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1、1 / 63 行政能力测验解题方法大全=C。b5E2RGbCAP 给大家提供以下几个例题来利用公式解决问题。 例题1:超市规定每3 个空汽水瓶可以换一瓶汽水,小李有12 个空汽水瓶,最多可以换几瓶汽水?( A. 4 瓶 B. 5瓶 C. 6瓶 D. 7瓶p1EanqFDPw 【解读】 C 本题空瓶换酒问题。根据空瓶换酒公式:B(A-1=C,得12(3 -1=6 ,所以最多可以换来6 瓶汽水。故选C。DXDiTa9E3d 例题 2:某商店出售啤酒,规定每4 个空瓶可换一瓶啤酒,张伯伯家买了24 瓶啤酒,那么他家前后共能 喝掉多少瓶啤酒?( A. 30 瓶 B. 32瓶 C. 34瓶 D. 35瓶
2、RTCrpUDGiT 【解读】 B 本题空瓶换酒问题。根据空瓶换酒公式:B(A-1=C,张伯伯24 瓶啤酒喝完后,24 个空瓶可 以换 24(4 -1=8 瓶,所以他家前后共能喝掉24+8=32 瓶啤酒。故选B。5PCzVD7HxA 例题3: 5 个汽水空瓶可以换一瓶汽水,某班同学喝了161 瓶汽水,其中有一些是用喝剩下来的空瓶换 的,那么他们至少要买汽水多少瓶?( A. 129 瓶 B. 128瓶 C. 127瓶 D. 126瓶jLBHrnAILg 【解读】 A 本题空瓶换酒问题。根据空瓶换酒公式:B(A-1=C,设他们至少买汽水x 瓶。则换回汽水 x(5 -1 瓶,根据题意有: x+ x
3、(5-1=161 ,解得:x=128.8 。所以他们至少买129 瓶汽水。故选A。 xHAQX74J0X 最小公倍数问题 【例 3】甲,乙,丙,丁四个人去图书馆借书,甲每隔5 天去一次,乙每隔11 天去一次,丙每隔17 天去一 次,丁每隔29 天去一次。 5 月 18 日,四个人恰好在图书馆相遇,则下一次相遇的时间为( LDAYtRyKfE A.10 月 18 日B.10 月 14 日 C.11 月 18 日D.11 月 14 日 【答案】 D 【解读】甲实际上是每6 天去一次,乙是每12 天去一次,丙每18 天去一次,丁每30 天去一次,先求出 它们的最小公倍数为180,然后结合选项排除A
4、,B,再从 5 月到 11 月中间有31 天的大月,和30 天的小月, 所以排除C ,选 D。Zzz6ZB2Ltk 【例 4】单独完成某项工作,甲需要16 小时,乙需要12 小时。如果按照甲、乙、甲、乙、的顺序轮 流工作,每次1 小时,那么完成这项工作需要多长时间( dvzfvkwMI1 A.13 小时 40 分钟B.13 小时 45 分钟C.13 小时 50 分钟D.14 小时 【答案】 B 【解读】先求出16,12 的最小公倍数,设工作总量=48,那么甲的效率为3 个单位,乙的效率为4 个单 位,先甲工作一个小时,然后乙工作一个小时,那么它们工作2 个小时,完成7 个单位,有6 个轮回,
5、12 个 小时,共完成42 个单位,还剩6 个单位,接着甲又工作一天,剩下3 个单位,其中乙的效率是一小时4 个单 位,也就是15 分钟一个单位,所以剩下的3 个单位乙又花45 分钟,所以总共的和为13 小时45 分钟。 rqyn14ZNXI 【例5】一种溶液,蒸发掉一定量的水后,溶液的浓度为10% 。再蒸发掉同样多的水后,溶液的浓度变为 12% 。第三次蒸发掉同样多的水后,溶液的浓度将变为多少( EmxvxOtOco A.14% B.15% C.16% D.17% 【答案】 B 【解读】每次蒸发掉相同的水,说明溶质始终不变,也就是开始浓度为 10%=10/100 ,蒸发同样多的水, 浓度变为
6、12%=12/100,所以先找出10 和 12 的最小公倍数60,所以变为10/100=60/600 ,12/100=60/500 ,这 样分子变为相同,说明溶质相同,少得就是100 个单位的水,那么再少100 个单位的水,就变为了 2 / 63 60/400=15%。SixE2yXPq5 秒杀法 【例1】小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成一个三角形,正好用完,后来又改围成一个正方形,也正 好用完。如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5 枚硬币,则小红所有五分硬币的总价值是( 。 A.1元B.2元C.3元D.4元 【传统解读】设围成三角形时每边硬币数为X 枚,则利用方阵的原理,根据硬币总
