6.4特征根与特征向量.ppt
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1、6.4 特征根与特征向量,授课题目:6.4 特征根与特征向量 授课时数:4学时 教学目标:掌握特征根与特征向量的定义、 性质与求法 教学重点:特征根与特征向量的定义与性质 教学难点:特征根与特征向量的求法,对n维线性空间V的线性变换,能否在它 所对应的相似矩阵类中找到一个最简单的矩阵 对角矩阵来表示换句话说,能否在V中找 到一个基1,2,n,使在这个基下 的矩阵是对角形,一. 特征根与特征向量的定义与例子,1. 一个问题,即有 (1),(2),(n) (1,2,n),由上面的分析可知,要寻找这样的基(如果有的 话),首先要寻找满足条件()=,和非零向量,的数,定义1 设是数域F上线性空间V的一
2、个线性变 换如果对应F中的一个数,存在V中的非零向 量,使得()= (1) 那么就叫做的一个特征根(值),而叫做 的属于特征根的一个特征向量,2. 特征根与特征向量的定义,其中(1)式的几何意义是:特征向量与它在 下的象()保持在同一直线L()上,,0时,()= 0,量,则当1+20时,1+2也是的属于 特征根,的特征向量因为,设 是的特征根,存在如下基本事实:,= (1+2),(1+2)=(1)+(2),3. 几个基本事实,的特征向量,这是因为k0,且,任意kF,k0,k也是的属于特征根,3)一个特征向量只能属于一个特征值 事实上,设0是的属于特征值,记为V.V=,的全部特征向量再添上零向量
3、组成V 的一个子集,它对V的加法和数量乘法作成V的一个子空间,无限多个向量.但我们只要求出V的一个基.,V就被确定了,4. 几个例子,二. 特征根与特征向量的求法,直接由定义来求线性变换的特征值与特征向 量往往是困难的,我们可用线性变换的矩阵来解 决这个问题 设V是数域F上的n维线性空间,取定它的基 1,2,n,令线性变换在这个 基下的矩阵是A(aij).,如果k11+ k22+ knn是线性变换的 属于特征根,的一个特征向量,那么,,1. 问题的转化,()关于基1,2,n的坐标是,而的坐标是,这样,就有,或,这说明特征向量的坐标(k1,k2,kn)是 齐次线性方程组,(2),的非零解从而(2
4、)的系数行列式为,反过来,如果F,满足等式(3),则齐次线 性方程组(2)有非零解(k1,k2,kn), k11+ k22+ knn满足等式(1),,是的一个特征根,就是的属于特征根,的特征向量,由上面的分析,可以得到以下的结论 1),1,2,n下的坐标正好构成齐次 线性方程组(,F是的特征根的充分必要条件是它满足,I-A)X=0的在F上的解空间,方程(3);,一个基1,2,n可由齐次线性方,1,2,n给出.,(其中i=(1,2,n)i, i=1,2, ,r).,2. 矩阵的特征多项式与特征根,定义3 设A=(aij)是数域F上的一个n阶矩阵, 行列式,叫做矩阵A的特征多项式fA(x)在C内的
5、根叫做 矩阵A的特征根,设0C是矩阵A的特征根,而x0Cn是一个 非零的列向量,使Ax0=0 x0 , 就是说,x0是齐 次线性方程组(0I-A)X=0的一个非零解 我们称x0是矩阵A的属于特征根0的特征向量,(1)如果关于某个基的矩阵是A,那么的特 征根一定是A的特征根,但A的特征根却不一定 是的特征根,A的n个特征根中属于数域F的数 才是的特征根; (2)的特征向量是V中满足(1)式的非零向 量,而A的特征向量是Cn中的满足 Ax0=,x0的非零列向量x0;,3. 线性变换的特征根与矩阵的特征根的关系,现在把求线性变换的特征根和特征向量的步 骤归纳如下: 1)在线性空间V中取一个基 1,2
6、,n, 求出在这个基下的矩阵A;,(3)若F是A的特征根,则A的Fn中属于,定基的坐标,4. 线性变换的特征根与特征向量的求法,2) 计算特征多项式fA(x)=|XI-A|,求出它的属于数 域F的根1,2, s; 3) 对每个i(i=1,2, ,s)求齐次线性方程组 (iI-A)X=0的基础解系; 4) 以上面求出的基础解系为坐标,写出V中对应 的向量组,它就是特征子空间Vi的一个基,从 而可确定的特征向量,例4 设R上的三维线性空间V的线性变换在 基1,2,3下的矩阵是,求的特征根和对应的特征向量,解 的矩阵A已给出,先求特征多项式和特 征根,fA(x)的根为11(二重根),2-2都是 的特
7、征根,对特征根11,解齐次线性方程组 (1I-A)X=0,即,得基础解系 1(-2,1,0),2(0,0,1),对应的特征向量组是-21+2,3,它 是特征子空间V1的一个基,所以 V1L(-21+2,3) 而的属于特征根1的一切特征向量为 k1(-21+2)+k23,k1,k2R,不全为0 对特征根2-2,解齐次线性方程组,得基础解系3(-1,1,1),对应的的特征 向量是-1+2+3,它可构成V-2的一个基,所 以 V-2L(-1+2+3) 因此的属于特征根-2的一切特征向量为 k(-1+2+3),kR,k0,A的特征多项式是,它的根仅有一个(n+1重根)10F,即D 仅有特征根0(n+1
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- 6.4 特征 特征向量
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