2015高考数学复习资料考点热点讲解练习测试专题19数列大题(江苏版).pdf
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1、热点十九数列大题 【名师精讲指南篇】 【高考真题再现】 例 1 【2012 江苏高考 】已知各项均为正数的两个数列 n a 和 n b 满足: 22 1 nn nn n ba ba a ,*Nn, (1)设 n n n a b b1 1 ,*Nn,求证:数列 2 n n b a 是等差数列; (2)设 n n n a b b2 1 ,*Nn,且 n a 是等比数列,求 1 a 和 1 b的值 例 2 【2013 江苏高考 】 设 n a 是首项为 a,公差为d的等差数列 (0d ) , n S 是前n项和 . 记 2 n n nS b nc , nN,其中c为实数 . (1)若0c,且 1 b
2、, 2 b, 4 b成等比数列,证明: 2 ( ,) nkk Sn S k nN ; (2)若 n b 是等差数列,证明0c. 【热点深度剖析】 1. 江苏高考中,数列大题要求较高,常常在压轴的代数论证中考数列的综合应用.近几年江苏高考中数列解 答题总是同等差、等比数列相关,进一步考查其子数列或派生数列的性质等,而对递推条件证不等式有所 淡化。尤其11 年江苏卷的数列题命制非常出色,条件与结论中都隐含着等差数列,所以解题过程中既有等 差数列性质的挖掘,又有等差数列的判断论证,综合性极强. 2.数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数,当自变量依次从小到大取 值时所对
3、应的一列函数值,就是数列因此,在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性,又要考虑数 列方法的特殊性.注意数列与函数方程、不等式等知识的交汇.在复习中要参透数列作为一种离散型的特殊函 数与函数的定义域、值域、单调性、周期性、最值、图像等关系. 3.解决数列综合题, 关键是熟练掌握等差数列、等比数列的定义及性质,注意挖掘知识的内在联系及其规律, 通过对知识的重新组合,以达到提高分析问题和解决问题能力的目的. 4.预计 15 年数列依然是考查重点内容,出与等差数列相关的代数论证压轴题的可能性较大. 【 最新考纲解读】 内容 来源: 学 。科。 网 来 源 :Z xxk.C o m 要求备注 来源 :
4、 Z_xx_ k. Com 来源: 学 科网Z X X K 来源: 学科网 A B C 数列 数列的概念 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次(在表 中分别用 A、B、C表示) . 了解: 要求对所列知识的含义有最基本的认识,并能解决相关的 简单问题 . 理解: 要求对所列知识有较深刻的认识,并能解决有一定综合性 的问题 . 掌握: 要求系统地掌握知识的内在联系,并能解决综合性较强的 或较为困难的问题. 等差数列 等比数列 【重点知识整合】 一、 n a与 n S的关系: 1 1 (1) (2) n nn S n a SSn 二、 ()定义:从第 2 项起每一项与它前一项的差(比)
5、等于同一常数的数列叫等差(比)数列 ()递推公式: 11 0 nnnn aadaa qqnN, ()通项公式: 1 11 (1) n nn aandaa qnN, () 等差数列 性质 单调性:0d时为递增数列,0d时为递减数列,0d时为常数列 若mnpq,则() mnpq aaaa mnpqN, , ,特别地,当2mnp时,有 2 mnp aaa () () nm aanm d mnN,232kkkkk SSSSS, 成等差数列 等比数列 性质 单调性:当 1 0 01 a q , 或 1 0 1 a q 时,为递增数列;当 1 0 1 a q , , ,或 1 0 01 a q 时为递减
6、数 列; 当0q时为摆 动 数列; 当1q时为 常数 列 若mnpq,则 () mnpq aaaa mnpqN, , , 特别地若 2mnp 则 2 mnp aaa (0) n mn m a qmnq a N, 232kkkkk SSSSS,, ,当1q时为等比数列;当1q时, 若k为偶数,不是等比数列若k为奇数是公比为1的等比数列 【应试技巧点拨】 一、数列通项公式的求解常用方法:1、定义法,直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义 法,这种方法适应于已知数列类型的题目2、 公式法,若已知数列的前n项和 n S 与 n a 的关系, 求数列 n a 的通项 n a可用公式 2 1