7、数相等可列方程: 3(X-1=4(X-5-1, 解方程得X=21, 则硬币总数为3(21 -1=60枚, 面值=605分=300分=3元,选C。 【公倍数法】根据题意,全部五分硬币围成正三角形正好用完,说明硬币数是3 的倍数。改围正方形也正 好用完,说明硬币数是也是4 的倍数,换句话说,硬币总数是3 和 4 的最小公倍数12 的倍数,备选项中符合 此条件的只有C 项的3元,即60枚。 【对比分析】运用第一种方法解出本道试卷最少需要1 分钟,因为计算方阵问题时,其边长和外围数存在 加 1(或减 1的情况,而一般的考生往往在这里理不清,所以列出方程最快也的1 分钟,加上计算最快也需要 1分半钟。
8、有的考生如果根据边长之间的关系“正方形的每条边比三角形的每条边少用5 枚硬币”列方程求解,这道 试卷对数学基础好的考生来说,最少也需要2 分半钟,数学基础不好的话,可能方程式也列不出来,就更不用 说求解了。 如果能脱开传统“设未知数、列方程”的思路,根据题中的相关信息,巧用“公倍数法”求解,本题只需 5 秒钟就可求出正确答案,而且根本不会出错。如果这样的话,用传统思路解一道题,用公倍数法就可以解六 七 道 试 卷 , 甚 至 更 多 , 因 为 数 学 运 算 中 的 大 部 分 试 卷 都 可 以 用 此 方 法 , 或 是 类 似 的 方 法 求 解 的 。 【对比分析】利用第一种传统方法
9、,既费时间( 解本道试卷起码需30 秒,甚至更多 ,又容易出错( 好多考 生还得考虑题中的8 和 1,到底是加上,还是减去。利用公倍数法,就大大减少了列方程的时间,也省却了 到 底 是 加 上8和1 , 还 是 减 去8和1等 问 题 , 省 时 ( 最 多 需 要5秒 钟 省 力 又 准 确 。 【例 3】甲、乙、丙三人,甲每分钟走50M ,乙每分钟走40M ,丙每分钟走35M ,甲、乙从A地,丙从B地 同 时 出 发 , 向 相 而 形 , 丙 遇 到 甲2分 钟 后 遇 到 乙 , 那 么 , A 、 B两 地 相 距 多 少M? A. 250M B. 500M C. 750M D. 1
10、275M 【传统解读】设A、 B 两地相距SM ,依“丙遇到甲2 分钟后遇到乙”所表示的数量关系可列出方程: S/(40+35-S/(50+35=2 解方程得S=1275M,选D。 【公倍数法】依“丙遇到甲2 分钟后遇到乙”所表示的数量关系可知,A、B 两地之间的距离是甲丙速度 之和 50+35=85 的倍数,也是乙丙速度之和40+35=75 的倍数,即为85 和 75 的公倍数的倍数,备选项中符合此 条件的只有D。 【对比分析】同上述各题的分析一样,如果用传统思路设未知数列方程求解本题的话,根据题中的数量关系 怎样列方程就比较费时间,列出方程之后还得求解,更费时间,求解的过程中稍微不小心很容
11、易出错。如果换 一种思路用公倍数法求解,省时省力又准确。通过本题与上述各题的解法可以知道,“公倍数法”对各种类型 的数学运算都有用,而不是仅仅局限在某几种类型的试卷的解读中。下面可以再用实例验证一下这种方法的实 用性和应用上的广泛性。 【例 4】若干个同学去划船,他们租了一些船,若每船4 人则多 5 人,若每船5 人则船上有4 个空位,共有多 少个同学?( A. 17 B. 19 C. 26 D. 41 【 传 统 解 读 】 根 据 题 意 “ 若 每 船4人 则 多5 人 , 若 每 船5人 则 船 上 有4个 空 位 ” 将A项17人 代 入 , 有 船 数 (17- 54=3条 , (
12、17+45=4.2条 , 排 除A项 。 将B项19人代入,有船数(19- 54=3.5条,排除B项。 将C项26人代入,有船数(26- 54=5.25条排除C项。选D 3 / 63 【公倍数法】“每船4 人则多 5 人”说明人数是4 的倍数多1。“每船5 人则船上有4 个空位”说明人数 是5的倍数多1,即选项应该是20的倍数多1,选D。 【对比分析】很显然,利用传统思路在解本试卷时特别耗费时间,稍微不小心就会出错。用公倍数法求解 时紧扣题意,根据试卷告知的数量关系,可以在很短的时间内快速准确的解出答案,这就一再提醒考生们一定 要注意利用便捷方式公倍数法快速求解,而不能再沿用传统的思路分析试卷
