专题06导数的几何意义—三年高考(2015-2017)数学(理)真题分项版解析(解析版).pdf
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1、专业文档 珍贵文档 1. 【 2016 高考山东理数】若函数( )yfx的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处 的切线互相垂直,则称()yfx具有 T性质 .下列函数中具有T 性质的是() (A)sinyx(B)lnyx(C) e x y(D) 3 yx 【答案】 A 【解析】 试题分析: 由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知,存在两点处的切线斜率的积,即导 函数值的乘积为负一. 当 sinyx时,cosyx,有cos0 cos 1,所以在函数 sinyx 图象存在两点 0,xx使条件成立, 故 A 正确; 函数 3 ln, x yx yeyx 的导数值均非负,不符合 题意,故选A 考点
2、: 1.导数的计算; 2.导数的几何意义. 2. 【 2016 年高考四川理数】设直线l1,l2分别是函数f(x)= ln ,01, ln ,1, xx x x 图象上点P1, P2处的切线, l1与 l2垂直相交于点 P,且 l1,l2分别与 y 轴相交于点A,B,则 PAB 的面积 的取值范围是 ( ) ( A)(0,1) (B)(0,2) (C)(0,+) (D)(1,+) 【答案】 A 【解析】 试题分析: 设 111222 ,ln,lnP xxP xx(不妨设 12 1,01xx) ,则由导数的几何意 专业文档 珍贵文档 义易得切线 12 ,ll的斜率分别为 12 12 11 ,.k
3、k xx 由已知得 1 2122 1 1 1,1,.k kx xx x 切线 1 l的方程分别为 11 1 1 lnyxxx x ,切线 2l 的 方程为 22 2 1 lnyxxx x ,即 11 1 1 lnyxxx x . 分别令0x得 11 0,1ln,0,1ln.AxBx又 1 l与 2l 的交点为 2 11 1 22 11 21 , ln 11 xx Px xx , 1 1x, 2 11 22 11 211 1 211 PABABP xx Syyx xx ,01 PAB S故选 A 考点:1. 导数的几何意义; 2. 两直线垂直关系; 3. 直线方程的应用;4. 三角形面积取值范围
4、. 3. 【2016 高考新课标3 理数】已知fx为偶函数,当0x时, ( )ln()3fxxx,则 曲线yfx 在点 (1, 3)处的切线方程是 _ 【答案】 21yx 【解析】 试题分析:当0x时,0x,则 ()ln3fxxx又因为( )fx 为偶函数,所以 ( )()ln3fxfxxx,所以 1 ( )3fx x ,则切线斜率为(1)2f,所以切线方程 为 32(1)yx ,即 21yx 考点: 1、函数的奇偶性与解析式;2、导数的几何意义 【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当0x时,函数 ( )yf x ,则当0x时,求函数 的解析式” 有如下结论: 若函数 ()fx 为偶函数,则当0
5、x时, 函数的解析式为 ( )yf x ; 若 ( )fx 为奇函数,则函数的解析式为 ()yfx 4. 【 2014 广东理 10】曲线2 5x ey在点0,3处的切线方程为. 专业文档 珍贵文档 【答案】53yx或530xy. 【解析】 5 5 x ye,所求切线的斜率为55ye, 故所求切线的方程为35yx,即53yx或530xy. 【考点定位】本题考查利用导数求函数图象的切线问题,属于容易题. 【名师点晴】 本题主要考查的是导数的几何意义和直线的方程,属于容易题 解题时一定要 抓住重要字眼“在点0,3处” ,否则很容易出现错误解导数的几何意义问题时一定要抓 住切点的三重作用: 切点在曲
6、线上; 切点在切线上; 切点处的导数值等于切线的斜率 5. 【 2014 江苏理 11】在平面直角坐标系xoy中,若曲线 2b yax x (,a b为常数)过点 (2,5)P,且该曲线在点P处的切线与直线7230xy平行,则ab. 【答案】3 【解析】曲线 2 b yax x 过点 (2,5)P,则45 2 b a,又 2 2 b yax x ,所以 7 4 42 b a,由解得 1, 2, a b 所以 3ab 【考点定位】导数与切线斜率 6. 【 2017 山东,理20】已知函数,其中 是自然对数的底数. ()求曲线在点, f 处的切线方程; ()令,讨论的单调性并判断有无极值,有极值时
7、求出极 值. 【答案】(). 专业文档 珍贵文档 ()综上所述:当时,在上单调递减,在上单调递增, 函数有极小值,极小值是; 当时, 函数在和和上单调递增, 在上单调递减, 函数有极大值,也有极小值, 极大值是 极小值是; 当时,函数在上单调递增,无极值; 当时,函数在和上单调递增, 在上单调递减,函数有极大值,也有极小值, 极大值是; 极小值是. 【解析】试题分析: ()求导数得斜率,由点斜式写出直线方程. 试题解析:()由题意 又, 专业文档 珍贵文档 所以, 因此曲线在点处的切线方程为 , 即. ()由题意得 2 ()(cossin22)(2 cos) x h xexxxa xx , 因
8、为 , 令则所以在上单调递增 .因为(0)0,m 所以当时, ( )0,m x 当0x时, (1)当时,当时,单调递减,当时, 单调递增, 所以当时取得极小值,极小值是; (2)当时,由得, 当时,当时,单调递增; 当时,单调递减; 当时,单调递增 . 所以当时取得极大值 . 专业文档 珍贵文档 当时, 所以当时,单调递增; 当时,单调递减; 当时,单调递增; 所以当时取得极大值,极大值是; 当时取得极小值 . 极小值是. 综上所述: 当时,在上单调递减,在上单调递增, 专业文档 珍贵文档 当时,函数在上单调递增,无极值; 当时,函数在和上单调递增, 在上单调递减,函数有极大值,也有极小值,
9、极大值是; 极小值是. 【考点】 1.导数的几何意义.2.应用导数研究函数的单调性、极值.3.分类讨论思想 . 力、基本计算能力、分类讨论思想等。 7. 【 2017 北京,理19】已知函数()ecos x fxxx ()求曲线( )yf x在点(0,(0)f处的切线方程; ()求函数 ()fx 在区间 0, 2 上的最大值和最小值 【答案】 ()1y;()最大值1;最小值 2 . 【解析】 试 题 分 析 : ( ) 根 据 导 数 的 几 何 意 义 , 求 斜 率 再 代 入 切 线 方 程 公 式 000yffx;()设h xfx,求h x ,根据0hx确定函数 h x的单调性,根据单
10、调减求函数的最大值00h,可以知道0h xfx恒成 立,所以函数fx是单调递减函数,根据单调性求最值. 试题解析:()因为()ecos x fxxx,所以()e (cossin)1,(0)0 x fxxxf . 又因为(0)1f,所以曲线( )yf x在点(0,(0)f处的切线方程为1y . ()设()e (cossin)1 x hxxx ,则 专业文档 珍贵文档 ()e (cossinsincos)2esin xx hxxxxxx. 当 (0,) 2 x时,( )0h x, 所以( )h x在区间 0, 2 上单调递减 . 所以对任意 (0, 2 x有( )(0)0h xh,即()0fx.
