高三-最新教案-数学-第2讲函数单调性和最值.pdf
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1、第二讲函数的单调性与最值 【知识梳理】 1函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数减函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I 内某个区间D 上的任 意两个自变量x1,x2 当 x1x2时,都有,那么就 说函数 f(x)在区间 D 上是增函数 当 x1x2时,都有,那么就说 函数 f(x)在区间 D 上是减函数 图象 描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 若函数 yf(x)在区间 D 上是增函数或减函数,则称函数yf(x)在这一区间具有(严格的 )单调性,区 间 D 叫做函数yf(x)的单调区间 2. 常见函数的单调性 (1) 函数 y
2、=kx+b (2)函数 y=ax 2+bx+c (3)y= x k (4)y=k|x| 3函数的最值 前提设函数 yf(x)的定义域为I,如果存在实数M 满足 条件 (1)对于任意xI,都有; (2)存在 x0 I,使得 f(x0)M. (3)对于任意xI,都有; (4)存在 x0I,使得 f(x0)M. 结论M 为最大值M 为最小值 【考点自测】 1函数单调性定义的理解 (1)对于函数f(x), x D,若x1, x2 D 且 (x1 x2)f(x1) f(x2) 0,则函数f(x)在 D 上是增函 数 () (2)函数 f(x)1 x在其定义域上是减函数 () 2函数的单调区间与最值 (3
3、)函数 yf(x)在 1, )上是增函数,则函数的单调递增区间是1, )() (4)在闭区间上单调的函数,其最值一定在区间端点取到() 【例题讲解】 考点一确定函数的单调性或单调区间 【例 1】下列函数中,在区间(0,+) 上为增函数的是() Ay=ln(x+2) By=-1xCy=( 2 1 ) x Dy=x+ x 1 变式 1:函数 f(x)=|x-2|x 的单调减区间是() A1,2 B-1,0 C0,2 D 2,+) 【例 2】 f(x)=x 2 +2(a-1)+2 在区间( -,4上是减函数,则a 的取值范围是 变式 2:已知函数f(x)=mx 2+x+m+2 在( - ,2)是增函
4、数,则实数m 的取值范围 【例 3】函数 f(x)=1 2 x的单调递减区间是 变式 3:函数 ylog1 3(x 24x3)的单调减区间是 规律方法(1)对于给出具体解析式的函数,证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法:可以 利用定义求解;可导函数则可以利用导数解之 (2)复合函数yfg(x)的单调性规律是“同则增,异则减”,即 yf(u)与 ug(x)若具有相同的单调 性,则 y fg(x)为增函数,若具有不同的单调性,则yfg(x)必为减函数 考点二:函数单调性定义的应用 【例 4】已知函数f(x)为 R 上的减函数,则满足f(2-m)0 时, f( x)1 (1)求证: f(x) 是
5、 R 上的增函数(2)解不等式f(3m 2-m-2)1 时, f(x)0 且 f(xy)=f(x)+f(y) (1) 求 f(1);(2)证明: f(x) 在定义域上是增函数;(3)若 f( 3 1 )=-1,解不等式f(x)-f( 2 1 x )2 考点四最值问题 【例 6】 (1) 求 f(x)=x- x 1 在区间 2 1 ,4上的最值;(2)求 f(x)=x+ x 1 在区间 2 1 ,4上的最值 变式 6:函数 f(x)= 3 2 x x 在1,2上的最小值为,最大值为 【例 7】函数 y=|x-1|+|x-3|的最小值是 变式 7:对任意两个实数x1,x2,定义 max(x1,x2
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