13、,列出方程,然后一步一步求 解,因为传统的思路是远远不能适应现代的考试的。 除过公倍数法在解一些数学运算试卷时快速准确之外,倍数的有效度、快捷性和准确率也是非常显著的, 可示例如下: 【例 5】若干学生住若干房间,如果每间住4 人则有20 人没地方住,如果每间住8 人则有一间只有4 人 住,问共有多少名学生?( A.30人B.34人C.40人D.44人 【传统解读】思路1:根据题意“每间住4 人则有20 人没地方住。每间住8 人则有一间只有4 人住” 将A项30人代入,有房间数(30- 204=2.5间,排除A项。 将B项34人代入,有房间数(34- 204=3.5间,排除B项。 将C 项40
14、人 代 入 , 有 房 间 数 (40- 204=5间 , 8(5 -1+4=36 , 排 除C项 。 选D 【倍数法】“每间住4 人则有 20 人没地方住”说明总人数是4 的倍数。“每间住8 人则有一间只有4 人 住”说明总人数不是8的倍数。结合选项选D。 【对比分析】这里尽管用的是倍数法,但其原理、效应同公倍数法一样:传统思路费时费力又容易出错, 而倍数法则快速又准确,用最多5 秒钟就可以不用太多细究题中数量之间的细微关系就可以求出答案,这才是 现代公务员考试要求考生必须具备的应试素质。 【例 6】旅游团安排住宿,若有4 个房间每间住4 人,其余房间每间住5 人,还剩2 人,若有 4 个房
15、间每 间住5人,其余房间每间住4人,正好住下,该旅游团有多少人? A.43 B.38 C.33 D.28 【传统解读】根据盈余问题的解法可知,其余的房间数为(2-0/(5-4=2(间,所以总人数为45+24=28 人,选D。 【 倍 数 法 】 根 据 题 意 可 知 , 备 选 项 所 给 的 总 人 数 减 去45=20 以 后 是4 的 倍 数 , 故 选D。 【对比分析】利用传统解法,考生首先必须搞清楚题中数量之间的关系,然后才能列方程进行求解,对基 础好的考生来说最少需要1 分钟,数学运算基础弱的考生可能还搞不清数量之间的关系,就更没法谈列方程求 解的问题了,需要多少时间就更难说了。
16、如果用倍数法,在理清题中数量之间的关系之后,直接推算就可以得 出答案,最多需要10秒钟。 6ewMyirQFL 环形运动题 例题:甲、乙两人同时从A点背向出发,沿400M环形跑道行走,甲每分钟走80M ,乙每分钟走50M ,两人至 少经过多少分钟才能在A点相遇 ?( kavU42VRUs A. 10 分钟B. 12 分钟C. 13 分钟D. 40 分钟 方法提示 : 行程问题中的环形运动题 【答案】 D 【解读】这个题同样也是背向而行的环形运动问题,但在例3 的基础上难度又有所增加,在该题中,对相 遇地点有了限制,要求在原出发点的A 点相遇,此时,我们可以换一个角度来思考,甲从A点出发,再次回
17、到 A 点,所需要的时间为400/80=5 分钟,每次回到A 点所需要的时间为5 的倍数。同理,乙每次回到A 点所需 要的时间为8(400/50=8 的倍数,两人同时从A点出发,再次同时回到A点所需要的最少的时间为5 和 8 的最 小公倍数40,故此题答案为D . 在此题中,我们应该也明白,每次在A点相遇的时间都是40 的倍数,若此题 再变形,求第二次在A点相遇的时间,那么为240=80 分钟。y6v3ALoS89 环形运动是行程问题里最近几年地方公务员考试的热点,希望考生对这一题型引起足够的重视。 基本知识点:环形运动中,同向而行,相邻两次相遇所需要的时间 = 周长 / (大速度 - 小速度
18、 。背向而 4 / 63 行,相邻两次相遇所需要的时间 = 周长 / (大速度 +小速度 M2ub6vSTnP 【例2】在同一环形跑道上小陈比小王跑得慢,两人都按同一方向跑步锻炼时,每隔12 分钟相遇一次。 若两人速度不变,其中一人按相反方向跑步,则每隔4 分钟相遇一次。问两人跑完一圈花费的时间小陈比小王 多几分钟 ?(【2008 年江西省公务员考试行测 第 44 题】0YujCfmUCw A.5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】 B 解读:这道环形运动问题,将同向运动和反向运动问题糅合在一起,假设小陈的速度为 V1,小王的速度为V2,跑道一圈长为S,则:eUts8ZQVRd S =12
19、(V2 -V1 S = 4 (V2+V1? 式 / 式可得: V2 = 2V1 代入原方程可知:S=12 V1 两人跑完一圈花费的时间差为S/ V1 - S/ V2 = 6分钟。 【例 6】甲、乙二人同时同地绕400M的循环形跑道同向而行,甲每秒钟跑8M ,乙每秒钟跑9M ,多少秒后 甲、乙二人第三次相遇?【2009 江西省公务员考试行测第38 题】sQsAEJkW5T A.400 B.800 C.1200 D.1600 【答案】 C 解读: 2009 年的江西省公务员考试的考题在例1 的基础上稍加变化,问两人第三次相遇的时 间,在该题中,每次相遇所需要的时间都为相同的定值,第三次相遇的时间为
