中考最值问题探究.pdf
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1、1 中考最值问题探究 中考压轴题中频繁出现有关最值问题,常让很多同学束手无策, 望而生畏,其实解这类试题关键是要结合题意,借助相关的概念、图 形的性质,将最值问题化归与转化为相应的数学模型(函数增减性、 线段公理、三角形三边关系等)进行分析与突破,现结合近年各地试 题的特点进行剖析,希望能给同学一定的启示与帮助。 一、在线段之和的最值问题中酝酿与构建,借用线段公理求解 例 1(湖北荆门 )如图, MN 是半径为 1 的O 的直径,点 A 在O 上,AMN30 , B 为 AN 弧的中点,P 是直径 MN 上一动点, 则 PAPB 的最小值为 ( ) A 2B C 1 D 2 解析:PA+PB
2、的线段之和最小值求法的依据是“平面几何中,两 点之间线段最短”的数学模型与原理,故可作B 关于 MN 的对称点 是 H,连接 AH 交 MN 于点 P,AH 的长就是 PA+PB 的线段之和的最 小值,借助圆圆周角定理,可知根据AOH90 ,巧妙构造Rt OAH,根据题意运用勾股定理可求出AH=,所以 PA+PB 的最小 值为故选 B。 点评: 本题是课本著名原题“泵站问题”的变形与应用,解决本 题的关键做出点B 或 A 关于 MN 的对称点,然后利用线段垂直平分 2 线的性质和两点之间线段最短,并借助圆心角和圆周角的关系,构造 直角三角形运用勾股定理计算最小值来解决问题不管在什么背景图 中,
3、有关线段之和的最短问题, 常化归与转化为线段公理 “两点之间, 线段最短”。而化归与转化的方法大都是借助于“轴对称点”。 例 2 圆锥底面半径为 10cm,高为 10cm, (1)求圆锥的表面积; (2)若一只蚂蚁从底面一点A 出发绕圆锥一周回到SA 上一 点 M 处,且 SM=3AM ,求它所走的最短距离。 思路点拨 :利用底面半径、高及母线组成的直角三角形构造勾股 定理求出母线长, 进而借助扇形面积公式求出表面积;蚂蚁在圆锥表 面上行走一圈,而圆锥侧面展开后为扇形,故可在展开图(扇形)上 求点 A 到 M 的最短距离(即AM 的长)。 解析:(1)圆锥的母线长 SA=,圆锥侧面展开 图 扇
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