考研数学一试题及答案解析.pdf
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1、1 / 10 2007 年数学一 一、选择题: (本题共 10 小题,每小题4 分,共 40 分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把 所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 当0x时,与x等价的无穷小量是 (A) 1 x e. (B) 1 ln 1 x x . (C) 11x. (D) 1cosx.B 【分析】利用已知无穷小量的等价代换公式,尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量,再进行比较分析 找出正确答案. 【详解】 当0x 时,有1(1) xx eex; 1 11 2 xx; 2 11 1cos(). 22 xxx利用排除法知应选(B). (2) 曲线 1 ln(1) x
2、 ye x ,渐近线的条数为 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.D 【分析】先找出无定义点,确定其是否为对应垂直渐近线;再考虑水平或斜渐近线。 【详解】因为 0 1 limln(1) x x e x ,所以0x为垂直渐近线; 又 1 limln(1)0 x x e x ,所以 y=0 为水平渐近线; 进一步, 2 1ln(1)ln(1) limlim lim xx xxx yee xxxx =lim1 1 x x x e e , 1 lim1limln(1) x xx yxex x =limln(1) x x ex =limln(1)lim ln(1)0 xxx xx ee
3、xe, 于是有斜渐近线:y = x. 故应选 (D). (3) 如图,连续函数y=f(x)在区间 - 3,-2,2,3上的图形分别是直径为1 的上、下半圆周,在区间- 2, 0,0, 2的图形分别是直径为2 的上、下半圆周,设 0 ( )( ). x F xf t dt则下列结论正确的是 (A) 3 (3)( 2) 4 FF. (B) 5 (3)(2) 4 FF. (C) )2( 4 3 )3(FF. (D) )2( 4 5 ) 3(FF.C 【分析】本题考查定积分的几何意义,应注意f(x)在不同区间段上的符号,从而搞清楚相应积分与面积的 关系。 【详解】根据定积分的几何意义,知F(2)为半径
4、是1 的半圆面积: 1 (2) 2 F, F(3)是两个半圆面积之差: 22113 (3)1( ) 228 F= 3 (2) 4 F, 0 3 3 0 )()()3(dxxfdxxfF)3()( 3 0 Fdxxf 因此应选 (C). 2 / 10 (4) 设函数 f(x)在 x=0 处连续,下列命题错误的是 (A) 若 0 ( ) lim x f x x 存在,则f(0)=0. (B) 若 0 ( )() lim x f xfx x 存在,则f(0)=0. (C) 若 0 ( ) lim x f x x 存在,则(0)f存在 . (D) 若 0 ( )() lim x f xfx x 存在,
5、则(0)f存在 D 【分析】本题为极限的逆问题,已知某极限存在的情况下,需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。 【详解】(A),(B)两项中分母的极限为0,因此分子的极限也必须为0,均可推导出f(0)=0. 若 0 ( ) lim x f x x 存在,则 00 ( )(0)( ) (0)0,(0)limlim0 0 xx f xff x ff xx ,可见 (C)也正确,故应选(D). 事实上, 可举反例:( )f xx在 x=0 处连续,且 0 ( )() lim x f xfx x = 0 lim0 x xx x 存在,但( )f xx在 x=0 处不可导。 (5) 设函数 f (x)在
6、(0,)上具有二阶导数,且( )0.fx令) ,2, 1)(nnfu n , 则下列结论正确的是 (A) 若 12 uu,则 n u必收敛 . (B) 若 12 uu,则 n u必发散 . (C) 若 12 uu,则 n u必收敛 . (D) 若 12 uu,则 n u必发散 . D 【分析】可直接证明或利用反例通过排除法进行讨论。 【详解】设 f(x)= 2 x, 则 f (x)在(0,)上具有二阶导数,且 12 ( )0,fxuu,但 2 n un发散,排除 (C)。 设 f(x)= 1 x , 则 f(x)在(0,)上具有二阶导数,且 12 ( )0,fxuu,但 1 n u n 收敛,
7、排除 (B)。 又若 设( )lnf xx,则 f(x)在(0,)上具有二阶导数,且 12 ( )0,fxuu,但 ln n un发散,排除 (A). 故 应选 (D). (6) 设曲线:( , )1( , )Lf x yf x y具有一阶连续偏导数),过第II 象限内的点M 和第 IV 象限内的点N,T 为 L上从点 M 到点 N 的一段弧,则下列小于零的是 (A) ( , ) T f x y dx. (B) ( ,) T f x y dy. (C) ( , ) T f x y ds. (D) ( , )( , ) xy T fx y dxfx y dy. B 【分析】直接计算出四个积分的值
