建了向量的数量积和几何图形之间的关系,对高考中向量的一类问题可 以起到“秒杀”的作用。 备注:ABDC 中还有一组关系 AD 2 CB22(AB2 AC 2),同学们可以自行推导。 二、极化恒等式秒杀一类向量题赏析: 例 1.已知Rt ABC的斜边AB的长为 4,设P是以C为圆心, 1 为半径的圆上的任意一点, 则 PA PB 的取值范围是 例 2.如图,圆O为Rt ABC的内切圆,已知AC3,BC4,C900,过圆心 O的直线 l交圆于 P, Q 两点,则 BP CQ 的取值范围是 例 3.已知点A, B分别在直线x1, x3上,OAOB4 ,当OAOB
3、取得最小值时, OA OB 的值为 例 4.在Rt ABC中,ACB900,AC 3,AB4,若点A, B分别在直角坐标系的两坐标 轴上运动时, OA OC 的最大值是 例 5.已知 A, B 为椭圆 x2 y21的一条动弦,且经过原点, M 为直线3x 4 y 15 0上4 的一个动点,则 MA MB 的最小值为 例 6.在锐角ABC中,已知 B 3 ,ABAC2,则AB AC的最值范围是 例 7.在平面上, AB1 AB2, OB1 OB21, AP AB1 AB2若 OP 1 2 ,则 OA 的取值 范围是 例 8.已知向量a, b,c满足ab2, c1,acbc0,则ab的取值范围是
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