抛物线经典性质总结30条.pdf
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1、1 抛物线性质 30 条 已知抛物线 2 2(0)ypx p,AB 是抛物线的焦点弦,点C 是 AB 的中点 . AA垂直准线于A, BB垂直准线于B, CC垂直准线于C,CC 交抛物线于点M ,准线交x轴于点 K. 求证: 1. 12 |,|, 22 pp AFxBFx 2. 11 () 22 CCABAABB; 3.以 AB 为直径的圆与准线L相切; 证明:CC是梯形AA BB的中位线, | | | 2 |2ABAFBFAABBCCr 4.90AC B;(由 1 可证 ) 5.90A FB; , | |, 1 , 2 AAFKA FKFA A AFAAAA FAFA A FKAFK 证明:
2、 同理: 1 , 2 B FKBFK得证 . 6. 1 C FA B 2 . 证明:由90A FB得证 . 7.AC垂直平分A F;BC垂直平分B F; 证明:由 1 C FA B 2 可知, 1 | |, 2 C FA BC A | |,.AFAA又得证同理可证另一个. 8.AC平分A AF,BC平分B BF,A F平分AFK,BF 平分BFK. 证明:由AC垂直平分A F可证 . 9.C FAB; 证明: 12 2121 ( ,) (,) 2 yy CF ABpxx yy 222222 122112 21 ()0 2222 yyyyyy p xx 10. 1cos P AF; 1cos P
3、 BF; 证明:作 AH 垂直 x 轴于点 H, 则| | | c o s , | 1 c o s p A FA AK FF HpA FA F. y C C(x3,y3) B B(x2,y2) A OFx A(x1,y1) 2 同理可证另一个. 11. 112 AFBFP ; 证明:由 1cos P AF; 1cos P BF;得证 . 12. 点 A 处的切线为 11 ()y yp xx; 证明: (方法一)设点A 处切线方程为 11 ()yyk xx,与 2 2ypx联立,得 2 11 22 ()0,kypyp ykx由 2 11 0220,xky kp 解这个关于k的一元二次方程(它的差
4、别式也恰为0)得: 1 11 , 2 yp k xy 得证 . 证法二:(求导) 2 2ypx两边对 x 求导得 1 1 22 ,|, xx pp yypyy yy 得证 . 13 .AC 是切线,切点为A;BC是切线,切点为B; 证明:易求得点A 处的切线为 11 ()y yp xx,点 B 处的切线为 22 ()y yp xx,解得两切线的 交点为 12 (,) 22 yyp C,得证 . 14. 过抛物线准线上任一点P 作抛物线的切线, 则过两切点Q1、 Q2的弦必过焦点;并且 12. PQPQ 证明:设点 (, )() 2 p Pt tR为准线上任一点,过点P 作抛物线的切线,切点为
5、2 (, ) 2 y Qy p , 2 2ypx两边对x求导得 22 2 22 ,20, 22 PQ ppyt yypyKytyp yy yp p 显然 22 440,tp切点有两个,设为 22 212 11221212 (,),(,),2 , 22 yy QyQyyyt y yp pp 则 12 1212 222222 1212 22 2222 FQFQ yypypy kk yyypyppp pp 12 22 1212 112212 2222 0, pypypp yyyy yy yyy y 所以 Q1Q2过焦点 . 2222222 2 121212 121212122 (,) (,)() 2
6、22244 4 yyy yyyppp PQPQytyty yt yyt pp p 222 22222 222121212()242 0, 242424 yyyyy yppptp ttt 3 12. PQPQ 15.A 、O、B三点共线; B、O、A三点共线; 证明: A、 O、B三点共线 2 2 1 1212112 . 222 OAOB ypp kkx yyyyy yp p 同理可证: B、O、A三点共线 . 16. 12 2 yyp; 12 2 4 p xx 证明:设AB 的方程为 () 2 p yk x,与 2 2ypx联立,得 22 20,kypykp 2 1212 2 , p yyy
7、yp k 2242 12 122 . 224 4 yypp x x pp p 17. 122 2 sin p ABxxp 证明: 1212 , 22 pp ABAFFBxxxxp 222 1212222 2 111 |1()41()421 p AByyy ypp k kkk 2 2 2 21cot. sin p p得证 . 18. 2 2sin AOB p S; 证明: 222 1212 2 1 ()4()4 224 AOBOFAOFB ppp SSSyyy yp k 222 22 1 ()11cot 222sin ppp k . 19. 3 2 2 AOB Sp AB (定值);证明:由 2
8、 2 sin p AB、 2 2sin AOB p S得证 . 20 2 2 sin ABC p S 证明: 2212 2 111 | |21() 222 ABC yy SABPFpp k 2 222 222 11 1()(1) sin pp ppp k kk 21.2ABp;证明:由 2 2 sin p AB得证 . 4 22. 12 2 AB p k yy ;证明:由点差法得证. 23. 12 12 22 tan PP yy xx ; 证明:作AA2垂直 x 轴于点 A2,在 2 AA F中, 21 2 1 tan, 2 AAy FAp x 同理可证另一个. 24. 2 A B4 AFBF
9、; 证明: 2 2 1212 4|4()() 22 pp A BAFBFyyxx 2222 121212121212 242224yyy yx xpxpxpy yx xp, 由 12 2 yyp, 12 2 4 p xx得证 . 25. 设 CC交抛物线于点M ,则点 M 是 CC的中点; 证明: 12121212 (,),(,),CC, 22224 xxyyyyxxpp CC中点横坐标为 把 12 2 yy y代入 2 2ypx,得 222 12121212 2222 2,2,. 444 yyy ypxpxpxxp pxpxx 所以点 M 的横坐标为 12 . 4 xxp x点 M 是 CC
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- 抛物线 经典 性质 总结 30
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