8、,从而可确定正确选项。 【详解】设 M 、 N 点的坐标分别为 11221212 (,),(,),M x yN xyxxyy. 先将曲线方程代入积分表达式, 再计算有: 21 ( , )0 TT f x y dxdxxx 。 21 ( , )0 TT f x y dydyyy 。 ( , )0 TT f x y dsdss 。( , )( , )( , )0 xy TT fx y dxfx y dydf x y. 故正确选项为(B). (7) 设向量组 321 ,线性无关,则下列向量组线性相关的是 3 / 10 (A) 133221 ,. (B) 133221 ,. (C) 133221 2,
9、2,2. (D) 133221 2,2,2.A 【详解】 用定义进行判定:令 0)()()( 133322211 xxx, 得0)()()( 332221131 xxxxxx. 因 321 ,线性无关,所以 13 12 23 0, 0, 0. xx xx xx 又0 110 011 101 , 故上述齐次线性方程组有非零解, 即 133221 ,线性相关 .类似可得 (B), (C), (D)中的向量组都是线 性无关的 . (8) 设矩阵 211 121 112 A, 000 010 001 B,则 A 与 B (A)合同 , 且相似 . (B) 合同 , 但不相似. (C)不合同 , 但相似
10、 . (D) 既不合同 , 又不相似 .B 【详解】由0|AE得 A 的特征值为0, 3, 3, 而 B 的特征值为0, 1, 1,从而 A与 B 不相似 . 又 r(A)=r(B)=2, 且 A、B 有相同的正惯性指数, 因此 A 与 B合同 . 故选 (B) . (9) 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0p1),则此人第4 次射击恰好第2 次命中 目标的概率为 (A) 2 )1(3pp(B) 2 )1 (6pp. (C) 22 )1 (3pp(D) 22 )1(6ppC 【详解】“ 第 4 次射击恰好第2 次命中 ” 表示 4 次射击中第4 次命中目标 , 前 3
11、次射击中有1 次命中目标 , 由 独立重复性知所求概率为: 221 3 )1(ppC. 故选 (C) . (10) 设随机变量 (,)服从二维正态分布,且与不相关,)()(yfxf YX 分别表示,的概率密度,则在 y 的条件下,的条件概率密度)|( | yxf YX 为 (A) )(xf X (B) )(yfY(C ) )()(yfxf YX . (D) )( )( yf xf Y X A 【详解】 因(,)服从二维正态分布,且与不相关,故与相互独立,于是)|( | yxf YX =)(xf X . 因此选 (A) . 二、填空题 :(1116 小题,每小题4 分,共 24 分. 把答案填在
12、题中横线上) (11) 1 2 3 1 1 x e dx x = 1 2 1 . 2 e 4 / 10 【分析】 先作变量代换,再分部积分。 【详解】 1 11 21 3 2 1 32 11 2 11 () t x tt x e dxt edtte dt xt = 1 11 1 2 111 22 2 1 . 2 ttt tdetee dte (12) 设 f(u,v)为二元可微函数,(,) yx zf xy,则 z x = 1 12 ln. yx fyxfyy 【详解】利用复合函数求偏导公式,有 z x = 1 12 ln. yx fyxfyy (13) 二 阶常 系 数 非齐次线 性 微 分
13、方 程 2 432 x yyye的 通 解为 32 12 2. xxx yC eC ee其 中 21,C C 为任意常数 . 【详解】 特征方程为 2 430, 解得 12 1,3.可见对应齐次线性微分方程430yyy 的通解为 3 12 . xx yC eC e 设非齐次线性微分方程 2 432 x yyye的特解为 *2x yke,代入非齐次方程可得k= - 2. 故通解为 32 12 2. xxx yC eC ee (14) 设曲面 :1xyz ,则dSyx|)|(= 4 3. 3 【详解】由于曲面关于平面x=0 对称,因此dSx =0. 又曲面:1xyz具有轮换对称性,于 是 dSyx
14、|)|(=dSy |=dSx |=dSz |=dSzyx|)|(| 3 1 =dS 3 1 2 3 8 3 1 = 4 3. 3 (15) 设矩阵 0000 1000 0100 0010 A , 则 3 A的秩为 1. 【详解】 依矩阵乘法直接计算得 0000 0000 0000 1000 3 A,故 r( 3 A)=1. (16) 在区间 (0, 1)中随机地取两个数, 则两数之差的绝对值小于 2 1 的概率为 4 3 【详解】 这是一个几何概型, 设 x, y 为所取的两个数, 则样本空间 1,0|),(yxyx, 记 2 1 | ,),( | ),(yxyxyxA. 5 / 10 故 S
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