高中数学竞赛讲义(全套).pdf
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1、高中数学竞赛资料 一、高中数学竞赛大纲 全国高中数学联赛 全国高中数学联赛(一试)所涉及的知识范围不超出教育部2000 年全日制普通高级 中学数学教学大纲中所规定的教学要求和内容,但在方法的要求上有所提高。 全国高中数学联赛加试 全国高中数学联赛加试(二试)与国际数学奥林匹克接轨,在知识方面有所扩展;适当 增加一些教学大纲之外的内容,所增加的内容是: 1.平面几何 几个重要定理:梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几个 特殊点: 旁心、 费马点,欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换:对称、平移、 旋转。圆的幂和根轴。面积方法,复数方法,向量方法,解析几何方法。
2、2.代数 周期函数,带绝对值的函数。三角公式,三角恒等式,三角方程,三角不等式,反三角 函数。递归,递归数列及其性质,一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。 第二数学归纳法。平均值不等式, 柯西不等式, 排序不等式, 切比雪夫不等式,一元凸函数。 复数及其指数形式、三角形式,欧拉公式,棣莫弗定理,单位根。多项式的除法定理、因式 分解定理,多项式的相等,整系数多项式的有理根*,多项式的插值公式*。 n 次多项式根的个数,根与系数的关系,实系数多项式虚根成对定理。 函数迭代,简单的函数方程* 3. 初等数论 同余,欧几里得除法,裴蜀定理,完全剩余类,二次剩余,不定方程和方程组,高斯函 数x ,费
3、马小定理,格点及其性质,无穷递降法,欧拉定理*,孙子定理 *。 4.组合问题 圆排列,有重复元素的排列与组合,组合恒等式。组合计数,组合几何。抽屉原理。容 斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。 注:有 *号的内容加试中暂不考,但在冬令营中可能考。 二、初中数学竞赛大纲 1、数 整数及进位制表示法,整除性及其判定;素数和合数,最大公约数与最小公倍数;奇 数和偶数,奇偶性分析;带余除法和利用余数分类;完全平方数;因数分解的表示法,约数 个数的计算;有理数的概念及表示法,无理数,实数,有理数和实数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理;因式分解;拆项、添
4、项、配方、待定系数法;对称式和轮换对 称式;整式、分工、根式的恒等变形;恒等式的证明。 3、方程和不等式 含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法,一元二次方程根的分布;含绝对值 的一元一次方程、一元二次方程的解法;含字母系数的一元一次不等式的解法,一元二次不 等式的解法;含绝对值的一元一次不等式;简单的多元方程组;简单的不定方程(组)。 4、函数 二次函数在给定区间上的最值,简单分工函数的最值;含字母系数的二次函数。 5、几何 三角形中的边角之间的不等关系;面积及等积变换;三角形中的边角之间的不等关系; 面积及等积变换;三角形的心 (内心、 外心、 垂心、 重心) 及其性质; 相似形的概
5、念和性质; 圆,四点共圆,圆幂定理;四种命题及其关系。 6、逻辑推理问题 抽屉原理及其简单应用;简单的组合问题简单的逻辑推理问题,反证法; 极端原理的简 单应用;枚举法及其简单应用。 三、高中数学竞赛基础知识 第一章集合与简易逻辑 一、基础知识 定义 1 一般地,一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合,简称集,用大写字母 来表示; 集合中的各个对象称为元素,用小写字母来表示,元素x在集合A中,称x属于A, 记为Ax,否则称x不属于A,记作Ax。例如,通常用N,Z,Q,B,Q + 分别表示自 然数集、整数集、 有理数集、实数集、正有理数集, 不含任何元素的集合称为空集,用来 表示。集合分有
