2015高考数学复习资料考点热点讲解练习测试专题18概率与统计大题(文)(新课标版).pdf
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1、热点十八概率与统计大题(文) 【名师精讲指南篇】 【高考真题再现】 1. 【 2012新课标全国】某花店每天以每枝5元的价 格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的 价格 出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进17 枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元 ) 关于当天需求量n(单位:枝,nN) 的函数解析式. (2)花店记录了100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表: 来源: 学_ 科_网 Z_X_X_K 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数10 20 16 16 15 13 10 (i )假设花店在这100 内每天购进17 枝玫瑰
2、花,求这100 天的日利润(单位:元)的平均数; (ii )若花店一天购进17 枝玫瑰花,以100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的 利润不少于75 元的概率 . 2. 【 2013 新课标全国】为了比较两种治疗失眠症的药(分别成为A药, B药)的疗效,随机地选取20 位患 者服用 A药, 20 位患者服用B药,这 40 位患者服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位: h)实验的观测结果如下: 服用 A药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5
3、 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用 B药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5 (1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果来看,哪种药的效果好? (2)完成茎叶 图,从茎叶图来看,哪种药疗效更好? 3. 【 2014 高考全国1 文】 从某企业生产的某种产品中抽取100 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测 量表得如下频数分布表: 质量指标值分组75 ,85) 85 ,95) 95 ,105) 105 ,115) 115
4、,125) 频数6 26 38 22 8 (I )在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图: (II )估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表); (III)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要 占全部产品的80% ”的规定? 【热点深度剖析】 1. 纵观 2012 年和 2013 年 2014 年的高考题对本热点的考查,可以发现概率和统计、统计案例相结合是高考 命题的热点,在2012 年高考中,结合实际问题将函数和概率问题巧妙结合在一起,新颖别致,但是题目难 度不大,主要考查生活中的概率统计知识和方法.
5、求分段函数的解析式和平均利润,以及概率.2013 年考查 了茎叶图、利用样本数据估计总体,考查学生的数据处理能力,这也体现了高考对新课标的新增内容的要 求,试题难度不大,但是要求同学们对相关的基础知识掌握必须准确,2014 年考查了频率分布表,频率分 布直方图,平均数与方差的计算,主要考查生活中的概率统计知识和方法. 从近几年的高考试题来看,频 率分布直方图、茎叶图、平均数、方差是高考的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题,客观题考 查知识点较单一,解答题考查得较为全面,常常和概率、平均数等知识结合在一起,考查学生应用知识解 决问题的能力独立性检验、回归分析高考对此部分内容考查较少,主要是
6、以小题形式考查独立性检验、 回归分析为主,并借助解决一些简单的实际问题来考查一些基本的统计思想,在高考中多为选择、填空题, 也有解答题出现 ,根据近三年高考趋势预测2015 年高考,频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差仍然 是考查的热点,由于连续两年大题都没考概率,故应注意和概率知识的结合,同时应注意线性回归方程、 独立性检验在实际生活中的应用,有可能涉及一道与独立检验有关的大题 【重点知识整合】 一,统计初步 1. 简单随机抽样 简单随机抽样是不放回抽样,被抽取样本的个体数有限,从总体中逐个地进行抽取,使抽样便于在实践中 操作每次抽样时,每个个体等可能地被抽到,保证了抽样的公平性实施方法主要
7、有抽签法和随机数法 2. 系统抽样 (1) 定义:当总体元素个数很大时,可将总体分成均衡的若干部分,然后按照预先制定的规则,从每一部分 抽取一个个体得到所需要的样本,这种抽样方法叫做系统抽样,也称作等距抽样 (2) 系统抽样的步骤: 编号采用随机的方式将总体中的个体编号 分段先确定分段的间隔k. 当 N n( N为总体中的个体数,n为样本容量 ) 是整数时,k N n;当 N n不是整数时, 通过从总体中随机剔除一些个体使剩下的总体中个体总数N能被n整除,这时k N n . 确定起始个体编 号在第1 段用简单随机抽样确定起始的个体编号S. 按照事先确定的规则抽取样本通常是将S加上间隔k,得到第
8、 2 个个体编号Sk,再将 (Sk) 加上k, 得到第 3 个个体编号S2k,这样继续下去,获得容量为n的样本其样本编号依次是:S,Sk,S 2k,, ,S (n1)k. 3分层抽样 (1) 定义:当总体由有明显差别的几部分组成时,按某种特征在抽样时将总体中的各个个体分成互不交叉 的层,然后按照各层在总体中所占的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体合在一起作为样本,这种抽 样的方法叫做分层抽样 分层抽样使用的前提是总体可以分层,层与层之间有明显区别,而层内个体间差异较小,每层中所抽取的 个体数可按各层个体数在总体中所占比例抽取分层抽样要求对总体的内容有一定的了解,明确分层的界 限和数目,分层要
