2015高考数学复习资料考点热点讲解练习测试专题12函数与方程(新课标版).pdf
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1、热点十二函数与方程 【名师精讲指南篇】 【高考真题再现】 1. 【 2012 新课标全国文】设函数 f(x)=(x+1) 2+sinx x 2+1的最大值为M,最小值为m,则 M+ m=_ 2. 【 2013 新课标全国】已知命题:pxR,23 xx ;命题 :qxR, 32 1xx,则下列命题中为真 命题的是() (A)pq(B)pq( C)pq(D)pq 来源 学科网 3. 【 2014 全国 1 高考文理】 设函数)(),(xgxf的定义域为R,且)(xf是奇函数,)(xg是偶函数,则下列 结论中正确的是() A)()(xgxf是偶函数B)(|)(|xgxf是奇函数 C.| )(|)(x
2、gxf是奇函数D|)()(|xgxf是奇函数 4. 【 2014 高考全国1卷文】 设函数 1 1 3 ,1, ,1, x ex fx xx 则使得 2fx 成立的x的取值范围是_. 【热点深度剖析】 从近几年的高考试题来看,图象的辨识与对称性以及利用图象研究函数的性质,方程,不等式的解是高考 的热点,多以选择题、填空题的形式出现,属中低档题,主要考查基本初等函数的图象的应用以及数形结 合思想而函数的零点、方程根的问题也是高考的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题客观题 主要考查相应函数的图象与性质,主观题考查较为综合,在考查函数的零点方程根的基础上,又注重考查 函数方程、 转化与化 归、
3、分类讨论、 数形结合的思想方法在 2012 年高考中, 没有涉及 . 在 2013 年高考中, 与命题结合,考查函数根的存在性,属于基础题. 在 2014 年理科高考题,主要考查函数奇偶性,属于基础 题,而文科除考查函数奇偶性,还考查了分段函数,解不等式,使得题目难度较低.从这三年高考题可以看 出,函数的性质,不等式的解,函数与方程,函数零点是高考考查的热点,每过几年都要涉及,考查根的 存在性定理的题较基础,而函数零点往往结合函数性质与函数图像,作为把关题存在,主要考查转化与化 归思想和函数方程思想以及数形结合思想的应用,由于连续三年都没考查函数的零点,方程的根的问题, 预测 2015 年高考
4、很有可能以函数的零点、方程根的存在问题,将以识图、用图为主要考向,重点考查函数 图象的性质以及方程、不等式与图象的综合问题 【重点知识整合】 1. 函数的奇偶性. (1)具有奇偶性的函数的定义域的特征:定义域必须关于原点对称!为此确定函数的奇偶性时,务必先判 定函数定义域是否关于原点对称. (2)确定函数奇偶性的常用方法(若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性):定义 法;利用函数奇偶性定义的等价形式:( )()0fxfx或 () 1 ( ) fx f x (( )0f x). 图像法:奇函数 的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称 . (3)函数奇偶性的性质: 奇函数在关
5、于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于原点对称的区间上若 有单调性,则其单调性恰恰相反. 如果奇函数有反函数,那么其反函数一定还是奇函数. 若( )f x为偶函数,则()( )(|)fxf xfx. 若奇函数( )f x定义域中含有0,则必有(0)0f. 2. 函数的单调性 1. 函数单调性的定义: (1)如果函数xf对区间D内的任意 21,x x,当 21 xx时都有 21 xfxf,则xf在D内是增函数; 当 21 xx时都有 21 xfxf,则xf在D内是减函数 . (2)设函数( )yf x在某区间D内可导,若0fx,则( )yfx在 D内是增函数;若0fx,则
6、 ( )yf x在 D内是减函数 . 2.单调性的定义( 1)的等价形式: 设baxx, 21 ,那么xf xx xfxf 0 21 21 在,a b上是增函数; xf xx xfxf 0 21 21 在,a b上是减函数; 3.证明或判断函数单调性的方法: (1) 定义法:设元作差变形判断符号给出结论 . 其关键是作差变形,为了便于判断差的符号,通 常将差变成因式连乘积、平方和等形式,再结合变量的范围,假设的两个变量的大小关系及不等式的性质 作出判断; (2) 复合函数单调性的判断方法:即“同增异减”法,即内层函数和外层函数的单调性相同,则复合函数为 增函数; 若相反, 则复合函数为减函数.
