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1、1 / 4 山东轻工业学院08/09 学年 II 学期数学模型期末考试A 试卷 本试卷共 4 页) 说 明 : 本 次 考 试 为 开 卷考 试,参加考试的同学可以携带任何资料,可以使用计算器,但上述物品严禁相 互借用。 一、简答题 本题满分16 分,每小题8分) 1、在 2.2 录像机计数器的用途中,仔细推算一下1)式,写出与 2)式的差别,并解释这个差别; 2、试说明在 3.1 中不允许缺货的存储模型中为什么没有考虑生产费用,在什么条件下可 以不考虑它; 二、简答题 本题满分16 分,每小题8 分) 1、对于 5.1 传染病的SIR 模型,叙述当 1 0 s时)(ti的变化情 况 并加以证
2、明。 2、在 6.1 捕鱼业的持续收获的效益模型中,若单位捕捞强度的费用为捕捞强度E的减函数, 即)0,0( ,babEac,请问如何达到最大经济效益? 三、简答题 本题满分16 分,每小题8分) 1 、 在 9.3 随 机 存 储 策 略 中 , 请 用 图 解 法 说 明 为 什 么s是 方 程 )()( 0 SIcxI的最小正根。 2、请结合自身特点谈一下如何培养数学建模的能力? 四、 本题满分20 分) 某中学有三个年级共1000 名学生,一年级有219 人,二年级有 316 人,三年级有465 人。现要选20 名校级优秀学生,请用下列办 法分配各年级的优秀学生名额:1)按比例加惯例的
3、方法;2 )Q 值法。另外如果校级优秀学 生名额增加到21 个,重新进行分配,并按照席位分配的理想 化准则分析分配结果。 五、 本题满分16 分) 大学生毕业生小李为选择就业岗位建立了层次分析模型,影响 就 业的因素考虑了收入情况、发展空间、社会声誉三个方面,有三个 就 业 岗 位 可 供 选 择 。 层 次 结 构 图 如 图 , 已 知 准 则 层 对 目 标 层 的 成 对 比 较 矩 阵 题 号 一二三四五六总分 得 分 得分 阅卷人 得分 阅卷人 得分 阅卷人 得分 阅卷人 得分 阅卷人 选择就业岗位 2 / 4 12/15/1 213/1 531 A, 方 案 层 对 准 则 层
4、的 成 对 比 较 矩 阵 分 别 为 127 2/114 7/14/11 1 B, 13/17/1 313/1 731 2 B, 12/16/1 214/1 641 3 B。JhYEQB29bj 请根据层次分析方法为小李确定最佳的工作岗位。 六、 本题满分16 分) 某保险公司欲开发一种人寿保险,投保人需要每年缴纳一定数的 额保险费,如果投保人某年未按时缴纳保费则视为保险合同终止 退保)。保险公司需要对投保人的健康、疾病、死亡和退保的情况作出评估,从而制 定合适的投保金额和理赔金额。各种状态间相互转移的情况和概率如图。试建立马氏链 模型分析在投保人投保时分别为健康或疾病状态下,平均需要经过多
5、少年投保人就会出 现退保或死亡的情况,以及出现每种情况的概率各是多少?5Y944Acbad 山东轻工业学院08/09 学年 II 学期数学模型期末考试A 试卷解答 一、简答题 本题满分16 分,每小题8 分) 1、 答:由 1)得vt mm mr 2 )1( 22,。4 分 将knm代入得)2( 2 2 r v kn n v k t,。6 分 因为r所以rr22,则得 2)。8 分 2、答:假设每件产品的生产费用为 3 c,则平均每天的生产费用为rc3 ,每天的平均费用是 rc rTc T c TC 3 12 1 1 11 2 )(,。4分 下面求 1 T使)( 11 TC最小,发现 dT T
6、dC dT TdC)()( 1 11 ,所以 rc c TT 2 1 1 2 ,与生产费用无关,所以不考虑。8 分 二、简答题 本题满分16 分,每小题8 分) 1、答:由 14)),1(si dt di 若 1 0 s, 当 0 1 ss 时,)(,0ti dt di 增加 ; 。4分 当 1 s时,)(,0ti dt di 达到最大值 m i; 得分 阅卷人 退保 健康 死亡 疾病 0.15 0.05 0.1 0.07 0.03 0.6 3 / 4 当 1 s时,)(,0ti dt di 减少且由1.知0i。8 分 2、 答:EbEaS)(,则EbEapExSTR)(, 。2 分 将)1