6、限集和无限集两种。 集合的表示方法有列举法:将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集 合的方法,如 1,2,3;描述法:将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。 例如 有理数 , 0xx分别表示有理数集和正实数集。 定义 2 子集:对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素, 则A叫做B的子集, 记为BA,例如ZN。规定空集是任何集合的子集,如果A是B 的子集,B也是A的子集,则称A与B相等。如果A是B的子集,而且B中存在元素不属 于A,则A叫B的真子集。 定义 3 交集,.BxAxxBA且 定义 4 并集,.BxAxxBA或 定义 5 补集,若
7、, 1 AxIxxACIA且则称为A在I中的补集。 定义 6 差集, ,BxAxxBA且 。 定义 7 集合,baRxbxax记作开区间),(ba,集合 ,baRxbxax记作闭区间,ba, R 记作).,( 定理 1 集合的性质:对任意集合A,B,C,有: (1));()()(CABACBA( 2))()()(CABACBA; (3));( 111 BACBCAC(4)).( 111 BACBCAC 【证明】这里仅证(1) 、 ( 3) ,其余由读者自己完成。 (1) 若)(CBAx,则Ax, 且Bx或Cx,所以)(BAx或)(CAx, 即)()(CABAx;反之,)()(CABAx,则)(
8、BAx或)(CAx, 即Ax且Bx或Cx,即Ax且)(CBx,即).(CBAx (3) 若BCACx 11 , 则ACx 1 或BCx 1 , 所以Ax或Bx, 所以)(BAx, 又Ix,所以)( 1 BACx,即)( 111 BACBCAC,反之也有 .)( 111 BCACBAC 定理 2 加法原理:做一件事有n类办法,第一类办法中有 1 m种不同的方法,第二类办法 中有 2 m种不同的方法,第n类办法中有 n m种不同的方法,那么完成这件事一共有 n mmmN 21 种不同的方法。 定理 3 乘法原理: 做一件事分 n个步骤, 第一步有 1 m种不同的方法, 第二步有 2 m种不同 的方
9、法,第n步有 n m种不同的方法,那么完成这件事一共有 n mmmN 21 种不 同的方法。 二、方法与例题 1利用集合中元素的属性,检验元素是否属于集合。 例 1 设 , 22 ZyxyxaaM,求证: (1))( ,12ZkMk; (2))( ,24ZkMk; (3)若MqMp,,则.Mpq 证明 (1)因为Zkk1,,且 22 ) 1(12kkk,所以.12Mk (2)假设)(24ZkMk,则存在Zyx,,使 22 24yxk,由于yx和yx 有相同的奇偶性,所以)( 22 yxyxyx是奇数或4 的倍数,不可能等于24k, 假设不成立,所以.24Mk (3)设Zbayxbaqyxp,
10、2222 ,则)( 2222 bayxpq 22222222 aybxbyaaMyaxbybxa 22 )()( (因为ZyaxbZyaxa,) 。 2利用子集的定义证明集合相等,先证BA,再证AB,则A=B。 例 2 设A,B是两个集合,又设集合M 满足 BAMBABAMBMA,,求集合 M (用A,B表示)。 【解】先证MBA)(, 若)(BAx, 因为BAMA, 所以MxMAx,, 所以MBA)(; 再证)(BAM,若Mx,则.BAMBAx1)若Ax,则 BAMAx;2)若Bx,则BAMBx。所以).(BAM 综上,.BAM 3分类讨论思想的应用。 例 3 02,01,023 222 m
11、xxxCaaxxxBxxxA,若 CCAABA,,求.,ma 【解】依题设,2,1A,再由01 2 aaxx解得1ax或1x, 因为ABA,所以AB,所以Aa1,所以11a或 2,所以2a或 3。 因为CCA,所以AC,若C,则 08 2 m,即2222m, 若C,则C1或C2,解得.3m 综上所述,2a或3a;3m或2222m。 4计数原理的应用。 例 4 集合A,B,C是I=1 ,2, 3,4,5,6,7,8,9,0的子集,(1)若IBA, 求有序集合对(A,B)的个数;(2)求I的非空真子集的个数。 【解】 (1)集合I可划分为三个不相交的子集;A B,B A,IBA,中的每个元素恰属于
12、 其中一个子集,10 个元素共有3 10 种可能,每一种可能确定一个满足条件的集合对,所以 集合对有 3 10 个。 (2)I的子集分三类:空集,非空真子集,集合I本身,确定一个子集分十步,第一步,1 或者属于该子集或者不属于,有两种;第二步,2 也有两种,第10 步, 0 也有两种, 由乘法原理,子集共有10242 10 个,非空真子集有1022 个。 5配对方法。 例 5 给定集合,3,2, 1nI的k个子集: k AAA, 21 ,满足任何两个子集的交集非 空,并且再添加I的任何一个其他子集后将不再具有该性质,求k的值。 【解】将I的子集作如下配对:每个子集和它的补集为一对,共得 1 2
