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1、- 1 - 江西省 2013届高考压轴卷数学文试题 本试卷分第I 卷和第 II 卷两部分考试时间120 分钟,满分150 分请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、 写在答题纸上 参考公式 : 棱台的体积公式 1122 1 () 3 VSh SS SS 其中 12 ,S S分别表示棱台的上、下底面积,h 表示梭台的高 球的表面积公式 2 4 RS 球的体积公式 3 3 4 RV球 其中 R 表示球的半径 第 I 卷 一、选择题:本大题共10 小题 , 每小题 5 分 ,共 50 分在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的 (1)已知集合1,2 , , , a ABa b若 1 2 A
2、B,则AB为 A 1 ,1, 2 bB 1 1, 2 C 1 1, 2 D 1 1,1 2 () (2) 已知 2i i( ,) i a ba bR,其中i为虚数单位,则ab (A) 1 (B)1 (C)2 (D)3 (3)在空间,下列命题正确的是 ( A)平行直线的平行投影重合(B)平行于同一直线的两个平面平行 (C)垂直于同一平面的两个平面平行(D)垂直于同一平面的两条直线平行 (4)设( )f x为定义在R上的奇函数,当0x时,( )22 x f xx b(b为常数 ),则( 1)f (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)3 (5) 已知 a1)时,函数() nfx表示函 数 1n-
3、fx()的导函数 .若输入函数1sincos()fxxx,则输出的 函数() nfx可化为 _ _。 (13) 如图,若一个几何体的正视图、侧视图、俯视图相同,且均为面积等于2的等腰直角 三角形,则该几何体的体积为 (14) 已 知 n a是 一 个 公 差 大 于0的 等 差 数 列 , 且 满 足 16,55 7263 aaaa.令 1 4 2 1n n a b )(Nn,记数列 n b的前n项和为 n T,对任意的 nN ,不 等式 100 n m T恒成立,则实数m的最小值是. (15)( 根据浙江高考题改编)若不等式 2 11axbxc的解集为 ( 1,3),则实数a的取值范围是 三
4、、解答题:本大题共6 小题,共75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 开始 输入 f1(x) fn(x)=fn-1(x) 是 否 n=2 n=n+1 n 013? 输出 fn(x) 结束 第 12 题图 - 3 - E D CB A 16 (本题满分11 分) 如图,在 ABC 中, ADBC ,垂足为D,且 :2:3: 6BDDCAD ()求 BAC 的大小; ()设E为AB的中点,已知 ABC 的面积为15,求 CE的长 17 (本题满分11 分)现有4 个人去参加春节联欢活动,该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择.为增加趣味 性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参
5、加哪个项目联欢,掷出点数为1 或 2 的人去参加甲 项目联欢,掷出点数大于2 的人去参加乙项目联欢. (I)求这 4 个人中恰好有2 人去参加甲项目联欢的概率; (II )求这 4 个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率; (III )用 ,X Y 分别表示这4 个人中去参加甲、乙项目联欢的人数,记 XY ,求随机变量的分布列与 数学期望 E . 18 (本题满分11 分)如图,在三棱锥 ABCD 中, 90ABCBCDCDA , 6 3,6ACBCCD , 设顶点A在底面 BCD 上的射影为E ()求证 :CE BD ; ()设点 G 在棱 AC 上,且 2CGGA ,
6、 试求二面角 CEGD 的余弦值 19 (本题满分14 分)如图,在矩形 ABCD 中, 8,4,ABBCE F G H 分别为四边的中点,且都在坐标轴 y xo M Q P H G F D C A G E D C B - 4 - 上,设 OFOP , )0(CFCQ ()求直线EP与 GQ 的交点M的轨迹的方程; ()过圆 222 xyr(02)r 上一点 N 作圆的切线与轨迹交于 ,S T 两点, 若 0 2 rNTNS ,试求出r的值 20 (本题满分14 分)已知函数 2 ( )2lnfxxax ()若 4a ,求函数 ( )f x 的极小值; ()设函数 ( )cos2g xx ,试