20、第一次相遇时间的三倍,故 3400=1200 秒GMsIasNXkA 重点练习: 一、环形运动的基本知识 环形运动是行程问题里最近几年地方公务员考试的热点,希望考生对这一题型引起足够的重视。 基本知识点:环形运动中,同向而行,相邻两次相遇所需要的时间 = 周长 / (大速度 - 小速度 。背向而 行,相邻两次相遇所需要的时间 = 周长 / (大速度 +小速度 TIrRGchYzg 二、例题讲解 【例 1】甲、乙二人同时同地绕400M的循环形跑道同向而行,甲每秒钟跑8M ,乙每秒钟跑9M ,多少秒后 甲、乙二人第一次相遇?7EqZcWLZNX A.400 B.800 C.1200 D.1600
21、【答案】 A 解读:甲、乙两人同向而行,乙的速度大于甲的速度,当乙走的路程比甲走的路程多一个 周长时,甲、乙两人第一次相遇,根据公式可知,第一次相遇所需要的时间为 400/(9-8=400秒lzq7IGf02E 【例 2】甲、乙二人同时同地绕400M的循环形跑道同向而行,甲每秒钟跑8M ,乙每秒钟跑9M ,多少秒后 甲、乙二人第三次相遇?【2009 江西省公务员考试行测第38 题】zvpgeqJ1hk A.400 B.800 C.1200 D.1600 【答案】 C 解读: 2009 年的江西省公务员考试的考题在例1 的基础上稍加变化,问两人第三次相遇的时 间,在该题中,每次相遇所需要的时间都
22、为相同的定值,第三次相遇的时间为第一次相遇时间的三倍,故 3400=1200 秒NrpoJac3v1 【例 3】甲、乙二人同时同地绕400M的循环形跑道背向而行,甲每秒钟跑6M ,乙每秒钟跑2M ,多少秒后 甲、乙二人第一次相遇?1nowfTG4KI A.40 B.50 C.60 D.70 【答案】 B 解读:对于背向而行的环形运动,当两人走的路程和为环形跑道周长时,两人第一次相遇, 时间为 400/(6+2=50秒,故选 B 同样,每次相遇所需要的时间也为一个相同的定值,50 秒。fjnFLDa5Zo 【例 4】甲、乙两人同时从A 点背向出发,沿400M环形跑道行走,甲每分钟走80M ,乙每
23、分钟走50M ,两 人至少经过多少分钟才能在A点相遇 ?( 【2005 年北京市公务员社会招聘考试第16 题】tfnNhnE6e5 A. 10 分钟B. 12 分钟C. 13 分钟D. 40 分钟 【答案】 D 解读:这个题同样也是背向而行的环形运动问题,但在例3 的基础上难度又有所增加,在该 题中,对相遇地点有了限制,要求在原出发点的A 点相遇,此时,我们可以换一个角度来思考,甲从A 点出 发,再次回到A 点,所需要的时间为400/80=5 分钟,每次回到A 点所需要的时间为5 的倍数。同理,乙每次 5 / 63 回到 A 点所需要的时间为8(400/50=8 的倍数,两人同时从A点出发,再
24、次同时回到A点所需要的最少的时间 为 5 和 8 的最小公倍数40,故此题答案为D . 在此题中,我们应该也明白,每次在A点相遇的时间都是40 的 倍数,若此题再变形,求第二次在A点相遇的时间,那么为240=80 分钟。HbmVN777sL 【例 5】甲、乙、丙三人沿着400M环形跑道进行800M跑比赛,当甲跑1 圈时,乙比甲多跑1/7 圈。丙比 甲少跑1/7 圈。如果他们各自跑步的速度始终不变,那么,当乙到达终点时,甲在丙前面( 。【 2005 年国家 公务员考试】V7l4jRB8Hs A.85MB.90MC.100MD.105M【 答 案 】 在 此 题 中 , 我 们 可 以 列 一 个
25、 表 格 出 来 故,当乙到达终点时,甲在丙前面700-600=100M 【例6】在同一环形跑道上小陈比小王跑得慢,两人都按同一方向跑步锻炼时,每隔12 分钟相遇一次。 若两人速度不变,其中一人按相反方向跑步,则每隔4 分钟相遇一次。问两人跑完一圈花费的时间小陈比小王 多几分钟 ?(【2008 年江西省公务员考试行测第44 题】83lcPA59W9 A.5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】 B 解读:这道环形运动问题,将同向运动和反向运动问题糅合在一起,假设小陈的速度为 V1,小王的速度为V2,跑道一圈长为S,则:mZkklkzaaP S =12(V2 -V1 S = 4 (V2+V1?
