高中数学圆的方程专题复习.pdf
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1、1 高中数学圆的方程典型题型归纳总结 类型一:巧用圆系求圆的过程 在解析几何中,符合特定条件的某些圆构成一个圆系,一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。 常用的圆系方程有如下几种: 以为圆心的同心圆系方程 过直线与圆的交点的圆系方程 过两圆和圆的交点的圆系方 程 此圆系方程中不包含圆,直接应用该圆系方程,必须检验圆是否满足题意,谨防漏解。 当时,得到两圆公共弦所在直线方程 例 1:已知圆与直线相交于两点,为坐标原点,若 ,求实数的值。 分析:此题最易想到设出,由得到,利用设而不求 的思想,联立方程,由根与系数关系得出关于的方程,最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系 ,不难得出在以为直
2、径的圆上。而刚好为直线与圆的交点,选取过直线与圆交点 的圆系方程,可极大地简化运算过程。 解:过直线与圆的交点的圆系方程为: 2 ,即 . 依题意,在以为直径的圆上,则圆心()显然在直线上,则 ,解之可得 又满足方程,则故 例 2:求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。 解:圆和的公共弦方程为 ,即 过直线与圆的交点的圆系方程为 ,即 依题意,欲使所求圆面积最小,只需圆半径最小, 则两圆的公共弦必为所求圆的直径,圆心 必在公共弦所在直线上。即,则代回圆系方程得所求圆方程 例 3: 求证: m为任意实数时,直线(m1)x (2m 1)y m 5 恒过一定点P,并求 P点坐标。 分析:不论m为何实
3、数时,直线恒过定点,因此,这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。 解:由原方程得 m(x2y1) (x y5) 0, 3 即 4y 9x 05yx 01y2x 解得 , 直线过定点P(9, 4) 注:方程可看作经过两直线交点的直线系。 例 4 已知圆C: (x1) 2( y2) 225,直线 l: ( 2m+1)x+(m+1)y7m4=0(mR) . (1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点; (2)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程 . 剖析:直线过定点,而该定点在圆内,此题便可解得. (1)证明:l的方程(x+y 4)+m( 2x+y7)=0. 2x+y7=0,x=3, x
4、+y4=0,y=1, 即l恒过定点A(3, 1). 圆心C(1,2) ,AC55(半径), 点A在圆C内,从而直线l恒与圆C相交于两点 . (2)解:弦长最小时,lAC,由kAC 2 1 , l的方程为2xy5=0. 评述:若定点A在圆外,要使直线与圆相交则需要什么条件呢? 思考讨论 类型二:直线与圆的位置关系 例 5、若直线mxy与曲线 2 4xy有且只有一个公共点,求实数m的取值范围 . 解:曲线 2 4xy表示半圆)0(4 22 yyx,利用数形结合法,可得实数m的取值范围是 22m或22m. 变式练习: 1. 若直线 y=x+k 与曲线 x= 2 1y 恰有一个公共点,则k 的取值范围
5、是 _. 解析:利用数形结合. 答案: 1k1 或 k= 2 例 6 圆9)3()3( 22 yx上到直线01143yx的距离为1 的点有几个? 分析: 借助图形直观求解或先求出直线 1 l、 2 l的方程,从代数计算中寻找解答 解法一: 圆 9)3()3( 22 yx的圆心为)3,3( 1 O,半径3r 设圆心 1 O到直线01143yx的距离为d,则32 43 113433 22 d mR, 得 4 如图,在圆心 1 O同侧,与直线01143yx平行且距离为1 的直线 1 l与圆有两个交点,这两个交 点符合题意 又123dr 与直线01143yx平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题
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