7、问:在定义域内是否存在三个不同的自变量 (1,2,3) i x i 使得 ()() ii f xg x 的 值相等,若存在,请求出 a的范围,若不存在,请说明理由? 21、 (本题满分14 分) 对于给定数列 n c,如果存在实常数,pq使得 1nn cpcq对于任意 * nN都成立, 我们称数列 n c 是“T数列 ” () 若nan 2,3 2 n n b, * nN,数列 n a、 n b是否为 “T数列 ” ?若是, 指出它对应的实常数,p q, 若不是,请说明理由; ()证明:若数列 n a是“T数列 ” ,则数列 1nn aa也是 “T数列 ” ; ()若数列 n a满足 1 2a
8、,)(23 * 1 Nntaa n nn ,t为常数求数列 n a前2013项的和 江西省高考压轴卷数学(文)试题 参考答案 一、选择题:本大题共10 小题,每小题5 分,共 50 分 (1)1已知集合1,2 , , , a ABa b若 1 2 AB,则AB为 A 1 ,1, 2 bB 1 1, 2 C 1 1, 2 D 1 1,1 2 () (选题意图:主要考查集合的表示、集合的运算。)选 D (2) 已知 2i i( ,) i a ba bR,其中i为虚数单位,则ab (A) 1 (B)1 (C)2 (D)3 - 5 - 【答案】 B 【解析】由 +2i = +i i a b得+2i=
9、i-1ab,所以由复数相等的意义知=1, =2ab,所以+ =a b1. 另解:由 +2i = +i i a b得i+2=+iab( ,)a bR,则1,2,1abab. 故选 B. 【命题意图】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算,属保分题。 (3) 在空间,下列命题正确的是 ( A)平行直线的平行投影重合 (B)平行于同一直线的两个平面平行 (C)垂直于同一平面的两个平面平行 (D)垂直于同一平面的两条直线平行 【答案】 D 【解析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以得出答案。 【命题意图】考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质,属基础题。
10、(4)设( )f x为定义在R上的奇函数,当0x时,( )22 x f xx b(b为常数 ),则( 1)f (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)3 【答案】 D 【解析】由( )f x为定义在R上的奇函数可知 0 (0)210,1fbbb, 于是( 1)(1)(221)3ff,故选 D. (5) 已知 a0,b0,a+b=-2 若 ba c 11 ,则 c 的最值为( ) A最小值 -1 B最小值 -2 C最大值 -2 D最大值 -1 (编题意图:本题考查基本不等式的应用及函数最值问题。)选 C (6)样本中共有5 个个体,其值分别为,0,1,2,3a.若该样本的平均值为1,则样本方差
11、为 (A) 6 5 (B) 6 5 (C)2(D)2 【答案】 D 【解析】由题意知 1 (0123)1 5 a,解得1a,故样本方差为 222222 1 (1 1)(01)(1 1)(21)(31) 2 5 S,故选 D. 【命题意图】本题考查样本平均数、方差的计算,属于基础题. - 6 - (7)【原创】已知有相同两焦点F1、F2的椭圆 2 5 x + y 2=1 和双曲线 2 3 x - y 2=1,P 是它们的一个交点,则 F1PF2的 面积是() A2 B3 C1 D4 (8) 设数列 n a是等比数列,则“ 123 aaa” 是数列 n a是递增数列的 (A) 充分而不必要条件(
12、B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件 【答案】 C 【解析】由 123 aaa,设数列 n a的公比为q, 得 2 111 aa qa q,则 1 1,0qa,数列 n a为递增数 列; 反之,若数列 n a是递增数列, 则公比 1 1,0qa所以 2 111 aa qa q, 即 123 aaa, 故“ 123 aaa” 是数列 n a是递增数列的充分必要条件. 【命题意图】本题主要考查等比数列以及充分必要条件的相关知识,属于基础题. (9)设变量,x y满足约束条件 20 5100 80 xy xy xy ,则目标函数34zxy的最大值和最小值分别为 (A)
