完全平方数.pdf
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1、“华杯赛”官网()版权所有第页 1 完全平方数 什么是完全平方数? 相等两个整数的乘积是完全平方数,常见的完全平方数有1,4,9,16, 25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324, 361,400,441 例 1. 从 110中最多可以选出个数,使得选出的数中, 任何两 个数的和不是完全平方数. 答疑编号 0518320101 【答案】 6 【解答】 选出 2,3,4,8,9,10 这六个数,可见其中任何两个数的和都不是 完全平方数。 如果选出了七个数,将110分为 6 组,( 10,6),( 9,7),( 8, 1),(5,4),(
2、2),(3),则必有一组中的两个数都被选出来了,那 么它们的和是完全平方数。 所求的最大值是 6。 完全平方数质因数分解的特征: 将一个完全平方数质因数分解后,每个质因数的次数都是偶数。 推论:只有完全平方数恰有奇数个约数。 例 2. 从 1 到 2012 的所有自然数中,有个数乘以 72后是完全 平方数 . “华杯赛”官网()版权所有第页 2 答疑编号 0518320102 【答案】 31 【解答】因为,所以要想乘以 72 以后是完全平方数,这个数 本身应该是某个完全平方数的2 倍. 因为,所以 从 1 到 2012 中,符合要求的数有31 个. 例 3. 素数 A、B互不相等, 已知 A的
3、平方的 2 倍有 4 个约数,则 B的平 方的 4 倍有个约数 . 答疑编号 0518320103 【答案】 9 【解答】如果 A不是 2,则 A平方的 2 倍有 326 个约数,故 A2. 所以 B就不能是 2,它平方的 4 倍有 339 个约数. 本题答案为 9. 涉及到完全平方的公式: 例 4. 一个正整数,加上100 后的结果是一个完全平方数,加上168 后的结果也是一个完全平方数. 那么这个正整数为. 答疑编号 0518320104 【答案】 156 【解答】设加上 100 后为,加上 168 后为,那么, “华杯赛”官网()版权所有第页 3 即. 因为 ba 和 ba 的奇偶性相同
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