26、 式 / 式可得: V2 = 2V1 代入原方程可知:S=12 V1 两人跑完一圈花费的时间差为S/ V1 - S/ V2 = 6分钟。 【例7】某学校操场的一条环形跑道长400M ,甲练习长跑,平均每分钟跑250M 。乙练习自行车,平均每 分钟行550M ,那么两人同时同地同向而行,经过x 分钟第一次相遇,若两人同时同地反向而行,经过y 分钟 第一次相遇,则下列说法正确的是( 。【 2007 年山东省公务员考试行测第49 题】AVktR43bpw A. x-y=1 B. y-x=5/6 C. y-x=1 D. x-y=5/6 【答案】 D 解读:两人同向而行,则有:(550-250x=400
27、 两人反向而行,有:(550+250y=400 ,可以 得到, x=4/3 y=1/2,此时 x-y= 4/3-1/2=5/6。ORjBnOwcEd 一、排列和组合的概念 排列:从n 个不同元素中,任取m个元素 (这里的被取元素各不相同按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列。2MiJTy0dTT 组合:从n 个不同元素种取出m个元素拼成一组,称为从n 个不同元素取出m个元素的一个组合。 二、七大解题策略 1. 间接法 即部分符合条件排除法,采用正难则反,等价转换的策略。为求完成某件事的方法种数, 如果我们分步考 虑时 , 会出现某一步的方法种数不确定或计数有重复,
28、 就要考虑用分类法, 分类法是解决复杂问题的有效手段, 而 当正面分类情况种数较多时, 则就考虑用间接法计数.gIiSpiue7A 例:从 6 名男生, 5 名女生中任选4 人参加竞赛,要求男女至少各1 名,有多少种不同的选法? A.240 B.310 C.720 D.1080 正确答案【 B】 解读:此题从正面考虑的话情况比较多,如果采用间接法,男女至少各一人的反面就是分别只选男生或者 女生,这样就可以变化成C(11,4-C(6 , 4-C(5 ,4=310。uEh0U1Yfmh 2. 科学分类法 6 / 63 问题中既有元素的限制,又有排列的问题,一般是先元素( 即组合 后排列。 对于较复
29、杂的排列组合问题,由于情况繁多,因此要对各种不同情况,进行 科学分类,以便有 条不紊地进行解答,避免重复或遗漏现象发生。同时明确分类后的各种情况符合加法原理,要做相加运算。 IAg9qLsgBX 例:某单位邀请10 为教师中的6 为参加一个会议,其中甲,乙两位不能同时参加,则邀请的不同方法有 ( 种。WwghWvVhPE A.84 B.98 C.112 D.140 正确答案【 D】 解读:按要求:甲、乙不能同时参加分成以下几类: a. 甲参加,乙不参加,那么从剩下的8 位教师中选出5位,有 C(8,5=56 种。 b. 乙参加,甲不参加,同(a有 56 种。 c. 甲、乙都不参加,那么从剩下的
30、8 位教师中选出6 位,有 C(8,6=28 种。 故共有 56+56+28=140 种。 3. 特殊优先法 特殊元素,优先处理。特殊位置,优先考虑。对于有附加条件的排列组合问题,一般采用:先考虑满足特 殊的元素和位置,再考虑其它元素和位置。asfpsfpi4k 例:从 6 名志愿者中选出4 人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,若其中甲、乙两名志愿 者都不能从事翻译工作,则不同的选派方案共有( ooeyYZTjj1 (A 280 种 (B240 种 (C180 种 (D96 种 正确答案:【B 】 解读:由于甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作,所以翻译工作就是“特殊”位置,因此翻译
31、工作从剩 下的四名志愿者中任选一人有C(4,1=4 种不同的选法,再从其余的5 人中任选3 人从事导游、导购、保洁三 项不同的工作有A(5,3=10种不同的选法,所以不同的选派方案共有C(4,1A(5,3=240种,所以选B。 BkeGuInkxI 4. 捆绑法 所谓捆绑法,指在解决对于某几个元素要求相邻的问题时,先整体考虑,将相邻元素视作一个整体参与排 序,然后再单独考虑这个整体内部各元素间顺序。注意:其首要特点是相邻,其次捆绑法一般都应用在不同物 体的排序问题中。PgdO0sRlMo 例: 5 个男生和3 个女生排成一排,3 个女生必须排在一起,有多少种不同排法? A.240 B.320
32、C.450 D.480 正确答案【 B】 解读:采用捆绑法,把3 个女生视为一个元素,与5 个男生进行排列,共有 A(6 ,6=6x5x4x3x2 种,然 后 3 个女生内部再进行排列,有A(3,3=6 种,两次是分步完成的,应采用乘法,所以排法共有:A(6,6 A(3, 3 =320( 种。3cdXwckm15 5. 选“一”法,类似除法 对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行排列,然后用总的排列数除 以这几个元素的全排列数。这里的“选一”是说:和所求“相似”的排列方法有很多,我们只取其中的一 种。h8c52WOngM 例:五人排队甲在乙前面的排法有几种? A.