11、所以函数( )fx在区间 0, 2 上单调递减 . 因此( )fx在区间 0, 2 上的最大值为(0)1f,最小值为 () 22 f. 【考点】 1.导数的几何意义;2.利用导数求函数的最值. 【名师点睛】 这道导数题并不难,比一般意义上的压轴题要简单很多,第二问比较有特点是 需要求二阶导数,因为fx不能判断函数的单调性,所以需要再求一次导数,设 h xfx,再求hx,一般这时就可求得函数 h x的零点,或是h x恒成立,这 样就能知道函数h x的单调性,根据单调性求最值,从而判断yfx的单调性,求得 最值 . 8. 【 2016 年高考北京理数】 (本小题13 分) 设函数 () ax fx
12、xebx ,曲线( )yf x在点(2,(2)f处的切线方程为(1)4yex, (1)求a,b的值; (2)求 ()fx 的单调区间 . 【答案】()2a,be; (2) )(xf 的单调递增区间为 (,) . 【解析】 的单调区间。 试题解析:( 1)因为 bxxexf xa )(,所以bexxf xa )1()(. 依题设, , 1)2( ,22)2( ef ef 即 , 1 ,2222 2 2 ebe ebe a a 解得eba,2 ; (2)由()知 exxexf x2 )(. 专业文档 珍贵文档 由 )1()( 12xx exexf 即0 2x e知,)( xf与 1 1 x ex同
13、号 . 令 1 1)( x exxg ,则 1 1)( x exg . 所以,当)1 ,(x时,0)(xg,)(xg在区间)1 ,(上单调递减; 当), 1(x时,0)(xg,)( xg在区间), 1(上单调递增 . 故 1) 1(g 是 )(xg 在区间 ),( 上的最小值, 从而 ),(, 0)(xxg . 综上可知, 0)(xf , ),(x ,故 )( xf 的单调递增区间为 ),( . 考点:导数的应用. 【名师点睛】 用导数判断函数的单调性时,首先应确定函数的定义域,然后在函数的定义域 内,通过讨论导数的符号,来判断函数的单调区间在对函数划分单调区间时,除了必须确 定使导数等于0
14、的点外,还要注意定义区间内的间断点 9. 【 2014 福建 ,理 20】 (本小题满分14 分) 已知函数axexf x (a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线xfy在点A 处 的切线斜率为-1. (I)求a的值及函数 xf 的极值; (II)证明:当0x时, x ex 2 ; (III )证明:对任意给定的正数c,总存在 0 x,使得当, 0 xx,恒有 x cex 2 . 【答案】(I)2a,极值参考解析;(II)参考解析 ;(III )参考解析 【解析】 试题分析:(I)由函数axexf x (a为常数) 的图象与y轴交于点A,曲线xfy 在点A处 的切线斜率为-1.所以求函数 xf
15、的导数 ,即可求出a的值 .再根据函数 xf 的导数地 正负 ,即可得函数 xf 的极值 . 专业文档 珍贵文档 试题解析: 解法一 : (I) 由( ) x f xeax, 得 () x fxea.又(0)11fa,得2a. 所以 ()2,()2 xx fxexfxe.令( )0fx,得ln2x.当ln2x时,( )0,( )fxf x 单调递减 ;当ln 2x时, ( )0,( )fxf x 单调递增 .所以当ln2x时, ()fx 取得极小值 ,且极 小值为 ln 2 (ln 2)2 ln 22ln 4,()fefx 无极大值 . (II )令 2 () x gxex,则()2 x gx
16、ex.由( I)得( )( )(ln 2)0gxfxf,故()g x 在 R 上单调递增 ,又 (0)10g ,因此 ,当0x时 , ( )(0)0g xg ,即 2x xe. (III )若1c,则 xx ece.又由( II)知,当0x时, 2x xe.所以当0x时, 2x xce. 取 0 0x,当 0 ( ,)xx 时,恒有 22 xcx. 若01c,令 1 1k c ,要使不等式 2x xce成立,只要 2x ekx成立 .而要使 2x ekx 成立,则只要 2 ln()xkx,只要 2lnlnxxk成立 .令( )2lnlnh xxxk,则 22 ( )1 x hx xx .所以当
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