13、 n 对,每一对不能同在 这k个子集中,因此, 1 2 n k;其次,每一对中必有一个在这k个子集中出现,否则,若 有一对子集未出现,设为C1A与A,并设 1 AA,则ACA 11 ,从而可以在k个子 集中再添加AC1,与已知矛盾,所以 1 2 n k。综上, 1 2 n k。 6竞赛常用方法与例问题。 定理 4 容斥原理;用 A表示集合A的元素个数,则,BABABA CBACBCABACBACBA,需要 xy此结论可 以推广到n个集合的情况,即 n i kji jinkji jii n i i AAAAAAA 111 .)1( 1 1 n i i n A 定义 8 集合的划分:若 IAAA
14、n21 ,且 ),1 (jinjiAA ji ,则 这些子集的全集叫I的一个n-划分。 定理 5 最小数原理:自然数集的任何非空子集必有最小数。 定理 6 抽屉原理:将1mn个元素放入)1(nn个抽屉,必有一个抽屉放有不少于1m 个元素,也必有一个抽屉放有不多于m个元素;将无穷多个元素放入n个抽屉必有一个抽 屉放有无穷多个元素。 例 6 求 1,2, 3, 100 中不能被2, 3,5 整除的数的个数。 【解】记)2(2,1001,100, 3, 2, 1xxxxAI记为整除能被且, 5,1001,3 ,1001xxxCxxxB,由容斥原理, 3 100 2 100 CBAACCBBACBAC
15、BA 74 30 100 15 100 10 100 6 100 5 100 ,所以不能被2,3,5 整除的数有 26CBAI个。 例 7 S是集合 1,2,2004 的子集, S 中的任意两个数的差不等于4 或 7,问 S 中最 多含有多少个元素? 【解】将任意连续的11 个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至多有 一个属于 S,将这 11 个数按连续两个为一组,分成6 组,其中一组只有一个数,若S 含有 这 11 个数中至少6 个,则必有两个数在同一组,与已知矛盾, 所以 S 至多含有其中5 个数。 又因为 2004=182 11+2 ,所以S 一共至多含有182 5+2=
16、912 个元素,另一方面,当 ,2004,10,7 ,4,2 , 1,11NkrttkrrS时,恰有912S,且 S 满足题目条件, 所以最少含有912 个元素。 例8求所有自然数)2(nn,使得存在实数 n aaa, 21 满足: . 2 )1( ,2, 11 nn njiaa ji 【解】当2n时,1, 0 21 aa;当3n时,3, 1,0 321 aaa;当4n时, 1,5,2,0 4321 aaaa。下证当5n时,不存在 n aaa, 21 满足条件。 令 n aaa 21 0,则. 2 )1(nn an 所以必存在某两个下标ji,使得1njiaaa,所以 111 1 nnn aaa
17、a或 2 1aaa nn ,即1 2 a,所以1, 2 ) 1( 1nnn aa nn a或 2 )1(nn an, 1 2 a。 ()若1, 2 )1( 1nnn aa nn a,考虑 2na,有22nnaa或22aaann, 即2 2 a,设2 2nn aa,则 121nnnn aaaa,导致矛盾,故只有.2 2 a 考虑 3 n a,有 2 3 nn aa或 3 3aaa nn ,即3 3 a,设 2 3 nn aa,则 0221 2aaaa nn ,推出矛盾, 设 3 3 a,则 231 1aaaa nn ,又推出矛盾, 所以4, 22 naan故当5n时,不存在满足条件的实数。 ()
18、若1, 2 ) 1( 2 a nn an,考虑2 na ,有 12nnaa 或 32aaann ,即 2 3 a, 这时 1223 aaaa, 推出矛盾, 故2 1nn aa。 考虑3 n a, 有 2 3 nn aa 或 nn aa3 3 a,即 3 a=3 ,于是 123nn aaaa,矛盾。因此3 2nn aa,所 以 1221 1aaaa nn ,这又矛盾,所以只有 22 aan,所以4n。故当5n时, 不存在满足条件的实数。 例 9 设A=1 ,2,3,4,5,6,B=7 ,8,9,n,在A中取三个数,B中取两个 数组成五个元素的集合 i A,.201 ,2,20,2, 1jiAAi
