精修版高中数学人教A版选修4-1学案:第二讲 知识归纳与达标验收 Word版含解析.doc
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1、精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理对应学生用书P35近两年高考中,主要考查圆的切线定理,切割线定理,相交弦定理,圆周角定理以及圆内接四边形的判定与性质等题目难度不大,以容易题为主对于与圆有关的比例线段问题通常要考虑利用相交弦定理、割线定理、切割线定理、相似三角形的判定和性质等;弦切角是沟通圆内已知和未知的桥梁,它在解决圆内有关等角问题中可以大显身手;证明四点共圆也是常见的考查题型,常见的证明方法有:到某定点的距离都相等;如果某两点在一条线段的同侧时,可证明这两点对该线段的张角相等;证明凸四边形的内对角互补(或外角等于它的内对角)等1(湖南高考)
2、如图,已知AB,BC是O的两条弦,AOBC,AB,BC2,则O的半径等于_解析:设AO,BC的交点为D,由已知可得D为BC的中点,则在直角三角形ABD中,AD1,设圆的半径为r,延长AO交圆O于点E,由圆的相交弦定理可知BDCDADDE,即()22r1,解得r.答案:2.(新课标全国卷)如图,P是O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与O相交于点B,C,PC2PA,D为PC的中点,AD的延长线交O于点E.证明:(1)BEEC;(2)ADDE2PB2.证明:(1)连接AB,AC.由题设知PAPD,故PADPDA.因为PDADACDCA,PADBADPAB,DCAPAB,所以DACBAD,从而
3、.因此BEEC. (2)由切割线定理得PA2PBPC.因为PAPDDC,所以DC2PB,BDPB.由相交弦定理得ADDEBDDC,所以ADDE2PB2.3(新课标全国卷)如图,CD为ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点,且BCAEDCAF,B,E,F,C四点共圆(1)证明:CA是ABC外接圆的直径;(2)若DBBEEA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值. 解:(1)证明:因为CD为ABC外接圆的切线,所以DCBA,由题设知,故CDBAEF,所以DBCEFA.因为B,E,F,C四点共圆,所以CFEDBC,故EFACFE90.所
4、以CBA 90,因此CA是ABC外接圆的直径(2)连接CE,因为CBE90,所以过B,E,F,C四点的圆的直径为CE.由BDBE,有CEDC.又BC2DBBA2DB2,所以CA24DB2BC26DB2.而DC2DBDA3DB2,故过B,E,F,C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值为.对应学生用书P35圆内接四边形的判定与性质圆内接四边形是中学教学的主要研究问题之一,近几年各地的高考选做题中常涉及圆内接四边形的判定和性质例1已知四边形ABCD为平行四边形,过点A和点B的圆与AD、BC分别交于E、F.求证:C、D、E、F四点共圆证明连接EF,因为四边形ABCD为平行四边形,所以BC180.因为
5、四边形ABFE内接于圆,所以BAEF180.所以AEFC.所以C、D、E、F四点共圆例2如图,ABCD是O的内接四边形,延长BC到E,已知BCDECD32,那么BOD等于()A120B136C144 D150解析由圆内接四边形性质知ADCE,而BCDECD32,且BCDECD180,ECD72.又由圆周角定理知BOD2A144.答案C直线与圆相切直线与圆有三种位置关系,即相交、相切、相离;其中直线与圆相切的位置关系非常重要,结合此知识点所设计的有关切线的判定与性质、弦切角的性质等问题是高考选做题热点之一,解题时要特别注意例3如图,O是RtABC的外接圆,ABC90,点P是圆外一点,PA切O于点
6、A,且PAPB.(1)求证:PB是O的切线;(2)已知PA,BC1,求O的半径解(1)证明:如图,连接OB.OAOB,OABOBA.PAPB,PABPBA.OABPABOBAPBA,即PAOPBO.又PA是O的切线,PAO90.PBO90.OBPB.又OB是O半径,PB是O的切线(2)连接OP,交AB于点D.如图PAPB,点P在线段AB的垂直平分线上OAOB,点O在线段AB的垂直平分线上OP垂直平分线段AB.PAOPDA90.又APOOPA,APODPA.AP2PODP.又ODBC,PO(POOD)AP2.即PO2PO()2,解得PO2.在RtAPO中,OA1,即O的半径为1.与圆有关的比例线
7、段圆的切线、割线、相交弦可以构成许多相似三角形,结合相似三角形的性质,又可以得到一些比例式、乘积式,在解题中,多联系这些知识,能够计算或证明角、线段的有关结论例4如图,A,B是两圆的交点,AC是小圆的直径,D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点,已知AC4,BE10,且BCAD,求DE的长解设CBADx,则由割线定理得:CACDCBCE,即4(4x)x(x10),化简得x26x160,解得x2或x8(舍去),即CD6,CE12.连接AB,因为CA为小圆的直径,所以CBA90,即ABE90,则由圆的内接四边形对角互补,得D90,则CD2DE2CE2,所以62DE2122,所以DE6.例5AB
8、C中,ABAC,以AB为直径作圆,交BC于D,O是圆心,DM是O的切线交AC于M(如图)求证:DC2ACCM.证明连接AD、OD.AB是直径,ADBC.OAOD,BADODA.又ABAC,ADBC,BADCAD.则CADODA,ODAC.DM是O切线,ODDM.则DMAC,DC2ACCM.对应学生用书P43(时间:90分钟,满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,满分50分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1圆内接四边形的4个角中,如果没有直角,那么一定有()A2个锐角和2个钝角 B1个锐角和3个钝角C1个钝角和3个锐角 D都是锐角或都是钝角解析:由于圆内接
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