数学-最新初三+九年级下册5、三角形的证明复习.pdf
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1、一、知识典例(注意咯,下面可是黄金部分!) 一、全等三角形的性质与判定 1、全等三角形 (1)定义:能够完全的三角形是全等三角形。 (2)性质:全等三角形的、相等。 (3)判定:“SAS ” 、。 二、特殊三角形的性质和判定 1、等腰三角形的性质定理 (1)等腰三角形的两个底角(简述为:) 。 (2)如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角也相等(等角对等边) 。 (3)等腰三角形、底边上的高互相重合(三线合一)。 2、等边三角形的性质和判定定理 性质定理: 等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于。 等边三角形的判定:已知,如右图,等腰ABC , AB=AC : 若 AB=BC ,则 AB
2、C为等边三角形;若A= ,则 ABC为等边三角形; 若 B= ,则 ABC为等边三角形 . 三角形的证明 图 1 F E D C BA 全 等 三 角形 的 判 定 已知两边 找夹角(简记:) 找直角(简记:S或 HL) 找另一边(简记:) 已知两角 找两角的夹边(简记:ASA ) 找(简记: 已知一边一角 边为角的对边,找(简记:) 边为角的邻边 找夹角的另一边(简记:) 找夹边的另一个角(简记:) 找( 简 记:) 3、直角三角形的有关性质定理 直角三角形的性质:两锐角;斜边上的中线等于 30 角 所 对 的 直 角 边 等 于; 如 果 C=90 , 则 三 边 关 系 为: . 直角三
3、角形的判定: 6. 两锐角互余的三角形;一条边上的中线等于该边的一半的三角形; 7.如果 a 2+b2=c2,则 C=90,此三角形为直角三角形 三、角平分线与中垂线 4、角平分线 ( 1)性质:角平分线上的点相等。 三角形的三条角平分线,且到相等。 (2)判定:到角的两边的点,在这个角的平分线上。 5、线段的垂直平分线 (1)定义:一条线段的叫线段的垂直平分线。 (2)性质:线段垂直平分线上一点相等。 三角形三边的垂直平分线,且到相等。 (3)判定:到一条线段两个端点的点,在这条线段的垂直平分线上。 二、典型例题 例题 1: 如图,在 ABC 中, ACB=90 ,BE 平分 ABC ,DE
4、 AB 于 D,如果 AC=3cm ,那么 AE+DE 的值是? A C B O D E F O C B 例题 2: 补全 “ 求作 AOB 的平分线 ” 的作法: (1)在 OA 和 OB 上分别截取OD,OE,使_; (2)分别以D,E 为圆心,以_为半径画弧,两弧在AOB 内交于点 C; (3)作_ OC 就是 AOB 的角平分线 例题 3: 如图,已知MN BC求作:在MN 上确定一点P,使点 P到 AB ,BC 的 距离相等 例题 4: 如图,P 是 BAC 内的一点, PEAB, PF AC, 垂足分别为点E, F, AE=AF 求证: (1)PE=PF; (2)点 P 在 BAC
5、 的角平分线上 例题 5: 如图, E 是线段 AC 上的一点, AB EB 于 B,AD ED 于 D,且 1=2, CB=CD ,求证: 3=4 例题 6:如图,在 ABC 中, BEAC, AD BC,AD ,BE 相交于点P,AE=BD , 求证:点P在 ACB 的角平分线上 例题 7: 如图,在 ABC 中, B=C,D 是 BC 的中点,且DEAB ,DFAC , E,F 为垂足,求证:AD 平分 BAC 例题 8: 如图所示, BAC=90 ,AD BC,垂足为 D,BE 平分 ABC ,交 AC 于 E,交 AD 于 F,试判断 AEF 的形状,并说明理由 例题 9:已知 A(
6、 1, 1) ,B(3,2) ,点 P是坐标轴上一点,ABP是等腰三角形,求P 点坐标 例题 10:定理证明:等腰三角形“三线合一” (写出证明的已知,求证,证明过程。) 例题 11:已知等腰三角形的底是7 厘米, 该底边的高是3.5 厘米, 请用尺规作图作出该等腰 三角形。 例题 12:命题: “对顶角相等” 判断该命题的是否正确,写出该命题的逆定理,并且判断该逆定理是真命题还是假命题。 例题11:证明定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角 三角形。 (写出证明的已知,求证,证明过程。) 例题 12:用反证法证明:一个三角形中至多有一个钝角。 三、强化练习(挑战一
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