13、3, 11(B)3, 11(C)11, 3(D)11,3 【答案】 A 【解析】作出满足约束条件的可行域,如右图所示, 可知当直线z=3x-4y平移到点( 5,3)时, 目标函数z=3x-4y取得最大值3; 当直线z=3x-4y平移到点( 3,5)时, 目标函数z=3x-4y取得最小值 -11,故选 A。 【命题意图】本题考查不等式中的线性规划知识,画出平面区域与正确理解目标函数z=3x-4y的几何意义是解 答好本题的关键。 (10) 定义平面向量之间的一种运算“” 如下,对任意的a=(m,n),bp,q)( ,令 ab=mq-np,下面说法错误的是() A.若a与b共线,则ab=0B.ab=
14、ba 8xy 510xy 340xy 20xy y xO - 7 - C.对任意的R,有a)b= ((ab)D. 2222 (ab) +(ab) =|a|b| 【答案】 B 【解析】若a与b共线,则有ab=mq-np=0,故 A 正确;因为 bapn-qm,而 ab=mq-np,所以有abba,故选项B 错误,故选B。 【命题意图】本题在平面向量的基础上,加以创新,属创新题型,考查平面向量的基础知识以及分析问题、 解决问题的能力。 二、填空题:本大题共5 小题,每小题5 分,共 25 分 11 4 3 12 (编题意图:本题主要考查程序框图,解题的关键是识图,特别是循环结构的使用、同时考查周期
15、性及三角 变换。) xsin(2 ) 4 1314 100 15 11 22 a 三、解答题:本大题共6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16 (本小题满分1 分) 解: (I)由已知得 11 tan,tan 32 BADCAD , 2分 则 11 32 tantan()1 11 1 32 BACBADCAD , 4分 又 (0,)BAC ,故 4 BAC 5分 (II )设 2 (0)BDt t ,则 3 ,6DCt ADt , 由已知得 2 1515t ,则 1t , 故 2BD , 3,6DCAD , 7分 则 10,3 5 2 AB AEAC , 9分 由
16、余弦定理得 5CE 11分 17 (本小题满分11 分) E D CB A - 8 - 解:依题意,这4 个人中,每个人去参加甲项目联欢的概率为 1 3,去参加乙项目联欢的概率为 2 3 .设“ 这 4 个人 中恰有 i 人去参加甲项目联欢” 为事件 i A , (0,1,2,3,4)i ,则 4 4 12 ()( ) ( ) 33 iii i P AC . ()这 4 个人中恰好有2 人去参加甲项目联欢的概率 222 24 128 ()( ) () 3327 P AC -4 分 ()设 “ 这 4 人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数” 为事件 B, 34 BAA , 故 3
17、344 3444 1211 ()()()( ) ()( ) 3339 P BP AP ACC . 这 4 人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率为 1 9 .-7 分 (III) 的所有可能取值为0,2,4. 2 8 (0 )() 2 7 PPA , 13 40 (2)()(), 81 PP AP A 04 17 (4)()(), 81 PP AP A 所以的分布列是 0 2 4 P 8 27 40 81 17 81 148 81 E .-11分 18 (本小题满分1 分) 证明:(I)方法一:由 AE 平面 BCD 得AE CD , 又 ADCD ,则 CD 平面 AED
18、 , 故 CDDE ,2分 同理可得 CBBE ,则 BCDE 为矩形,又 BCCD , 则 BCDE 为正方形,故 CEBD 4分 方法二:由已知可得 6 2ABBDAD ,设 O 为BD的中点,则 ,AOBD COBD ,则BD平面 AOC ,故平面 BCD 平面 AOC ,则顶点 A在底面BCD 上的射影 E必在OC ,故 CEBD - 9 - N T S y xoH G F D C (II )方法一 :由( I)的证明过程知 OD 平面 AEC ,过 O 作 OFEG ,垂足为F,则易证得 DFEG , 故 OFD 即为二面角 CEGD 的平面角, 7分 由已知可得 6AE ,则 2
19、AEAG AC ,故 EGAC ,则 2 3 2 CG OF , 又 3 2OD ,则 30DF , 9分 故 10 cos 5 OFD ,即二面角 CEGD 的余弦值为 10 5 11分 方法二 : 由( I)的证明过程知 BCDE 为正方形,如图建立坐 标系,则 (0,0,0),(0,6,0),(0,0,6),(6,0,0),(6,6,0)EDABC , 可得 (2,2,4)G ,7分 则 )4,2, 2(),0,6, 0(EGED ,易知平面 CEG 的一个法向量为 )0,6 ,6(BD ,设平面 DEG 的一个法向量为 )1 ,(yxn ,则由 0 0 EGn EDn 得 ) 1 ,0
