解析几何-历届全国高中数学联赛真题专题分类汇编.pdf
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1、解析几何 1、 ( 2009 一试 2)已知直线:90Lxy和圆 22 :228810Mxyxy,点A在直线L上,B,C为圆 M上两点,在 ABC中,45BAC,AB过圆心 M,则点A横坐标范围为 【答案】36, 【解析】设9A aa,则圆心M到直线AC的距离sin45dAM,由直线AC与圆M相交,得 34 2 d 解得36a 2、 ( 2009 一试5)椭圆 22 22 1 xy ab 0ab上任意两点P, Q ,若 OPOQ ,则乘积OPOQ的最小值 为 【答案】 22 22 2a b ab 【解析】设cossinP OPOP, , cossin 22 QOQOQ, 由P, Q 在椭圆上,
2、有 22 222 1cossin ab OP 22 222 1sincos ab OQ + 得 2222 1111 ab OPOQ 于是当 22 22 2a b OPOQ ab 时,OP OQ达到最小值 22 22 2a b ab 3、 ( 2010 一试 3)双曲线1 22 yx的右半支与直线100x围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐 标均为整数的点)的个数是. 【答案】 9800 4、 ( 2011 一试 7)直线012yx与抛物线xy4 2 交于BA,两点, C 为抛物线上的一点,90ACB,则 点 C 的坐标为 【答案】)2, 1(或)6, 9( 即0)(24)( 2121 2 2
3、1 2 21 4 yytyytxxtxxt, 即031614 24 ttt,即0) 14)(34( 22 tttt 显然014 2 tt,否则0122 2 tt,则点 C 在直线012yx上,从而点C 与点 A 或点 B 重合所以 034 2 tt,解得3, 1 21 tt故所求点C 的坐标为)2, 1(或)6,9( 5、 ( 2012一试 4)抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为F,准线为,,A B是抛物线上的两个动点,且满足 3 AFB设线段的中点M在上的投影为N,则 | | MN AB 的最大值是 . 【答案】 1 【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得. 2 AFBF MN 在A
4、FB中, 由余弦定理得 222 2cos 3 ABAFBFAFBF 2 ()3AFBFAFBF 22 ()3() 2 AFBF AFBF 2 2 (). 2 AFBF MN 当且仅当AFBF时等号成立 . 故 MN AB 的最大值为 1. 6、 ( 2013 一试 2)在平面直角坐标系xOy 中,点AB、在抛物线 2 4yx 上,满足4OA OB,F是抛物 线的焦点 .则 OFAOFB Ss. 【答案】 2. 【解析】点 F坐标为1,0 . 设 11 ,A x y, 22 ,B xy,则 2 1 1 4 y x, 2 2 2 4 y x,故 2 12121212 1 4 16 OA OBx x
5、y yy yy y,即 2 12 1 80 16 y y,故 12 8y y. 2 1212 111 2 224 OFAOFB SSOFyOFyOFy y. 7、 ( 2013 一试 7)若实数 , x y满足42xyxy ,则 x 的取值范围是 . 【答案】04,20 . 1 A 4 2 b a O C B 如图所示,在aOb平面内,点,a b 的轨迹是以1,2 为圆心, 5为半径的圆在,0a b的部分,即点O与弧ACB的并集 . 因此 22 02,2 5ab,从而 22 04,20xab. 8、 ( 2014 一试6)设椭圆的两个焦点是 21, F F,过点 1 F的直线与交于点QP,,若
6、| 212 FFPF,且 |4|3 11 QFPF,则椭圆的短轴与长轴的比值为_. 【答案】 2 6 7 【解析】 11 | 4,| 3,PFQF记椭圆 T的长轴,短轴的长度分别为 2a,2b, 焦距为 212 | | 2 ,F Fc2c, 则PF且由椭圆的定义知, 1212 2| | |24.aQFQFPFcPF 2121 | | |21.QFPFQFc于是PF 11 | 2 | 5HPFF HQH设为线段的中点,则, 21. F HPF且有由勾股定理知, 22222 22121 | -|QFQHF HF FF H 2222 21)5(2 )2 ,5,7ccca即(解得 2 6,bT因此椭圆