7、( 0 r E Nx代入,得 2 )()()(E r pN bEapNER,。5 分 令0R得 pNrb pNar ER 2 。8分 三、简答题 本题满分16 分,每小题8 分) 1、由于方程 4)左边随着S的增加单调递增,因此)(uJ有唯一驻点xSu且为最小值点。从而 )(uJ是下凸的。而由)(uJ和)(xI的表达式的相似性知)(xI也是下凸的,而且在Sx处达最小值 )(SI。4 分 5Y944Acbad 记)()( 0 SIcxIxA,)()( 0 SIcxIxB则集合A与B的分界点即为订货点s,此 即方程 )()( 0 SIcxI的最小正根。8 分 5Y944Acbad 2、答:回答要点
8、)培养想象力和洞察 力。8 分5Y944Acbad 四、 本题满分 20 分) 解: 20 个席位: 1)、38.420 1000 219 ,32.620 1000 316 ,30.920 1000 465 因此比例加惯例 分 配 结 果 为5 、 6 、 9个 。 2 ) 三 方 先 分 得4 、 6 、 9 个 , 54 219 2 1 Q2398.05 , 76 316 2 2 Q2377.525Y944Acbad 109 465 2 3 Q2402.5, 3 Q最大,按Q值法分配结果为4、6、10 个。 。8 分 21 个席位: 1)599.421 1000 219 ,636.621
9、1000 316 ,765.921 1000 465 因此比例加惯例分配 结果为 4、7、10 个。 2)三方先分得4、6、 10 个, 1110 465 2 3 Q195.68, 1 Q最大,按Q值法分 配结果为 5、6、10 个。16 分5Y944Acbad 显然此例中比例加惯例的方法违背了席位分配的理想化准则1,而Q值法分配结果恰好也满足准则 2,因此Q值法分配结果是同时符合准则1和准则 2.。20分 5Y944Acbad 五、 本题满分 16 分) 解:用“和法”近似计算得: 矩 阵A对 应 的 权 向 量 为 : T )12.0,23. 0,65.0(, 最 大 特 征 根 为3.0
10、03697 ,0018.0CI, 0031.0CR 4 / 4 矩 阵 1 B对 应 的 权 向 量 为 : T )60. 0,32.0,08.0(, 最 大 特 征 根 为3.001982 ,001.0CI, 0017.0CR 矩阵 2 B对应的权向量为: T )09. 0,24.0,67.0(,最大特征根为3.00703,0035.0CI,006.0CR 矩阵 3 B对应的权向量为: T )11.0 ,19.0 ,70.0(,最大特征根为3.00922,0046.0CI,008.0CR 。 。 12 分 组合权向量为 T )423664.0,283708.0 ,292628.0( 因此最佳
11、的岗位为岗位3。16 分 5Y944Acbad 六、 本题满分 16 分) 解:由题意,转移概率矩阵为 3.06 .007.003.0 01.7 .005.015.0 0010 0001 ,从而知状态“退保”和“死亡”为两个吸 收状态,此为吸收链。6 分 5Y944Acbad 1 1 7.06.0 1 .03.0 )(QIM= 24 3 2 3 2 4 Mey= T )6 , 3 1 5(,因此在投保时健康或疾病状态下,平均需要经过 3 1 5或 6 年投保人就会出现退 保或死亡的情况。12 分 5Y944Acbad MRF= 34.066. 0 28.072. 0 ,因此在投保时健康状态下,被“退保”和“死亡”吸收的概率分别为 0.72 和0.28;在投保时疾病状态下,被“退保”和“死亡”吸收的概率分别为0.66 和0.34。 5Y944Acbad 。18 分 申明: 所有资料为本人收集整理,仅限个人学习使用,勿做商业用途。
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