一组对边相等一组对角相等的四边形是平行四边形吗.pdf
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1、一组对边相等一组对角相等的四边形是平行四边形吗 在学习平行四边形的判定时,学生遇到这样一道判断题:一 组对边相等, 一组对角相等的四边形是平行四边形。学生判断这个命 题时,通过证明方法证不出来,画图总是受平行四边形思维的制约, 请教老师,但是有的年青教师也不能画出准确的反例图形,所以笔者 就这个问题,进行了深入的研究。现归纳几种方法如下: 一、拼图法 笔者研究这个问题时也是从证明开始入手的。 如图 1,四边形 ABCD 中,AB=CD ,B= D,求:四边形 ABCD 是 不是平行四边形? 分析: 经验告诉我们,遇到四边形问题往往要转化成三角形问题 来解决。所以很自然想到连接AC ,分四边形
2、ABCD 为两个三角形,如 果能够证明 ABC CDA ,便可证明四边形ABCD 是平行四边形。可 是能够为 ABC和CDA 找到的三个条件: AB=CD ,B=D,AC公用, 满足的却是“两边及其中一边的对角对应相等”的关系(注: 为了简 洁,笔者下文将两个三角形符合这样的条件简称“SSA ”),不能证 明ABC CDA ,所以无法证明四边形ABCD 是平行四边形。但是我 们知道判断两个直角三角形全等的方法“HL ”满足的是“ SSA ”条件, 所以当 B=D=时,ABC CDA ,易证四边形 ABCD 是平行四边 形 (另外 B= D时也可证 ABC CDA ,这个留给读者验证) 。 可见
3、,一组对边相等,一组对角相等的四边形不一定是平行四边形。 在上述证明过程中,笔者联想到人教版八年级( 上)数学课本中证 明“符合 SSA 的两个三角形不一定全等”的基本图形( 如图 2), 图 2 中ABC与ABD满足“SSA ”的条件。笔者考虑到:在向学生讲 述文章开头一段的问题时,直接证明有难度,何不把图2 中的ABC 与ABD剪下来,拼接出一个反例图形。方法如下:可以采用把一张 白纸对折成双层, 在上层纸的上面画出如图2 的基本图形, 并且标上 相应的字母,注意画图时尽可能把锐角B画大点( BCAD ,这 样后面更容易拼接成一个凸四边形),然后用剪刀沿 ABD的三边的 轮廓剪下,得到两个
4、全等的三角形, 把下层的三角形每个角写上与上 层的 ABD相对应的字母(与 A点对应 )、(与 B点对应 )、D,得 到;再把上层的三角形沿线段AC剪开,得到 ABC ;最后让学 生把各自作得与ABC 放在一张深色的纸板上拼接成一个符合 要求的反例四边形,并且用透明胶带把这个四边形固定在深色纸板 上,便于与同学之间互相交流或上讲台展示,教师还可以选部分同学 的作品用小磁铁固定在磁性黑板上展示。通过动手活动, 学生积极性 高,教学效果明显。 二、间接作图法 思路:借助于某种具有两个等角和两条等边的图形,使其发生某 种变换,构照出“仅有一对对角相等及一对对边相等的四边形”,从 而作出反例图形。 学
5、生很容易想到等腰三角形、 平行四边形等图形能 够提供一对等角和一对等边。 请看下面笔者总结的较为经典的几种方 法: (一)利用等腰三角形构造(如图3) 作法:如图 3,任意作一等腰 ABC ,AB=AC (要求底角 B、 C尽可能画大一些,这样后面更容易得到一个凸四边形的反例图形) 在底边 BC上任取一点 D,使得 BD DC (不要取 BC的中点,原 因留给读者思考) 由点 D作2=1(如图 3),取 DE=AC ,连接 AE 。 易 证 ADC DAE E= C= B,AE=DC 又 DE=AC=AB,AE=DC BD 四边形 ABDE 即为所求的反例图形。显然,四边形ABDE 不是平 行
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