9、恰当 (2) 分层抽样的步骤 分层;按比例确定每层抽取个体的个数;各层抽样( 方法可以不同) ;汇合成样本 (3) 分层抽样的优点 分层抽样充分利用了己知信息,充分考虑了保持样本结构与总体结构的一致性使样本具有较好的代表 性,而且在各层抽样时,可以根据具体情况采取不同的抽样方法,因此分层抽样在实践中有着非常广泛的 应用 4. 绘制频率分布直方图 把横轴分成若干段,每一段对应一个组距,然后以线段为底作一矩形,它的高等于该组的 频率 组距 ,这样得出 一系列的矩形,每个矩形的面积恰好是该组上的频率这些矩形就构成了频率分布直方图. 在频率分布直 方图中,纵轴表示“频率/ 组距”,数据落在各小组内的频
10、率用小矩形的面积表示,各小矩形的面积总和 等于 1. 5茎叶图 统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图茎是指中间的一列数,叶是从茎的旁边生长出来的 数在样本数据较少、较为集中,且位数不多时,用茎叶图表示数据的效果较好,它较好的保留了原始数 据信息,方便记录与表示,但当样本数据较多时,茎叶图就不太方便 6平均数、中位数和众数 (1) 平均数:一组数据的总和除以数据的个数所得的商就是平均数 (2) 中位数:如果将一组数据按从小到大的顺序依次排列,当数据有奇数个时,处在最中间的一个数是这 组数据的中位数;当数据有偶数个时,处在最中间两个数的平均数,是这组数据的中位数 (3) 众数:出现次数最多的
11、数( 若有两个或几个数据出现得最多,且出现的次数一样,这些数据都是这组数 据的众数;若一组数据中,每个数据出现的次数一样多,则认为这组数据没有众数) (4) 在频率分布直方图中,最高小长方形的中点所对应的数据值即为这组数据的众数而在频率分布直方 图上的中位数左右两侧的直方图面积应该相等,因而可以估计其近似值平均数的估计值等于频率分布直 方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 7方差、标准差 (1) 设样本数据为x1,x2,, ,xn样本平均数为x ,则s 21 n( x1x )2( x2x ) 2, ( xnx )21 n( x1 2 x2 2, xn 2) n x 2 叫做这组
12、数据的方差,用来衡量这组数据的波动大小,一组数据方差越大,说明这 组数据波动越大把样本方差的算术平方根叫做这组数据的样本标准差 (2) 数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述,其中极差反映了一组数据变化的最大幅度方差 则反映一组数据围绕平均数波动的大小 8. 两个变量的线性相关 (1) 散点图 将样本中n个数据点 (xi,yi)(i 1,2 ,, ,n) 描在平面直角坐标系中,表示具有相关关系的两个变量的一 组数据的图形叫做散点图利用散点图可以判断变量之间有无相关关系 (2) 正相关、负相关 如果散点图中各点散布的位置是从左下角到右上角的区域,即一个变量的值由小变大时,另一个变量的值
13、也由小变大,这种相关称为正相关 反之,如果两个变量的散点图中点散布的位置是从左上角到右下角的区域,即一个变量的值由小变大时, 另一个变量的值由大变小,这种相关称为负相关 9回归分析 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析其基本步骤是:画散点图,求回归直线 方程,用回归直线方程作预报 (1) 回归直线:观察散点图的特征,如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两 个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线 (2) 回归直线方程的求法最小二乘法 设具有线性相关关系的两个变量x、y的一组观察值为(xi,yi)(i 1,2 ,, ,n) ,则回归直线方程y a
14、b x 的系数为: b i1 n xiyinx y i1 n xi 2nx2 i1 n xi x yi y i1 n xi x 2 a yb x 其中x 1 ni 1 n xi,y 1 ni 1 n yi,(x ,y ) 称作样本点的中心 a ,b 表示由观察值用最小二乘法求得的a,b的估计值,叫回归系数 10. 独立性检验 (1) 若变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,则这些变量称为分类变量 (2) 两个分类变量X与Y的频数表,称作22 列联表 . 二随机事件的概率 1随机事件和确定事件:在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件. (1) 在条件S下,一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然
15、事件 (2) 在条件S下,一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件 (3) 必然事件与不可能事件统称为确定事件 (4) 在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫做随机事件 (5) 确定事件和随机事件统称为事件,一般用大写字母,A B C表示 2频率与概率 (1) 在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数 A n为事 件A出现的频数,称事件A出现的比例 A n n fA n 为事件A出现的频率 (2) 对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率 n fA稳定在某个常数上,把 这个常数记作 p A ,称为事件A的概率,简称为A的概
16、率 3互斥事件与对立事件 互斥事件的定义:在一次试验中,不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件. 即AB为不可能事件 (AB) ,则称事件A与事件B互斥,其含义是:事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生 一般地,如果事件 12 , n A AA中的任何两个都是互斥的,那么就说事件 12 , n A AA彼此互斥 . 对立事件:若不能同时发生,但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件;即AB为不可能事件,而 AB为必然事件,那么事件A与事件B互为对立事件,其含义是:事件A与事件B在任何一次试验中 有且仅有一个发生 互斥事件和对立事件的区别和联系:对立事件是互斥事件,但是互斥事件不一定是对立事件.
