考点40圆锥曲线中的范围与最值问题-2018版典型高考数学试题解读与变式(解析版).pdf
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1、典型高考数学试题解读与变式2018版 考点 40 圆锥曲线中的范围与最值问题 【考纲要求】 应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系会判断已知直线与曲线的位置关系(或 交点个数 ),会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值 【命题规律】 圆锥曲线中的范围与最值问题在选择题、填空题以及解答题中都会考查,在解答题中出现时难度较大. 【典型高考试题变式】 (一)离心率的范围 例 1.【2017 课标卷】若1a,则双曲线 2 2 2 1 x y a 的离心率的取值范围是() A. (2,) B. ( 2,2) C. (1, 2)D. (1,2) 【答案】 C 【解析】由题意 22 2 222
2、 11 1 ca e aaa ,因为1a,所以 2 1 112 a ,则1 2e ,故选 C. 【名师点睛】 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 , ,a b c的方程或不 等式,再根据 , ,a b c的关系消掉b得到 ,a c 的关系式,而建立关于 , ,a b c的方程或不等式,要充分利用椭圆 和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 【变式 1】 【 2016 湖南长沙市月考】设 12 ,F F是双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的两个焦点,P在双曲 线上,若 1212 0,| | 2PF PFPFPFac(c为半焦距 ),则双曲线的离心率为()
3、 A 31 2 B 31 2 C 2 D 51 2 【答案】 D 【解析】由题意得, 12 PF F是直角三角形,由勾股定理得 2 2222 121212 |244|2|cPFPFPFPFPFPFaac, 22 0caca, 2 10ee,1e, 51 2 e故选 D 【变式 2】已知椭圆 x2 a2 y 2 b 21( ab0) 的左、右焦点分别为F1(c,0)、F2(c,0),若椭圆上存在点P使 a sin PF1F2 c sin PF2F1 ,则该椭圆离心率的取值范围为( ) A (0,21) B.)1 , 2 2 (C.) 2 2 ,0(D(21,1) 【答案】 D 【解析】根据正弦定
4、理得 |PF2| sin PF1F2 |PF1| sin PF2F1, 所以由 a sin PF1F2 c sin PF2F1 可得 a |PF2| c |PF1| ,即 |PF1| |PF2| c ae , 所以 |PF1|e|PF2|,又 |PF1|PF2|e|PF2|PF2| |PF2| (e1) 2a,则 |PF2| 2a e 1, 因为acb0) 的离心率为 2 2 , 椭圆C截直线y=1 所得线段的长度为2 2. (1)求椭圆C的方程; (2)动直线l:y=kx+m(m 0) 交椭圆C于A,B两点 ,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点 ,N的 半径 为|NO|. 设D为AB的中点
5、 ,DE,DF与N分别相切于点E,F,求EDF的最小值 . 【解析】(1)由椭圆的离心率为 2 2 ,得 222 2()aab, 又当1y时, 2 22 2 a xa b ,得 2 2 2 2 a a b , 所以 22 4,2ab,因此椭圆方程为 22 1 42 xy . (2)设 1122 ( ,),(,)A x yB xy,联立方程 22 24 ykxm xy , 得 222 (21)4240kxkmxm, 由0得 22 42mk .( *) 且 122 4 21 km xx k ,因此 122 2 21 m yy k , 所以 22 2 (,) 21 21 kmm D kk , 又(0
6、,)Nm,所以 2 22 22 2 ()() 2121 kmm NDm kk ,整理得 224 2 22 4(1 3) (21) mkk ND k , 因为NFm,所以 2 422 22222 4(31)83 1 (21)(21) ND kkk kk NF . 令 2 83,3tkt,故 2 1 21 4 t k, 所以 2 22 1616 11 1 (1) 2 ND t t NF t t . 令 1 yt t ,所以 2 1 1y t . 当3t时,0y,从而 1 yt t 在3,)上单调递增, 因此 110 3 t t ,等号当且仅当3t时成立,此时0k, 所以 2 2 134 ND NF
7、 ,由( *)得22m且0m.故 1 2 NF ND , 设2EDF,则 1 sin 2 NF ND ,所以的最小值为 6 , 从而EDF的最小值为 3 ,此时直线l的斜率是0. 综上所述:当0k,(2,0)(0,2)m时,EDF取到最小值 3 . 【数学思想】 数形结合思想 分类讨论思想 转化与化归思想. 【温馨提示】 对于参数的取值范围问题,要能从几何特征的角度去分析参数变化的原因,谁是自变量,定义域是什 么,这实际是函数问题,要学会用函数的观点分析这类问题. 【典例试题演练】 1. 已知双曲线 x2 a2 y2 b 21 与直线 y 2x有交点,则双曲线离心率的取值范围为( ) A (1
8、,5) B(1,5 C(5,) D5,) 【答案】 C 【解析】双曲线的一条渐近线方程为y b ax,则由题意得 b a 2, e c a 1 b a 2 145. 2.【2016 新高考调研卷】已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的中心为 O,右焦点为 F、右顶点为 A,直线 2 a x c 与x轴的交点为K,则 | | FA OK 的最大值为() A 1 2 B 1 3 C 1 4 D1 【答案】 C 【解析】 2 22 22 |111 () |244 FAacacc eee OKaa c .故选 C. 3.【2016 湖南长沙市模拟】抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为F
9、,已知点,A B为抛物线上的两个动 点,且 满足 0 120AFB. 过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则 | | MN AB 的最大值为 ( ) A 3 3 B1 C 2 3 3 D2 【答案】 A 【解析】设,AFa BFb,由余弦定理得 22 2222 2cos120ABabababababab 2 2 2 ab ab 23 4 ab, 2233 2 43 MN abAFBFMNABMN AB . 4.【2016 洛阳市模拟】已知点P在双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右支上, 12 ,F F分别为双曲线的 左、右焦点,若 22 2 12 12PF
10、PFa,则该双曲线的离心率的取值范围是() A3,)B(2, 4C(2,3D(1,3 【答案】 D 【解析】因为 12 | 2PFPFa,所以 1212 | 6 ,| 4 ,|2PFPFa PFa PFa, 又 2 |PFac,所以213aace,选 D. 5.【2016 湖南省郴州市检测】已知椭圆 22 22 :10 xy Mab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F,点A是椭 圆M与圆 2 224 :22 9 C xybm在第一象限的交点, 且点A到 2 F的距离等于 1 3 m.若椭圆M上一动 点到点 1 F与到点C的距离之差的最大值为2am,则椭圆M的离心率为() A 1 3 B
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