专题1.4极值点偏移第二招--含参数的极值点偏移问题-玩转压轴题(原卷版)(2).pdf
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1、1 含参数的极值点偏移问题,在原有的两个变元 12 ,x x的基础上, 又多了一个参数,故思路很自然的就会想到: 想尽一切办法消去参数,从而转化成不含参数的问题去解决;或者以参数为媒介,构造出一个变元的新的 函数 . 例 1. 已知函数 x aexxf)(有两个不同的零点 12 ,x x,求证:2 21 xx. 不妨设 12 xx,记 12 txx,则0,1 t te, 因此只要证明: 1 2 1 t t e t e 0 1 ) 1(2 t t e e t, 再次换元令xtxet ln,1,即证),1 (,0 1 )1(2 lnx x x x 构造新 函数 2(1) ( )ln 1 x F x
2、x x ,0) 1(F 求导 2 22 14(1) ( )0 (1)(1) x Fx xxx x ,得)(xF在), 1(上递增, 所以0)(xF,因此原不等式 12 2xx获证 . 2 例 2. 已知函数( )lnf xxax,a为常数,若函数( )f x有两个零点 12 ,x x,证明: 2 12 .xxe 法二:利用参数a作为媒介,换元后构造新函数: 不妨设 12 xx, 1122 ln0,ln0xaxxax, 12121212 lnln(),lnln()xxa xxxxa xx, 12 12 lnlnxx a xx ,欲证明 2 12 x xe,即证 12 lnln2xx. 1212
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