7、的短轴与长轴的比值为 2 6 . 7 b a 9、 ( 2016 一试 7)双曲线C的方程为1 3 2 2y x,左、右焦点分别为 1 F、 2 F,过点 2 F作直线与双曲线C 的右半支交于点P,Q,使得PQF 1 =90,则PQF1的内切圆半径是 . 【答案】17 【解析】 10、 (2017 一试 3)在平面直角坐标系xoy中,椭圆C的方程为 22 1 910 xy ,F为C的上焦点,A为C的 右顶点,P是C上位于第一象限内的动点,则四边形OAPF的面积的最大值为. 【答案】 3 11 2 【解析】易知(3,0), F(0,1).P3cos, 10 sin),0, 2 A设的坐标是(则
8、1133 11 310sin1 3cos( 10cossin)sin(). 2222 103 11 =arctan.arctan 10. 102 OAPFOAFOFP SSS OAPF其中当时,四边形面积的最大值为 11、 (2009 一试 9)设直线:lykxm (其中k, m 为整数)与椭圆 22 1 1612 xy 交于不同两点A,B,与双 曲线 22 1 412 xy 交于不同两点 C,D,问是否存在直线l,使得向量0ACBD ,若存在,指出这样的直 线有多少条?若不存在,请说明理由 【解析】由 22 1 1612 ykxm xy 消去y化简整理得 222 3484480kxkmxm
9、设 11 A xy, 22 B xy,则 12 2 8 34 km xx k 2 22 1 84 344480kmkm 由 22 1 412 ykxm xy 消去y化简整理得 222 32120kxkmx m 设 34C xy,44D xy,则 34 2 2 3 km xx k 2 22 2 24 3120kmkm 因为0ACBD,所以 4231 0xxxx,此时 4231 0yyyy 由 1234 xxx x 得 22 82 343 kmkm kk 所以20km或 22 41 343kk 由上式解得0k或0m当0k时,由和得2 32 3m因 m 是整数,所以 m的值为3,2,1,0,1,2,
10、3当0m ,由和得 33k 因k是整数, 所以1k,0,1于是满足条件的直线共有9 条 12、 (2010 一试 10)已知抛物线xy6 2 上的两个动点 1122 (,)(,)A xyB xy和,其中 21 xx且4 21 xx. 线段AB的垂直平分线与x轴交于点C,求ABC面积的最大值. 【解析】解法一:设线段AB的中点为 ),( 00 yxM,则 2 ,2 2 21 0 21 0 yy y xx x, 012 2 1 2 2 12 12 12 36 66 yyyyy yy xx yy kAB. 线段AB的垂直平分线的方程是)2( 3 0 0 x y yy. (1) 依题意, 21, y
11、y是方程( 3)的两个实根,且 21 yy,所以 222 000 44(212)4480yyy, 3232 0 y. 2 21 2 21 )()(yyxxAB 2 21 2 0 )() 3 (1(yy y 4)( 9 1 ( 21 2 21 2 0 yyyy y )122(44)( 9 1 ( 2 0 2 0 2 0 yy y C(5,0) B A x y O )12)(9( 3 2 2 0 2 0 yy . 定点)0,5(C到线段AB的距离 2 0 2 0 2 9)0()25(yyCMh. 2 0 2 0 2 0 9)12)(9( 3 1 2 1 yyyhABS ABC )9)(224)(9
12、( 2 1 3 12 0 2 0 2 0 yyy 3 2 0 2 0 2 0 ) 3 92249 ( 2 1 3 1yyy 7 3 14 . 当且仅当 2 0 2 0 2249yy,即 0 5y, 635635 (,57),(,57) 33 AB或 635635 (,( 57),(,57) 33 AB时等号成立 . 所以,ABC面积的最大值为7 3 14 . 2 2 2 212 2 11 2 )656665( 2 1 (ttttttS ABC 2 21 2 21 )5()( 2 3 tttt)5)(5)(24( 2 3 212121 tttttt 3 ) 3 14 ( 2 3 , 所以7 3
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