空间向量在度量问题中的应用.pdf
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1、1 / 21 空间向量在立体几何中的应用2 一、教案目标: 知识与技能 : 1)掌握向量方法解决立体几何相关问题的一般步骤,C(1,0,0,B(1,1,0,D1(0,0,1, M(0,1, 2 1 ,O( 2 1 , 2 1 , 2 1 。 xHAQX74J0X , M(1, 2 1 ,1, N( 2 1 ,0,1, E( 2 1 ,1,1, F(0, 2 1 ,1 , B到平 面 mx+ny+pz+q=0 的 距 离 公 式 为 222 000 | pnm qpznymx d, 其 中 (m,n,p 为平面的一个法向量。运用法向量可使点到平面距离的求法程序化和简 单化。kavU42VRUs
2、例 7,B(1,1,0,E(0,1,1代 入 得 , m=p=-n ,p=0, 平面 BDE 方程为 x-y+z=0 。 故 点D1求证:平面 EFG 平面 A CB1,并判断三角形类型; (2若正方体棱长为 a,求 EFG的最大面积,并求此时EF与 B1C的距离 参考答案 一、1B;2A;3A;4C ; 分析:建立如图所示的直角坐标系,则 y x z C B A A 1 D B 1 D 1 G E C 1 O 1 F H P 图 5 10 / 21 A B C D O S x y z 图 22 (,0) 22 A, 22 (,0) 22 B, 22 (,0) 22 C, 22 (,0) 22
3、 D, (0,0, 2)S (2,2,0)DB, 22 (,2) 22 CS 令向量( , ,1)nx y,且,nDB nCS,则 0 0 n DB n CS , ( , ,1) (2,2,0)0 22 ( , ,1) (,2)0 22 x y x y , 0 220 xy xy , 2 2 x y ,(2,2,1)n 异面直线BD和SC之间的距离为: OC n d n 22 (,0) (2,2,1) 22 (2,2,1) 222 1 10 2 5 5 (2)(2)1 5A;分析: 11 ABB A为正方形, 11 A BAB,又平面 1 AB D平面 11 ABB A, 1 A B面 1 A
4、B D, 1 AB是平面 1 AB D的一个法向量,设点C到平面 1 AB D的距离为d,则 1 1 ACA B d A B = 1 () 2 ACA AAB a = 1 ) 2 ACA AACAB a = 0 0cos60 2 4 2 aa a a 6B;分析:建立如图所示的直角坐标系, 设平面 11 AC D的一个法向量( , ,1)nx y,则 1 1 0 0 n DA n DC , x A B C D A1 B1 C1 D1 y z E 图 11 / 21 即 ( , ,1) (1,0,1)0 ( , ,1) (0,1,1)0 x y x y 1 1 x y , ( 1, 1,1)n,
5、平面 1 ABC与平面 11 AC D间的距离 AD n d n 222 (_1,0,0) ( 1, 1,1)3 . 3 ( 1)( 1)1 7D; . 222 ,0,0 ,0,0 ,0,0 . 222 0,0,. 212 ,0, 422 OPABCOAOCABBC OAOBOAOPOBOP OOPzOxyz ABaAaBaCa OPhPh DPC ODahPAa 平面, , 以为原点,射线为非负 轴,建立空间直角坐标系如图 , 设,则 设,则 为的中点, 又 ,0, 1 . 2 h ODPAODPAODPAB , 平面 2 , 7 , 2 214 ,0, 44 1 1,1, 7 210 co
6、s,. 30 210 sincos, 30 210 arcsin. 30 PAa ha ODaa PBCn OD n OD n ODn ODPBC OD n ODPBC 可求得平面的法向量 设与平面所成的角为, 则 与平面所成的角为 8B;解以 C 为坐标原点, C A 所在直线为 x轴,C B 所在直线为y轴, 1 CC 所 在直线为 z轴,建立直角坐标系, 设aCBCA, 则)(0, 0,aA,)(0,0 aB,)(2,0 , 1 aA,)(1 ,0 ,0D )(1 , 2 , 2 aa E,)( 3 1 , 3 , 3 aa G, z y x P O D C B A A A1 B1 C
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