九年级数学第2讲二次函数探究—二次函数与等腰三角形的综合问题教案.pdf
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1、1 二次函数与等腰三角形的综合问题 知识点二次函数综合;等腰三角形的性质与判定;相似三角形的性质; 教学目标 1.熟练运用所学知识解决二次函数综合问题 2灵活运用数形结合思想 教学重点巧妙运用数形结合思想解决综合问题; 教学难点灵活运用技巧及方法解决综合问题; 知识讲解 考点 1 二次函数的基础知识 1. 一般地,如果y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数且 a0) ,那么 y 叫做 x 的二次函数,它是关于自变量 的二次式,二次项系数必须是非零实数时才是二次函数,这也是判断函数是不是二次函数的重要依据当 b=c=0 时,二次函数y=ax 2 是最简单的二次函数 2. 二次函数y=ax 2
2、+bx+c(a,b,c 是常数, a0)的三种表达形式分别为:一般式: y=ax 2+bx+c,通常 要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式;顶点式:y=a(xh) 2+k,通常要知道顶点坐标或对 称轴才能求出此解析式;交点式:y=a( xx1) (xx2) ,通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标x1,x2 才能求出此解析式;对于y=ax 2+bx+c 而言,其顶点坐标为( 2 b a , 2 4 4 acb a ) 对于 y=a(x h) 2+k 而言其顶点坐标为(h,k) ,?由于二次函数的图像为抛物线,因此关键要抓住抛物线的三要素:开口 方向,对称轴,顶点 考点 2 等腰三角形的性质
3、 1. 等腰三角形的两个底角度数相等(简写成“等边对等角”)。 2. 等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高重合(简写成“等腰三角形的三线合一性 质”)。 3. 等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等)。 4. 等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。 5. 等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。 6. 等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)。 7. 等腰三角形是轴对称图形,(不是等边三角形的情况下)只有一条对称轴,顶角平分线所在的直线 是它的对称轴,等边三角形有三条对称轴。 8. 等腰三角形中腰的
4、平方等于高的平方加底的一半的平方 9. 等腰三角形的腰与它的高的直接的关系是:腰大于高。 间接的关系是: 腰的平方等于高的平方加底的 一半的平方。 考点 3 探究等腰三角形的一般思路 探究等腰三角形的存在性问题时,具体方法如下: (1)假设结论成立; (2)找点:当所给定长未说明是等腰的底还是腰时,需分情况讨论,具体方法如下: 当定长为腰时,找已知直线上满足条件的点时,以定长的某一端点为圆心,以定长为半径画弧,若所 画弧与数轴或抛物线有交点且交点不是定长的另一端点时,交点即为所求的点;若所画弧与数轴或抛物 线无交点或交点是定长的另一端点时,满足条件的点不存在; 2 当定长为底边时, 根据尺规作
5、图作出定长的垂直平分线,若作出的垂直平分线与数轴或抛物线有交点, 则交点即为所求的点,若作出的垂直平分线与数轴或抛物线无交点,则满足条件的点不存在。 以上方法即可找出所有符合条件的点; (3)计算:在求点坐标时,大多时候利用相似三角形求解,如果图形中没有相似三角形,可以通过添 加辅助 线构造相似三角形,有时也可利用直角三角形的性质进行求解。 3 例题精析 例 1如图,抛物线y- x 2+ x-4与 x 轴相交于点、,与y 轴相交于点,抛物线的对称轴 与 x 轴相交于点。是抛物线在x 轴上方的一个动点(点、不在同一条直线上)。分别过点 、作直线的垂线,垂足分别为、,连接、。 (1)求点、的坐标(
6、直接写出结果),并证明是等腰三角形; (2)能否为等腰直角三角形?若能,求此时点的坐标,若不能,说明理由; (3)若将“是抛物线在x 轴上方的一个动点(点、不在同一条直线上)”改为“是抛物 线在 x 轴下方的一个动点”,其他条件不变, 能否为等腰直角三角形?若能,求此时点的坐 标(直接写出结果),若不能,说明理由。 4 例 2 如图,已知抛物线y=x 2+bx+4 与 x 轴相交于 A、B两点,与 y 轴相交于点C,若已知 A点的坐标 为 A( 2, 0) (1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程; (2)求点 C的坐标,连接AC 、BC并求线段BC所在直线的解析式; (3)试判断 AOC与CO
7、B是否相似?并说明理由; (4) 在抛物线的对称轴上是否存在点Q, 使ACQ为等腰三角形?若不存在,求出符合条件的Q点坐标; 若不存在,请说明理由 5 例 3 如图,已知抛物线y=ax 2+bx+c 与 x 轴的一个交点为 A(3,0) ,与 y 轴的交点为B (0,3) ,其顶点 为 C,对称轴为x=1 (1)求抛物线的解析式; (2)已知点M为 y 轴上的一个动点,当 ABM 为等腰三角形时,求点M的坐标; (3)将 AOB沿 x 轴向右平移m个单位长度( 0 m 3)得到另一个三角形,将所得的三角形与ABC 重叠部分的面积记为S,用 m的代数式表示S 6 例 4 在平面直角坐标系xOy
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