考点30异面直线所成的角-2018版典型高考数学试题解读与变式(原卷版).pdf
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1、典型高考数学试题解读与变式2018版 考点 30 : 异面直线所成的角 【考纲要求】 1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题. 2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用. 【命题规律】 异面直线的知识是高考的热点问题,选择、填空、解答题都有可能进行考查.预计2018年的高考对本知识 的考查空间向量的应用,仍然是以简单几何体为载体解决线线问题 【典型高考试题变式】 (一)空间直线与直线夹角的问题 例 1.【2017 全国 3 卷(理)】a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC 所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下
2、列结论: 当直线AB与a成60角时,AB与b成30角; 当直线AB与a成60角时,AB与b成60角; 来源 学 科网 直线AB与a所称角的最小值为45; 直线AB与a所称角的最小值为60; 其中正确的是_. (填写所有正确结论的编号) 来源 学科网 ZXXK 【变式 1】【改编例题中条件, 求两直线的夹角】【2016 浙江 (文)】 如图,已知平面四边形ABCD , AB=BC=3, CD=1 ,AD= 5 ,ADC=90 . 沿直线AC 将 ACD 翻折成 ACD ,直线 AC 与 BD 所成角的余弦的最 大值是 _. 学科 = 网 【变式二】 【改编例题中结论,求解动态问题】【2017浙江
3、嵊州市二模】在四棱柱 1111 ABCDA B C D中, 1 AA平面 1111 A B C D, 底面 1111 A B C D是边长为a的正方形, 侧棱 1 AA的长为b,E为侧棱 1 BB上的动点(包 括端点),则() A对任意的a,b,存在点E,使得 11 ECDB B当且仅当ab时,存在点E,使得 11 ECDB C当且仅当 ba 时,存在点 E,使得11 ECDB D当且仅当ba时,存在点E,使得 11 ECDB (二)异面直线的夹角 例 2.【2017 全国 2 卷(理)】已知直三棱柱 111 ABCABC中,120ABC,2AB, 1 1BCCC, 则异面直线 1 AB与 1
4、 BC所成角的余弦值为(). A 3 2 B 15 5 来源 学科网 C 10 5 D 3 3 【变式 1】 【改编题目条件和结论,利用向量法求解】【2017 届东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实 验中学四模】 已知正四棱锥PABCD中,2,PAABE F分别是,PB PC的中点, 则异面直线AE与 BF所成角的余弦值为() A. 3 3 B. 6 3 C. 1 6 D. 1 2 【变式 2】 【改编题目条件和结论,利用普通方法求解】【2018 届河北省邢台市高三上学期第二次月考】如 图,在四棱锥PABCD中,PO平面ABCD,E为线段AP的中点,底面ABCD为菱形,若 2BDa,4PCa
5、,则异面直线DE与PC所成角的正弦值为() A. 25 5 B. 5 5 C. 3 2 D. 1 2 【数学思想】 1.转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法,数学中一切问题的解决(当然包括解题 )都离不开转化 与化归,数形结合思想体现了数与形的相互转化;函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转 化;分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化,以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现。各 种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段。所以说,转化与化归是数学思想 方法的灵魂 .学科!网 2. 转化包括等价转化和非等价转化,非等价转化又分为强化转化和弱化转化 等价
6、转化要求在转化过程中的前因后果既是充分的又是必要的,这样的转化能保证转化的结果仍为原问题 所需要的结果,非等价转化其过程则是充分的或必要的,这样的转化能给人带来思维的启迪,找到解决问 题的突破口,非等价变形要对所得结论进行必要的修改. 非等价转化(强化转化和弱化转化)在思维上带有跳跃性,是难点,在压轴题的解答中常常用到,一定要 特别重视! 3. 转化与化归的原则 (1)熟悉化原则:将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题; (2)直观化原则:将抽象的问题转化为具体的直观的问题; (3)简单化原则:将复杂的问题转化为简单的问题,将一般性的问题转化为直观的特殊的问题;将实际问 题转化
7、为数学问题,使问题便与解决. (4)正难则反原则:若过正面问题难以解决,可考虑问题的反面,从问题的反面寻求突破的途径; (5)低维度原则:将高维度问题转化成低维度问题. 4.转化与化归的基本类型 (1) 正与反、一般与特殊的转化; (2) 常量与变量的转化; (3) 数与形的转化; 来源 学 +科+网 (4) 数学各分支之间的转化; (5) 相等与不相等之间的转化; (6) 实际问题与数学模型的转化. 5常见的转化方法 (1)直接转化法:把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题; (2)换元法:运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题; (3)参数法 :引
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