三招搞定高考题含参不等式恒成立问题(1).pdf
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1、高考数学快速解题三招搞定含参不等式恒成立问题 已知不等式恒成立,求参数的取值范围问题是中学数学的重要内容之一,是函数、方程、不等式交汇 处一个较为活跃的知识点。这类问题以含参不等式“恒成立”为载体,镶嵌函数、方程、不等式等内容, 综合性强,思想方法深刻,能力要求较高,因而成为近几年高考试题中的热点。为了对含参不等式恒成立 问题的解题方法有较全面的认识,本文以2010 年高考试题的解法为例,对此类问题的解题策略作归纳和 提炼,高考数学快速解题法为2019 高考数学快速巧妙的通关。 一 分离参数,转化为求函数的最值 对于变量和参数可分离的不等式,可将参数分离出来,先求出含变量一边的式子的最值,再由
2、此推出 参数的取值范围。 例 1( 2010 年全国卷1 理)已知函数( )(1)ln1f xxxx ()若 2 ( )1xfxxax,求a的取值范围 ()证明 :(1) ( )0xf x 解析: () 11 ( )ln1ln x fxxx xx (0)x ( ) ln1xfxxx, 由 2 ( )1xfxxax 得lnaxx,令 ( )lng xxx ,于是, 问题化为求函数 ( )g x 的最大值。 1 ( )1gx x ,当01x 时, ( )0g x;当1x时, ( )0g x。当1x时,( )g x有最大值, max ( )(1)1g xg1a ()略。 评析:含参不等式分离参数后的
3、形式因题、因分法而异,因此解决含参不等式恒成立问题需把握住下 述结论: ( 1)( )( )f xg a恒成立 max ( )( )f xg a; (2)( )( )f xg a恒成立 max ( )( )f xg a; (3) ( )( )f xg a恒成立 min ( )( )f xg a。 (4)( )( )f xg a恒成立 min ( )( )f xg a。 二 分离参数,转化为求函数的确界 如果分离参数后相应的函数不存在最值,为了能够利用分离参数思想解决含参不等式恒成立问题,我 们利用如下的函数确界的概念: 函数( )yf x()xD的上确界为min( ),M f xM xD,记作
4、M上;函数( )yf x()xD 的下确界为max( ),M f xM xD,记作M下。于是,有如下结论: (1)若( )f x无最大值,而有上 确界,这时要使( )( )f xg a恒成立,只需M 上 ( )g a。 (2)若( )f x无最小值,而有下确界M下,这时 要使( )( )f xg a恒成立,只需M下( )g a。 例 2 (2010 年湖南卷理) 已知函数 2 ( )f xxbxc,( ,)b cR对任意的xR,恒有 ( )( )fxf x ()证明:当0x时, 2 ( )()f xxc ()若对满足题设条件的任意b,c,不等式 22 ( )( )()f cf bM cb恒成立
5、,求M的最小值。 解析:()略。 ()由 ( )( )fxf x即 2 (2)0xbxcb恒成立,得 2 (2)4()0bcb 从而 22 121 44 bb cb,等号当且仅当 2 1 4 b ,即2b时成立 (1)当cb时, 22 ( )( )2f cf bcb M cbbc ,令 b t c ,则 11t ,则 21 2 1 cb bct 因为函数 1 ( )2 1 g t t (11t)的最大值不存在,但易知其上确界为 3 2 3 2 M (2)当cb2时,( )( )8f cf b或 0, 22 0cb,从而 223 ( )( )() 2 f cf bcb恒成立 综合( 1) ( 2
6、)得M的最小值为 3 2 例 3 (2010 年全国卷理)设函数 2 ( )1 x f xexax ()若0a,求( )fx的单调区间。 ()若0x时, ( )0fx ,求a的取值范围。 解析: ()由( )0f x对所有的0x成立,可得 (1)当0x时,aR; ( 2)当0x时, 2 1 x ex a x ,设 2 1 ( ) x ex g x x ,问题转化为求( )g x的最小值或下确界。 22 4 22 ( ) xx x exexx gx x , 令 22 ( )22 xx h xx exexx, 因 为 2 ( )222 xx h xx eex, 0x,又( )h x的二阶导数 “2
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- 搞定 考题 不等式 成立 问题
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