17、两个事件互 斥是两个事件对立的必要非充分条件. 4. 事件的关系与运算 定义符号表示 包含关系 如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含 事件A ( 或称事件A包含于事件B) BA ( 或 AB) 相等关系若BA且AB,那么称事件A与事件B相等 AB 并事件 ( 和事件 ) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事 件为事件A与事件B的并事件 ( 或和事件 ) AB ( 或AB) 交事件 ( 积事件 ) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事 件为事件A与事件B的交事件 ( 或积事件 ) AB( 或 AB) 互斥事件若AB为不可能事件,那么称事件A与事件B互
18、斥AB 对立事件 若AB为不可能事件,AB为必然事件,那么称事件A 与事件B互为对立事件 AB且 AB 5. 随机事件的概率 事件A的概率:在大量重复进行同一试验时, 事件A发生的频率 n m 总接近于某个常数,在它附近摆动,这 时就把这个常数叫做事件A的概率 , 记作p A. 由定义可知01p A,显然必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0. 5概率的几个基本性质 (1) 概率的取值范围: 01p A . (2) 必然事件的概率:1p A. (3) 不可能事件的概率:0p A. (4) 互斥事件的概率加法公式: p ABp Ap B(,A B互斥 ) ,且有1p AAp Ap A 1212
19、nn p AAAp Ap Ap A ( 12 , n A AA彼此互斥 ) (5) 对立事件的概率:1P AP A 三古典概型 1. 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件, 通常此试验中的某一事件A由几个基本事 件组成 . 如果一次试验中可能出现的结果有n个, 即此试验由n个基本事件组成, 而且所有结果出现的可能性 都相等 , 那么每一基本事件的概率都是 n 1 . 如果某个事件A包含的结果有m个, 那么事件A的概率P(A) = n m . 基本事件的特点 (1) 任何两个基本事件是互斥的 (2) 任何事件都可以表示成基本事件的和( 除不可能事件 ) 2. 古典概型:具有以下两
20、个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个,即有限性 每个基本事件发生的可能性相等,即等可能性 概率公式:P(A) A 包含的基本事件的个数 基本事件的总数 . 四几何概型 1 ( 1)随机数的概念: 随机数是在一定范围内随机产生的数,并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的. 来源 :Z (2)随机数的产生方法 利用函数计算器可以得到01 之间的随机数; 在 Scilab语言中,应用不同的函数可产生01 或 ab 之间的随机数. 2. 几何概型 (1)定义:如果某个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积等)成比例,则称这样的概 率模型
21、为为几何概率模型,【来源:全 简称几何概型, 品, 中&高*考+网】 (2)特点:无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个; 等可能性:每个结果的发生具有等可能性 (3)几何概型的解题步骤: 首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题(事件的结果与一个变量有关就是一维的问题,与两个变 量有关就是二维的问题,与三个变量有关就是三维的问题);接着,如果是一维的问题,先确定试验的全 部结果和事件A构成的区域长度(角度、弧长等),最后代公式 p A 构成事件A的区域长度面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积 ;如果是二维、三维的问题,先设出二维或三 维变量,再列出试验的全部结果和事
22、件A分别满足的约束条件,作出两个区域,最后计算两个区域的面积 或体积代公式. (4)求几何概型时,注意首先寻找到一些重要的临界位置,再解答. 一般与线性规划知识有联系. 3几种常见的几何概型 (1)设线段l 是线段 L 的一部分 , 向线段 L 上任投一点 . 若落在线段l 上的点数与线段L 的长度成正比 , 而 与线段 l 在线段 l 上的相对位置无关,则点落在线段l 上的概率为: P=l 的长度 /L 的长度 (2)设平面区域g 是平面区域G的一部分 , 向区域 G上任投一点 , 若落在区域g 上的点数与区域g 的面积成 正比 , 而与区域g 在区域 G上的相对位置无关,则点落在区域g 上
23、概率为: P=g的面积 /G 的面积 (3)设空间区域上v 是空间区域V的一部分 ,向区域 V上任投一点 . 若落在区域v 上的点数与区域v 的体积 成正比 , 而与区域v 在区域 v 上的相对位置无关,则点落在区域V上的概率为: P=v 的体积 /V 的体积 五条件概率 1条件概率及其性质 (1) 对于任何两个事件A和B,在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率叫做条件概率,用符号 /p B A来表示,其公式为/ p AB p B A P A . 在古典概型中,若用n A表示事件A中基本事件的个数,则/ n AB p B A n A . (2) 条件概率具有的性质:学科网 0/1p B A
24、; 如果B和C是两互斥事件,则/p BC Ap B Ap CA 2相互独立事件 (1) 对于事件A、B,若A的发生与B的发生互不影响,则称A、B是相互独立事件 (2) 若A与B相互独立,则/p B Ap B, /p ABp B AP AP AP B (3) 若A与B相互独立,则A与B,A与B,A与B也都相互独立 (4) 若p ABP AP B,则A与B相互独立 【应试技巧点拨】 1. 三种抽样方法的比较 类别共同点各自特点相互联系适用范围 简单随机抽 样 抽样过程中每个 个体被抽取的机 会均等 从总体中逐个抽取 来源:学科网 ZXXK 总体中的个体 数较少 来源 :学科网 ZXXK 系统抽样
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