第二十五讲辅助圆.pdf
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1、1 / 4 第二十五讲辅助圆 在处理平面几何中的许多问题时,常需要借助于圆的性质,问题才得以解决 而我们需要的圆并不存在(有时题设中没有涉及圆;有时虽然题设涉及圆,但是此圆并 不是我们需要用的圆,这就需要我们利用已知条件,借助图形把需要的实际存在的圆找 出来,添补辅助圆的常见方法有:zy6uLCVvwib5E2RGbCAP 1利用圆的定义添补辅助圆; 2作三角形的外接圆; 3运用四点共圆的判定方法: (1若一个四边形的一组对角互补,则它的四个顶点共圆 (2同底同侧张等角的三角形,各顶点共圆 (3若四边形 ABCD 的对角线相交于P,且 PAPC=PBPD,则它的四个顶点共圆 (4若四边形 AB
2、CD 的一组对边AB 、DC 的延长线相交于P,且 PAPBPCPD,则它 的四个顶点共圆zy6uLCVvwip1EanqFDPw 【例题求解】 【例 1】如图,直线AB 和 AC 与 O 分别相切于B、C, P 为圆上一点, P 到 AB、 AC 的 距离分别为4cm、6cm,那么 P到 BC 的距离为zy6uLCVvwiDXDiTa9E3d 思路点拨连 DF,EF,寻找PD、PE、PF 之间的关系,证明PDF PFE,而发现P、 D、B、F 与 P、E、C、F 分别共圆,突破角是解题的关键 zy6uLCVvwiRTCrpUDGiT 注:圆具有丰富的性质: (1圆的对称性; (2等圆或同圆中
3、不同名称量的转化; (3与圆相关的角; (4圆中比例线段 适当发现并添出辅助圆,就为圆的丰富性质的运用创造了条件,由于图形的复杂性, 有时在图中并不需画出圆,可谓“图中无圆,心中有圆”zy6uLCVvwi5PCzVD7HxA 【例 2】如图,若PA=PB, APB=2 ACB ,AC 与 PB 交于点P,且 PB=4,PD=3,则 AD DC 等于 ( zy6uLCVvwijLBHrnAILg A6 B7 C12 D 16 思路点拨作出以 P点为圆心、 PA长为半径的圆,为相交弦定理的应用创设了条件 注:到一个定点等距离的几个点在同一个圆上,这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方 法 【例3】如图
4、,在ABC中, AB=AC ,任意延长CA 到到 Q,使 AP=BQ ,求证: ABC 的外心 O 与 A, P,Q 四点共圆 思路点拨先作出 ABC 的外心 O,连 PO、OQ,将问题转化为证明角相等 【例 4】 如图, P 是 O 外一点, PA切 O 于 A,PBC 是 O求 证: CD PC PD PB 思 路 点拨因所 证比例线段不是对应边,故不能通过判定相似 证 明 PA2=PD PO=PBPC,B、C、O、 D 共圆,这样连 OB,就得多对相似三角形,以此 达到证明的目的zy6uLCVvwiLDAYtRyKfE 注:四点共圆既是一类问题,又是平面几何中一个重要的证明方法,它和证明
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