20、,2(n ,9 分 则 5 10 cos nBD nBD nBD ,即二面角 CEGD 的余弦值为 10 5 11 分 19 (本小题满分4 分) 解: (I)设 ( , )Mx y ,由已知得 (4 ,0),(4,22 )PQ , 则直线 EP的方程为 2 2 x y ,直线 GQ 的方程为 2 2 x y , 4分 消去即得M的轨迹的方程为 22 1(0) 164 xy x 6分 (II )方法一:由已知得 2 NS NTON ,又 ONST ,则 OSOT , 8 分 设直线 :(2)STykxm m 代入 22 1 164 xy 得 222 (1 4)84160kxkmxm , 设 1
21、122 (,),(,)S xyT xy , - 10 - 则 2 121222 8416 , 1414 kmm xxx x kk 10 分 由OS OT 得 1212 0x xy y , 即 22 1212 ()(1)0km xxkx xm , 则 22 516(1)mk , 12分 又O到直线 ST的距离为 2 1 m r k ,故 4 5 (0,2) 5 r 经检验当直线 ST的斜率不存在时也满足 14分 方法二:设 00 (,)N xy ,则 222 00 xyr ,且可得直线 ST的方程为 2 00 x xy yr 10 分 代入 22 1 164 xy 得 222242 0000 (
22、4)84160yxxr x xry , 由 2 NS NTON 得 2 20 2001 2 0 (1)()() x xxxxr y ,即 2 01212 ()xxxx xr ,12 分 则 2242 200 22 00 8416 4 r xry r yx ,故 45 (0, 2) 5 r 14分 20 (本小题满分5 分) 解: (I)由已知得 2 44(1) ( )4 x fxx xx ,2分 则当 01x 时 ( )0fx ,可得函数 ( )f x 在 (0,1) 上是减函数, 当 1x 时 ( )0fx ,可得函数 ( )f x 在 (1,) 上是增函数,5分 故函数 ( )f x 的极
23、小值为 (1)2f 6分 (II )若存在,设 ()()(1,2,3) ii f xg xm i ,则对于某一实数 m方程 ( )( )f xg xm 在 (0,) 上有三个不等的实根,8分 设 2 ( )( )( )2lncos2F xf xg xmxaxxm, 则 ( )42sin 2 (0) a Fxxx x x 有两个不同的零点 10分 方法一: 2 42 sin2 (0)axxx x 有两个不同的解,设 2 ( )42 sin2 (0)G xxxx x , - 11 - 则 ( ) 82sin24 cos22(2sin 2 )4 (1 cos2 )G xxxxxxxxx , 设 (
24、)2sin 2h xxx ,则 ( )22cos20h xx ,故 ( )h x 在 (0,) 上单调递增, 则当 0x 时 ( )(0)0h xh ,即 2sin 2xx, 12分 又1 cos20x ,则 ( )0G x 故 ( )G x 在 (0,) 上是增函数, 13分 则 2 42 sin2 (0)axxx x 至多只有一个解,故不存在 14分 方法二:关于方程 042sin 2(0) a xxx x 的解, 当 0a 时,由方法一知 2sin 2xx ,则此方程无解, 11 分 当 0a 时,可以证明 ( )42sin 2(0) a H xxxx x 是增函数,则此方程至多只有一个
25、解, 故不存在 14分 21、解: ()因为2 , n an则有 1 2 , nn aa * nN 故数列 n a是“T数列 ” , 对应的实常数分别为1 , 2 因为 3 2 n n b,则有 1 2 nn bb * nN 故数列 n b是 “T数列 ” , 对应的实常数分别为2 , 0-4分 ()证明:若数列 n a是“T数列 ” , 则存在实常数,p q, 使得 1nn apaq对于任意 * nN都成立, 且有 21nn apaq对于任意 * nN都成立, 因此 121 2 nnnn aap aaq对于任意 * nN都成立, 故数列 1nn aa也是 “T数列 ” 对应的实常数分别为, 2pq-8分 ()因为 * 1 32 () n nn aatnN , 则有 2 23 32aat, 4 45 32aat, 20112010 aa 2010 23t, 20132012 aa 2012 23t。 故数列 n a前2013项的和 )( 3212013 aaaS)( 54 aa)( 20112010 aa)( 20132012 aa 2 232t 4 23t 2010 23t 2012 23t)42(2 2014 t -14分
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