8几何计数.pdf
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1、1 几何计数 方法铺垫: 1) 加法原理,乘法原理; 2) 容斥原理; 3) 排列数,组合数; 4) 对应法 . 例 1. 求图中一共有多少条线段?求图中一共有多少个矩形? 答疑编号 5721070101 【答案】 70 条线段, 60 个矩形 【解答】每一条线段由同一行或同一列的两个顶点确定,因此共 有条线段 . 每个矩形由长和宽上的各一条线段对应形成,如下图: 因此共有个矩形 . 2 例 2. 数一数,图中有多少个三角形? 答疑编号 5721070102 【答案】 78 个 【解答】只包含 1 个基本图形的有 36 个(朝上的 21 个,朝下的 15 个);包含 4 个基本图形的有 21
2、个(朝上的 15 个,朝下的 6 个);包 含 9 个基本图形的有 11 个(朝上的 10 个,朝下的 1 个);包含 16 个基本 图形的有 6 个;包含 25 个基本图形的有 3 个;包含 36 个基本图形的有 1 个. 所以共有 362111631=78个. 例 3. 下图是一个长为 9,宽为 4 的长方形网格,每一个小格都是一个 正方形,那么: 1)从中可以数出多少个矩形? 2)从中可以数出多少个正方形?3)从中可以数出包含黑点的矩形有 3 多少个? 答疑编号 5721070103 【答案】 1)450个;2)80 个;3)144 个 【解答】 1)图中共有个矩形; 2)包含 1 个基
3、本图形的正方形共有49=36个;包含 4 个基本图形的 正方形共有 38=24 个;包含 9 个基本图形的正方形共有27=14 个;包 含 16 个基本图形的正方形共有16=6 个. 则共有 3624146=80个. 3)黑点左下方的顶点共有18 个,黑点右上方的顶点共有8 个,所以 包含黑点的矩形共有188=144 个. 例 4. 图中一共包含多少个矩形? 答疑编号 5721070104 【答案】 135 个 【解答】第( 1)部分和第( 3)部分合并起来是一个35 的大矩 4 形(如下图所示),其中一共包含矩形个; 第(2)部分和第( 3)部分合并起来是一个62的大矩形(如下图所 示),其中一共包含矩形个; 第(3)部分中的矩形被重复计算了,其中共有矩形个. 所以图中一共包含矩形906318=135个. 例 5. 图中的木板上钉着12 枚钉子,排成三行四列的长方阵. 那么用 橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形? 答疑编号 5721070105 【答案】 200 个 【解答】从 12 枚钉子中选择 3 枚钉子的组合总数是. 而图中共有 3 条直线上各有 4 个点(如下图实线所示),另外还有8 条直线上各有 3 个点(如下图虚线所示).
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