33、60 B.120 C.150 D.180 正确答案【 A】 解读:五个人的安排方式有5!=120 种,其中包括甲在乙前面和甲在乙后面两种情形( 这里没有提到甲乙相 邻不相邻,可以不去考虑,题目要求之前甲在乙前面一种情况,所以答案是A(5,5 A(2,2=60种。 v4bdyGious 6. 插空法 所谓插空法,指在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时,先将其它元素排好,再将指定的不相邻的元 7 / 63 素插入已排好元素的间隙或两端位置。J0bm4qMpJ9 注意: a. 首要特点是不邻,其次是插空法一般应用在排序问题中。 b. 将要求不相邻元素插入排好元素时,要注释是否能够插入两端位置。 c
34、. 对于捆绑法和插空法的区别,可简单记为“相邻问题捆绑法,不邻问题插空法”。 例:若有甲、乙、丙、丁、戊五个人排队,要求甲和乙两个人必须不站在一起,且甲和乙不能站在两端, 则有多少排队方法?XVauA9grYP A.9 B.12 C.15 D.20 正确答案【 B】 解读:先排好丙、丁、戊三个人,然后将甲、乙插到丙、丁、戊所形成的两个空中,因为甲、乙不站两 端,所以只有两个空可选,方法总数为A(3,3A(2, 2=12 种。bR9C6TJscw 7. 插板法 所谓插板法,指在解决若干相同元素分组,要求每组至少一个元素时,采用将比所需分组数目少1 的板插 入元素之间形成分组的解题策略。pN9LB
35、Ddtrd 注意:其首要特点是元素相同,其次是每组至少含有一个元素,一般用于组合问题中。 例:将 8 个完全相同的球放到3 个不同的盒子中,要求每个盒子至少放一个球,一共有多少种方法? A.24 B.28 C.32 D.48 正确答案【 B】 解读:解决这道问题只需要将8 个球分成三组,然后依次将每一组分别放到一个盒子中即可。因此问题只 需要把 8 个球分成三组即可,于是可以将8 个球排成一排,然后用两个板插到8 个球所形成的空里,即可顺利 的把 8 个球分成三组。其中第一个板前面的球放到第一个盒子中,第一个板和第二个板之间的球放到第二个盒 子中,第二个板后面的球放到第三个盒子中去。因为每个盒
36、子至少放一个球,因此两个板不能放在同一个空里 且板不能放在两端,于是其放板的方法数是C(8,2=28 种。 ( 注:板也是无区别的DJ8T7nHuGT 一、捆绑法 精要:所谓捆绑法,指在解决对于某几个元素要求相邻的问题时,先整体考虑,将相邻元素视作一个整体 参与排序,然后再单独考虑这个整体内部各元素间顺序。QF81D7bvUA 提醒:其首要特点是相邻,其次捆绑法一般都应用在不同物体的排序问题中。 【例题】有10 本不同的书:其中数学书4 本,外语书3 本,语文书3 本。若将这些书排成一列放在书架 上,让数学书排在一起,外语书也恰好排在一起的排法共有( 种。4B7a9QFw9h 解读:这是一个排
37、序问题,书本之间是不同的,其中要求数学书和外语书都各自在一起。为快速解决这个 问题,先将4 本数学书看做一个元素,将3 本外语书看做一个元素,然后和剩下的3 本语文书共5 个元素进行 统一排序,方法数为,然后排在一起的4 本数学书之间顺序不同也对应最后整个排序不同,所以在4 本书内部 也需要排序,方法数为,同理,外语书排序方法数为。而三者之间是分步过程,故而用乘法原理得。ix6iFA8xoX 【例题】 5 个人站成一排,要求甲乙两人站在一起,有多少种方法? 解读:先将甲乙两人看成1 个人,与剩下的3 个人一起排列,方法数为,然后甲乙两个人也有顺序要求, 方法数为,因此站队方法数为。wt6qbk
38、CyDE 【练习】一台晚会上有6 个演唱节目和4 个舞蹈节目, 4 个舞蹈节目要排在一起,有多少不同的安排节目 的顺序 ? 注释:运用捆绑法时,一定要注意捆绑起来的整体内部是否存在顺序的要求,有的题目有顺序的要求,有 的则没有。如下面的例题。Kp5zH46zRk 【例题】 6 个不同的球放到5 个不同的盒子中,要求每个盒子至少放一个球,一共有多少种方法? 解读:按照题意,显然是2 个球放到其中一个盒子,另外4 个球分别放到4 个盒子中,因此方法是先从6 个球中挑出2 个球作为一个整体放到一个盒子中,然后这个整体和剩下的4 个球分别排列放到5 个盒子中,故 方法数是。Yl4HdOAA61 二、插
