高中数学选修2-2全套知识点及练习答案解析.pdf
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1、第 1 页 共 36 页 选修 2-2 知识点及习题答案解析 导数及其应用 一.导数概念的引入 1.导数的物理意义: 瞬时速率。一般的,函数 ( )yf x 在 0 xx 处的瞬时变化率是 00 0 ()() lim x f xxf x x , 我 们 称它 为 函 数( )yf x在 0 xx处 的 导数 , 记 作 0 ()fx或 0 |x x y,即 0 ()fx= 00 0 ()() lim x f xxf x x 2.导数的几何意义: 曲线的切线 .通过图像 ,我们可以看出当点 n P趋近于P时,直线PT与曲线相切。容易知道,割线 n PP 的 斜率是 0 0 ()() n n n
2、f xf x k xx ,当点 n P趋近于P时,函数( )yf x 在 0 xx 处的导数就是切线PT 的斜率 k,即 0 0 0 0 ()() lim() n x n f xf x kfx xx 3.导函数: 当 x 变化时, ( )fx 便是 x 的一个函数, 我们称它为 ( )f x 的导函数 . ( )yf x 的导函数有时 也记作y,即 0 ()( ) ( )lim x f xxf x fx x 二.导数的计算 基本初等函数的导数公式: 1 若 ( )f xc(c 为常数 ),则( )0fx ;2 若 ( )f xx ,则 1 ( )fxx; 3 若 ( )sinf xx,则( )
3、cosfxx 4 若 ( )cosf xx,则( )sinfxx; 5 若 ( ) x f xa,则( )ln x fxaa 6 若 ( ) x f xe ,则 ( ) x fxe 7 若( )log x a f x ,则 1 ( ) ln fx xa 8 若( )lnf xx,则 1 ( )fx x 导数的运算法则 1. ( )( )( )( )f xg xfxgx 2. ( )( )( )( )( )( )f xg xfxg xf xg x 第 2 页 共 36 页 3. 2 ( )( )( )( )( ) ( ) ( ) f xfxg xf xg x g xg x 复合函数求导( )yf
4、 u 和( )ug x,称则y可以表示成为 x的函数 ,即( )yf g x 为一个复合函数 ( )( )yfg xgx 三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 一般的 ,函数的单调性与其导数的正负有如下关系:在某个区间 ( , )a b 内 (1)如果 ( )0fx ,那么函数 ( )yf x 在这个区间单调递增;(2) 如果 ( )0fx ,那么函数 ( )yf x 在这 个区间单调递减 . 2.函数的极值与导数 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数( )yf x 的极值的方法是:(1)如果在 0 x附近的左侧( )0fx,右侧( )0fx,那么 0 ()f x
5、是极大值 (2)如果在 0 x附近的左侧 ( )0fx ,右侧( )0fx,那么 0()f x 是极小值 ; 4.函数的最大 (小)值与导数 求函数 ( )yf x 在 , a b 上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数 ( )yf x 在( , ) a b 内的极值; (2)将函数( )yf x 的各极值与端点处的函数值( )fa,( )f b比较,其中最大的是一个最大值,最小的 是最小值 . 推理与证明 考点一合情推理与类比推理 根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推 理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理 根据两类不同事物之间具有
6、某些类似(或一致 )性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的 推理 ,叫做类比推理 . 类比推理的一般步骤: (1)找出两类事物的相似性或一致性; (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想 ); (3)一般的 ,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同 或相似 ,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的. (4)一般情况下 ,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越 可靠 . 考点二演绎推理 (俗称三段论 ) 由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎
7、推理. 考点三数学归纳法 1.它是一个递推的数学论证方法. 2.步骤 :A.命题在 n=1 (或 0 n)时成立,这是递推的基础;B.假设在 n=k时命题成立;C.证明 n=k+1 第 3 页 共 36 页 时命题也成立 , 完成这两步 ,就可以断定对任何自然数(或 n= 0 n,且nN)结论都成立。 考点三证明 1.反证法 : 2、分析法 : 3、综合法 : 数系的扩充和复数的概念 复数的概念 (1)复数 :形如(,)abi aR bR的数叫做复数,a和b分别叫它的实部和虚部. (2)分类 :复数(,)abi aR bR中,当0b,就是实数 ; 0b,叫做虚数 ;当 0,0ab 时,叫做纯虚
8、数 . (3)复数相等 :如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等. (4)共轭复数 :当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数. (5)复平面 :建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴, y 轴除去原点的部分叫做虚轴。 (6)两个实数可以比较大小,但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。 复数的运算 1.复数的加,减,乘,除按以下法则进行 设 12 ,( , , ,)zabi zcdi a b c dR则 ( 1 ) 12 ()()zzacbd i ( 2 ) 12 ()()zzacbdadbc i ( 3 ) 1 2 22 2 ()() (0)
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