19、ji求n的最小值。 【解】.16 min n 设B中每个数在所有 i A中最多重复出现k次,则必有4k。若不然,数m出现k次 (4k) ,则.123k在m出现的所有 i A中,至少有一个A中的数出现3 次,不妨设它 是 1, 就有集合 1, 121 ,bmaa, 1, 1 365243 bmaabmaa, 其中61 ,iAai, 为满足题意的集合。 i a必各不相同,但只能是2,3,4,5,6 这 5 个数,这不可能,所以 .4k 20 个 i A中,B中的数有40 个,因此至少是10 个不同的,所以16n。当16n时,如 下 20 个集合满足要求: 1,2,3,7,8,1,2,4,12 ,1
20、4 ,1,2,5,15 ,16 ,1,2,6,9,10 , 1, 3,4,10, 11 , 1,3,5,13 ,14 ,1,3,6,12 ,15 ,1 ,4,5,7,9, 1,4,6,13,16 , 1,5,6,8,11 ,2,3,4,13,15 ,2,3,5,9,11 , 2,3,6,14 ,16 , 2,4,5,8,10 ,2,4,6,7,11 ,2,5,6,12 ,13 , 3,4,5,12,16 , 3,4,6,8,9,3,5,6,7,10 ,4,5,6,14 ,15 。 例 10 集合 1,2,3n可以划分成n个互不相交的三元集合,zyx,其中zyx3, 求满足条件的最小正整数. n
21、 【解】设其中第i个三元集为,2, 1,nizyx ii 则 1+2+ n i i zn 1 ,43 所以 n i i z nn 1 4 2 )13(3 。当n为偶数时, 有 n38 ,所以8n,当n为奇数时, 有 138 n , 所以5n,当5n时,集合 1,11 ,4,2, 13,5,3, 15,6,9,12 ,7,10 , 14 ,8满足条件,所以n的最小值为5。 第二章二次函数与命题 一、基础知识 1二次函数:当a0 时,y=ax2+bx+c或f(x)=ax 2+ bx+c称为关于x的二次函数,其对 称轴为直线x=- a b 2 ,另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0),其
22、中x0=- a b 2 ,下同。 2二次函数的性质:当a0 时,f(x)的图象开口向上,在区间(-,x0上随自变量x增大 函数值减小(简称递减) ,在x0, -)上随自变量增大函数值增大(简称递增)。当a0 时, 方程f(x)=0 即ax2+bx+c=0 和不等式ax2+bx+c0 及ax2+bx+c0 时,方程有两个不等实根,设x1,x2(x1x2和x|x10 ,当x=x0时,f(x)取最小值f(x0)= a bac 4 4 2 ,若a0) ,当x0m, n时,f(x)在m, n上的最小值为f(x0); 当x0n时,f(x)在m, n上的最小值为f(n)(以上结论由二次 函数图象即可得出)
23、。 定义 1 能判断真假的语句叫命题,如“35 ”是命题,“萝卜好大”不是命题。不含逻辑 联结词“或”、 “且”、 “非”的命题叫做简单命题,由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复 合命题。 注 1 “p或q”复合命题只有当p,q同为假命题时为假,否则为真命题;“p且q”复合 命题只有当p,q同时为真命题时为真,否则为假命题;p与“非p”即“p”恰好一真一 假。 定义 2 原命题:若p则q(p为条件,q为结论);逆命题:若q则p;否命题:若非p 则q;逆否命题:若非q则非p。 注 2 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。 注 3 反证法的理论依据是矛盾的排中律,而未必是证明
24、原命题的逆否命题。 定义 3 如果命题 “若p则q”为真,则记为pq否则记作pq.在命题 “若p则q”中, 如果已知pq,则p是q的充分条件;如果qp,则称p是q的必要条件;如果pq 但q不p,则称p是q的充分非必要条件;如果p不q但pq,则p称为q的必 要非充分条件;若pq且qp,则p是q的充要条件。 二、方法与例题 1待定系数法。 例 1 设方程x 2-x+1=0 的两根是 , ,求满足f( )= ,f( )= ,f(1)=1的二次函数f(x). 【解】设f(x)=ax2+bx+c(a0), 则由已知f( )= ,f( )= 相减并整理得( - ) ( + )a+b+1=0 , 因为方程x
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