39、空法 精要:所谓插空法,指在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时,先将其它元素排好,再将指定的不相 邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置。ch4PJx4BlI 8 / 63 提醒:首要特点是不邻,其次是插空法一般应用在排序问题中。 【例题】若有A、B、 C、D、E五个人排队,要求A和 B两个人必须不站在一起,则有多少排队方法? 解读:题中要求AB两人不站在一起,所以可以先将除A 和 B 之外的3 个人排成一排,方法数为,然后再 将 A 和 B分别插入到其余3 个人排队所形成的4 个空中,也就是从4 个空中挑出两个并排上两个人,其方法数 为,因此总方法数。qd3YfhxCzo 【例题】 8 个
40、人排成一队,要求甲乙必须相邻且与丙不相邻,有多少种方法? 解读:甲乙相邻,可以捆绑看作一个元素,但这个整体元素又和丙不相邻,所以先不排这个甲乙丙,而是 排剩下的5 个人,方法数为,然后再将甲乙构成的整体元素及丙这两个元素插入到此前5 人所形成的6 个空 里,方法数为,另外甲乙两个人内部还存在排序要求为。故总方法数为。E836L11DO5 【练习】 5 个男生 3 个女生排成一排,要求女生不能相邻,有多少种方法? 注释:将要求不相邻元素插入排好元素时,要注释是否能够插入两端位置。 【例题】若有A、B、 C、D、E五个人排队,要求A和 B两个人必须不站在一起,且A和 B不能站在两端, 则有多少排队
41、方法?S42ehLvE3M 解读:原理同前,也是先排好C、D、 E 三个人,然后将A、B 查到 C、D、E所形成的两个空中,因为A、B 不站两端,所以只有两个空可选,方法总数为。501nNvZFis 注释:对于捆绑法和插空法的区别,可简单记为“相邻问题捆绑法,不邻问题插空法”。 三、插板法 精要:所谓插板法,指在解决若干相同元素分组,要求每组至少一个元素时,采用将比所需分组数目少1 的板插入元素之间形成分组的解题策略。jW1viftGw9 提醒:其首要特点是元素相同,其次是每组至少含有一个元素,一般用于组合问题中。 【例题】将8 个完全相同的球放到3 个不同的盒子中,要求每个盒子至少放一个球,
42、一共有多少种方法? 解读:解决这道问题只需要将8 个球分成三组,然后依次将每一组分别放到一个盒子中即可。因此问题只 需要把 8 个球分成三组即可,于是可以讲8 个球排成一排,然后用两个板查到8 个球所形成的空里,即可顺利 的把 8 个球分成三组。其中第一个板前面的球放到第一个盒子中,第一个板和第二个板之间的球放到第二个盒 子中,第二个板后面的球放到第三个盒子中去。因为每个盒子至少放一个球,因此两个板不能放在同一个空里 且板不能放在两端,于是其放板的方法数是。( 板也是无区别的xS0DOYWHLP 【例题】有9 颗相同的糖,每天至少吃1 颗,要 4 天吃完,有多少种吃法? 解读:原理同上,只需要
43、用3 个板插入到9 颗糖形成的8 个内部空隙,将9 颗糖分成4 组且每组数目不少 于 1 即可。因而3 个板互不相邻,其方法数为。LOZMkIqI0w 【练习】现有10 个完全相同的篮球全部分给7 个班级,每班至少1 个球,问共有多少种不同的分法? 注释:每组允许有零个元素时也可以用插板法,其原理不同,注意下题解法的区别。 【例题】将8 个完全相同的球放到3 个不同的盒子中,一共有多少种方法? 解读:此题中没有要求每个盒子中至少放一个球,因此其解法不同于上面的插板法,但仍旧是插入2 个 板,分成三组。但在分组的过程中,允许两块板之间没有球。其考虑思维为插入两块板后,与原来的8 个球一 共 10
44、 个元素。所有方法数实际是这10 个元素的一个队列,但因为球之间无差别,板之间无差别,所以方法数 实际为从10 个元素所占的10 个位置中挑2 个位置放上2 个板,其余位置全部放球即可。因此方法数为。 ZKZUQsUJed 注释:特别注意插板法与捆绑法、插空法的区别之处在于其元素是相同的。 四、具体应用 【例题】一条马路上有编号为1、2、 9 的九盏路灯,现为了节约用电,要将其中的三盏关掉,但不 能同时关掉相邻的两盏或三盏,则所有不同的关灯方法有多少种?dGY2mcoKtT 解读:要关掉9 盏灯中的3 盏,但要求相邻的灯不能关闭,因此可以先将要关掉的3 盏灯拿出来,这样还 剩 6 盏灯,现在只