7、 解决问题的关键是区分好内外层函数,掌握常用基本函数的单调性; (3)图象法:利用数形结合思想,画出函数的草图,直接得到函数的单调性; (4)导数法:利用导函数的正负来确定原函数的单调性,是最常用的方法. (5)利用常用结论判断: 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性; 互为反函数的两个函数具有相同的单调性; 在公共定义域内,增函数)(xf增函数)(xg是增函数;减函数)(xf减函数)(xg是减函数;增函数 )(xf减函数)(xg是增函数;减函数)(xf增函数)(xg是减函数 ; 复合函数法:复合函数单调性的特点是同增异减,特别提醒:求单调区间时,勿忘
8、定义域, 3. 函数的周期性. (1)类比“三角函数图像”得: 若( )yf x图像有两条对称轴,()xa xb ab,则( )yf x必是周期函数,且一周期为 2|Tab; 若( )yf x图像有两个对称中心( ,0),( ,0)()A aB bab,则( )yfx是周期函数,且一周期为 2|Tab; 如果函数( )yfx的图像有一个对称中心( ,0)A a和一条对称轴()xb ab,则函数( )yf x必是周期函 数,且一周期为4 |Tab; (2)由周期函数的定义“函数( )fx满足xafxf(0)a,则( )f x是周期为a的周期函数”得: 函数( )f x满足xafxf,则( )f
9、x是周期为2a的周期函数 . 4. 函数的对称性. 满足条件fxafbx的函数的图象关于直线 2 ab x对称 . 点( ,)x y关于y轴的对称点为(,)x y;函数xfy关于y轴的对称曲线方程为xfy; 点( ,)x y关于x轴的对称点为( ,)xy;函数xfy关于x轴的对称曲线方程为xfy; 点( ,)x y关于原点的对称点为(,)xy;函数xfy关于原点的对称曲线方程为xfy; 点( ,)x y关于直线yx的对称点为( , )y x;曲线( , )0f x y关于直线yx的对称曲线的方程为 ( , )fy x0;点( ,)x y关于直线yx的对称点为(,)yx;曲线( , )0f x
10、y关于直线yx的对称曲 线的方程为(,)0fyx; 曲线( , )0f x y关于点( , )a b的对称曲线的方程为(2,2)0faxby; 形如(0,) axb ycadbc cxd 的图像是双曲线,其两渐近线分别直线 d x c ( 由分母为零确定) 和直线 a y c ( 由分子、分母中x的系数确定 ) ,对称中心是点(,) d a c c ; |( ) |fx的图象先保留( )f x原来在x轴上方的图象, 作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形, 然后擦去 x轴下方的图象得到;(|)fx的图象先保留( )f x在y轴右方的图象, 擦去 y轴左方的图象, 然后作出y轴 右方的图象关于y轴
11、的对称图形得到. 5. 常见的图象变换 函数axfy)0(a的图象是把函数xfy的图象沿x轴向左平移a个单位得到的. 函数axfy()0(a的图象是把函数xfy的图象沿x轴向右平移a个单位得到的. 函数xfy+a)0(a的图象是把函数xfy助图象沿y轴向上平移a个单位得到的; 函数xfy+a)0(a的图象是把函数xfy助图象沿y轴向下平移a个单位得到的; 函数axfy)0(a的图象是把函数xfy的图象沿x轴伸缩为原来的 a 1 得到的 . 函数xafy)0(a的图象是把函数xfy的图象沿y轴伸缩为原来的a倍得到的 . |( ) |fx的图象先保留( )f x原来在x轴上方的图象, 作出x轴下方
12、的图象关于x轴的对称图形, 然后擦去 x轴下方的图象得到;(|)fx的图象先保留( )f x在y轴右方的图象, 擦去y轴左方的图象, 然后作出y轴 右方的图象关于y轴的对称图形得到. 特殊函数图象: (1) 函数(0,) axb cxd ycadbc: 可由反比例函数(0) k yk x 图象平移、伸缩得到. 图 1 示例 . 图象是双曲线, 两渐近线分别直线 d c x( 由分母为零确定) 和直线 a c y( 由分子、分母中 x的系数确 定) ; 对称中心是点(, ) da cc . (2) 函数(0,0) b yaxab x :如图 2. 图象类似“对号” ,俗称对号函数. 定义域0|x
13、x; 函数的值域为 ),22,(abab ; 函数为奇函数,图象关于原点对称; 增区间为(,) bb aa , 减区间为,0),(0 bb aa . 6. 函数的零点 (1)一般地,如果函数yf(x) 在区间 a ,b 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a) f(b)0,那 么函数yf(x)在区间 (a,b) 内有零点, 即存在c(a,b) , 使f(c) 0, 这个c也就是方程f(x) 0的根我 们称方程f(x) 0的实数根x叫做函数yf(x)(xD) 的零点 (2)函数yf(x) 的零点就是方程f(x) 0 的实数根,也就是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标, 即方程f(x) 0
14、 有实数根 ? 函数yf(x) 有零点 ? 函数yf(x) 的图象与x轴有交点 (3)函数F(x) f(x) g(x)的零点就是方程f(x) g(x)的实数根,也就是函数yf(x)的图象与函数y g(x) 的图象交点的横坐标 一般地, 对于不能使用公式求根的方程f(x)0,我们可以 将它与函数yf(x)联系起来, 利用函数的图象、 性质来求解 【应试技巧点拨】 1. 研究函数的性质要特别注意定义域优先原则 (1)具有奇偶性的函数定义域的特征:定义域关于原点对称. 为此确定函数的奇偶性时,务必先判定函数 定义域是否关于原点对称 . (2)讨 论函数单调性必须在其定义域内进行,因此要研究函数单调性
15、必须先求函数的定义域,函数的单调 区间是定义域的子集. 来源: 学| 科| 网 Z|X|X|K (3)讨论函数的周期性,一般情况下定义域是无限集. 所以判断函数是否为周期函数,要在整个定义域上 观察函数的图象. 如求函数sinyx的周期 , 如果只观察y 轴一侧的图象得到周期为2那就错了,因为函 数图象关于y 轴对称,从整体看它不是周期函数. 2. 函数的单调性 (1)定义法和导数法的选择 在解答题中,只能应用定义法或导数法证明函数的单调性. 定义法作为基本方法,但是证明过程有时比较繁 琐;而导数法显得操作性比较强,对函数求导后判断导函数的正负即可. 因此导数法是我们证明函数单调性 的首选方法
16、 . (2)函数)0,0(ba x b axy单调性总结: 若0,0 ba,单调区间:增区间, bb aa ,,减区间,00 bb aa ,,; 若0,0 ba,单调区间:减区间),( a b a b 和,增区间,0()0, a b a b 和; 若0,0 ba,由于0)( 2 x b a x b ax,单调性:增区间), 0()0,(和; 若0,0 ba,由于0)( 2 x b a x b ax,单调性:减区间), 0()0,(和. 来源 : 学# 科 #网 3. 抽象函数的对称性和周期性 (1)对于函数)(xfy(Rx), 若()()f axf bx恒成立 , 则函数)(xf的对称轴是 2
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