7、1 1 nSS nS a nn n 求解。 3、由递推式求数列通项法,对于递推公式确定的数 列的求解,通常可以通过递推公式的变换,转化为等差数列或等比数列问题,有时也用到一些特殊的转化 方法与特殊数列。4、待定系数法(构造法),求数列通项公式方法灵活多样,特别是对于给定的递推关系 求通项公式,观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换,转化成特殊数列(等差或等比数列) 来求解,这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想,而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一 种重要的转化方法。 二、数列求和的基本方法: 1.基本公式法:1等差数列求和公式: 1 1 1 22 n n n aan n S
8、nad2等比数列求和公式: 1 1 1 ,1 1 ,1 11 n n n naq Saq aa q q qq 3 012 2 nn nnnn CCCC. 2.错位相消法:一般适应于数列 nn a b的前n向求和,其中 n a成等差数列, n b成等比数列。 3.分组求和:把一个数列分成几个可以直接求和的数列,然后利用公式法求和。 4.拆项(裂项)求和:把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程中消去中间项,只剩下有限项 再求和 . 常见的拆项公式有:1若 n a是公差为d的等差数列,则 11 1111 nnnn a adaa ; 2 1111 21 2122121nnnn ;3 11 1n
9、n knkn ;4 1 1 mmm nnn CCC; 5!1 !n nnn. 5. 倒序相加法:根据有些数列的特点,将其倒写后与原数列相加,以达到求和的目的。 【考场经验分享】 1.目标要求:数列是高中代数的重要内容之一,由于它既具有函数特征,又能构成独特的递推关系,使得它 既与中学数学其他部分知识如:函数、方程、不等式、解析几何、二项式定理等有较紧密的联系,又有自 己鲜明的特征,因此它是历年高考考查的重点、热点和难点,在高考中占有极其重要的地位.试题往往综合 性强、难度大,承载着考查学生数学思维能力和分析、建模、解决问题的能力以及函数与方程的思想、转 化与化归的思想、分类讨论的思想. 2.注
10、意问题: (1) 利用 an与 Sn的关系,不要忘记验证a1 能否与 n2 时 an的式子统一 ; (2) 运用等比数列求 和公式时,需对q=1 和 q1 进行讨论 . 3. 经验分享:用函数的观点处理数列问题,数列是特殊的函数,以数列为背景的不等式证明以及以函数为 背景进行数列的构造命题,体现了在知识的交汇点上命题的特点,一直是高考命题者的首选。 【名题精选练兵篇】 1.【连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015 一模】 (本小题满分16 分) 在数列 na 中,已知 1221 1,2, nnn aaaaanN ,为常数 . (1)证明 : 14,5 ,a a a成等差数列 ; (2)设 2 2
11、 nn aa n c,求数列的前 n 项和 n S; (3)当0时,数列1 n a 中是否存在三项 111 1,1,1 stp aaa成等比数列,且, ,s t p也成等比 数列 ?若存在,求出, ,s t p的值;若不存在,说明理由. 2.【泰州 2015 一模】(本题满分16 分) 数列 n a, n b, n c满足: 1 2 nnn baa, 12 22 nnn caa,*nN (1)若数列 n a是等差数列,求证:数列 n b是等差数列; (2)若数列 nb , nc 都是等差数列,求证:数列 na 从第二项起为等差数列; (3)若数列 n b是等差数列,试判断当 13 0ba时,数
12、列 n a是否成等差数列?证明你的结论 3.【扬州2015 一模】已知数列 n a 中, 12 1,aaa,且 12 () nnn ak aa对任意正整数都成立,数 列 n a的前 n 项和为 Sn。 (1)若 1 2 k,且 2015 2015Sa,求 a; (2)是否存在实数k,使数列 n a 是公比不为1 的等比数列,且任意相邻三项 12 , mmm aaa 按某顺序排列 后成等差数列,若存在,求出所有k 值,若不存在,请说明理由; (3)若 1 , 2 n kS求。 4.【南京盐城2015 一模】设数列 n a是各项均为正数的等比数列,其前n项和为 n S,若 15 64a a, 53
13、 48SS. (1)求数列 na 的通项公式; (2)对于正整数,k m l(kml) ,求证: “1mk且3lk”是“5 , kml a aa 这三项经适当排 序后能构成等差数列”成立的充要条件; (3)设 数 列 n b满 足 :对 任意 的 正整 数n, 都 有 121321nnnn a ba ba ba b 1 3 246 n n,且集合 * |, n n b MnnN a 中有且仅 有 3 个元素,试求的取值范围 . 5.【镇江 2015 一模】 (本小题满分 16 分) 已知数列 n a中,1 1 a, 在 21,a a之间插入1 个数,在 32,a a之间插入2 个数,在 43,
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