45、需把准备关闭的3 盏灯插入到亮着的6 盏灯所形成的空隙之间即可。6 盏灯的内部及两端共 有 7 个空,故方法数为。rCYbSWRLIA 【例题】一条马路的两边各立着10 盏电灯,现在为了节省用电,决定每边关掉3 盏,但为了安全,道路 起点和终点两边的灯必须是亮的,而且任意一边不能连续关掉两盏。问总共可以有多少总方案?FyXjoFlMWh 9 / 63 A、120B、320C、 400D、420 解读:考虑一侧的关灯方法,10 盏灯关掉3 盏,还剩7 盏,因为两端的灯不能关,表示3 盏关掉的灯只 能插在 7 盏灯形成的6 个内部空隙中,而不能放在两端,故方法数为,总方法数为。TuWrUpPObX
46、 注释:因为两边关掉的种数肯定是一样的( 因为两边是同等地位,而且总的种数是一边的种数乘以另一边 的种数,因此关的方案数一定是个平方数,只有C符合。7qWAq9jPqE 数字推理题 1、基本思路: 第一反应是两项间相减,相除,平方,立方。所谓万变不离其综,数字推理考察最基本的形式是等差,等 比,平方,立方,质数列,合数列。llVIWTNQFk 相减,是否二级等差。 8,15,24,35, (48 相除,如商约有规律,则为隐藏等比。 4,7,15,29,59,(59*2-1 初看相领项的商约为2,再看 4*2- 1=7,7*2+1=15yhUQsDgRT1 2、特殊观察: 项很多,分组。三个一组
47、,两个一组 4,3,1,12,9,3,17,5,(12 三个一组 19,4,18,3,16,1,17,(2 2,-1,4,0,5,4,7, 9,11,(14 两项和为平方数列。 400,200,380, 190,350,170,300,(130 两项差为等差数列 隔项,是否有规律 0,12,24,14, 120,16(73-7 数字从小到大到小,与指数有关 1,32,81,64, 25,6, 1,1/8 隔项,是否有规律 0,12,24,14, 120,16(73-7 每个数都两个数以上,考虑拆分相加( 相乘 法。 87,57, 36,19,(1*9+1 256,269,286, 302,(3
48、02+3+0+2 数跳得大,与次方( 不是特别大 ,乘法 ( 跳得很大 有关 1,2,6,42,(422+42 3,7,16,107, (16*107-5 每三项 / 二项相加,是否有规律。 1,2,5,20,39,(125-20-39 21,15, 34,30,51,(102-51 C=A2-B 及变形 ( 看到前面都是正数,突然一个负数,可以试试 3,5,4,21,(42-21,446 5,6,19,17,344,(-55 -1 ,0,1,2,9,(93+1 C=A2+B及变形 ( 数字变化较大 1,6,7,43,(49+43 1,2,5,27,(5+272 分数,通分,使分子/ 分母相同
49、,或者分子分母之间有联系。/ 也有考虑到等比的可能 2/3 ,1/3 ,2/9 , 1/6 ,(2/15 3/1 ,5/2 ,7/2 , 12/5 ,(18/7 分子分母相减为质数列 1/2 ,5/4 ,11/7 ,19/12 ,28/19 ,(38/30 分母差为合数列,分子差为质数列。 10 / 63 3,2,7/2 ,12/5 ,(12/1 通分, 3,2 变形为 3/1 ,6/3 ,则各项分子、分母差为质数数列。MdUZYnKS8I 64,48, 36,27,81/4 , (243/16 等比数列。 出现三个连续自然数,则要考虑合数数列变种的可能。 7,9,11,12,13,(12+3 8,12,16,18, 20,(12*2 突然出现非正常的数,考虑C项等于 A 项和 B项之间加减乘除,或者与常数/ 数列的变形 2,1,7,23,83,(A*2+B*3 思路是将C化为 A与 B的变形,再尝试是否正确。 1,3,4,7,11,(18 8,5,3,2,1, 1,(1-1 首尾项的关系,出现大小乱现的规律就要考虑。 3,6,4,(18, 12,24 首尾相乘 10,4,3,5,4,(-2 首尾相加 旁边两项 ( 如
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