高三-最新教案-数学-暑假教案平面向量.pdf
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1、必修 4 第二章平面向量 【知识点】 一向量有关概念 : 1.向量的概念 :既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示,注意 不能说向量就是有向线段,为什么?(向量可以平移) 2.向量的模: 向量的长度称为向量的模,如向量a记作 |a 3.零向量 :长度为0 的向量叫零向量,记作:0,注意 零向量的方向是任意的; 4.单位向量 :长度为一个单位长度的向量叫做单位向量( 与AB共线的单位向量是 | AB AB ); 5.相等向量 :长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性; 6.平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量,记作:a
2、b,规 定零向量和任何非零向量平行。 提醒 : 相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等; 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线, 但两条 直线平行不包含两条直线重合; 平行向量无传递性(因为有0) ; 三点ABC、 、共线AB AC、共线; 7.相反向量 :长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是a。如 下列命题:(1)若ab,则ab。 (2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同。 (3)若ABDC,则 ABCD是平行四边形。 (4)若ABCD是平行四边形,则ABDC。 (5)若 ,ab bc,则ac。 (6)若/ , /ab
3、bc,则 /ac。其中正确的是_ 二向量的表示方法 : 1几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如AB ,注意起点在前,终点在后; 2符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如a,b,c等; 3坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j为基底, 则平面内的任一向量a可表示为 ,axiy jx y ,称 ,x y 为向量a的坐标,a , x y 叫做 向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 三、平面向量的基本定理 :如果 e1和 e2是同一平面内的两个不共线 向量,那么对该平面内的任一 向量 a,有且只有一对实数 1、2,使
4、 a= 1e12e2。 例 1 若(1,1),ab (1, 1),( 1,2)c ,则c _ 例 2 下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是 A. 12 (0,0),(1, 2)eeB. 12 ( 1,2),(5,7)ee C. 12 (3,5),(6,10)eeD. 12 13 (2, 3),(,) 24 ee 四实数与向量的积:实数与向量a的积是一个向量,记作a,它的长度和方向规定如下: 1, 2aa 当0 时,a的方向与a的方向相同,当0 时,a的方向与a的方 向相反,当0 时,0a,注意 :a0。 五平面向量的数量积: 1两个向量的夹角:对于非零向量a,b,作,OAa OBb, A
5、OB 0称为向量a,b的夹角,当0 时,a,b同向,当时,a,b反向,当 2 时,a,b垂直。 2平面向量的数量积:如果两个非零向量a,b,它们的夹角为,我们把数量|cosa b 叫做a 与b的数量积(或内积或点积),记作:ab,即abcosa b。规定:零向量与任一向量的 数量积是0,注意数量积是一个实数,不再是一个向量。 例 1 ABC 中,3| AB ,4| AC,5| BC,则BCAB_ 例 2 已知 11 (1,),(0,), 22 abcakb dab, c与d的夹角为 4 ,则k等于 _ 例 3 已知2,5,3aba b ,则ab等于 _ 4ab的几何意义 :数量积ab等于a的模
6、|a与b在a上的投影的积。 5向量数量积的性质:设两个非零向量a,b,其夹角为,则: 0aba b; 当a,b同向时,aba b, 特别地, 2 22 ,aa aaaa ; 当a与b反向时,ab a b;当为锐角时,ab 0,且a b、不同向,0a b是为锐角的必要非充分条件;当 为钝角时,a b0,且 a b、不反向,0a b是为钝角的必要非充分条件; 非零向量a,b夹角的计算公式:cos ab a b ;| | |a ba b 。 例 已知)2,( a,)2,3(b,如果a与b的夹角为锐角,则的取值范围是 _ 六向量的运算 : 1几何运算 : 向量加法:利用“平行四边形法则”进行,但“平行
7、四边形法则”只适用于不共线的向量,如 此之外,向量加法还可利用“三角形法则”:设,ABa BCb,那么向量AC叫做a与b的和,即 abABBCAC; 向量的减法:用“三角形法则” :设 ,ABa ACbabABACCA那么 ,由减向量的 终点指向被减向量的终点。注意:此处减向量与被减向量的起点相同。 例 1 化简:ABBCCD _;ABADDC_;()()ABCDACBD_ 例 2 若正方形ABCD的边长为1, ,ABa BCb ACc,则|abc _ 2坐标运算 :设 1122 (,),(,)ax ybxy ,则: ( 1)向量的加减法运算: 12 (abxx , 12) yy。 例 1 已
8、知点(2,3),(5,4)AB,(7,10)C,若()APABACR,则当_时,点 P 在第一、 三象限的角平分线上 例 2 已知 1 (2,3),(1,4),(sin,cos ) 2 ABABxy 且,,(,) 22 x y,则 xy ( 2)实数与向量的积: 1111 ,axyxy 。 ( 3)若 1122 (,), (,)A x yB xy,则 2121 ,ABxx yy ,即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向 线段的终点坐标减去起点坐标。 例 设(2,3),( 1,5)AB,且 1 3 ACAB, 3ADAB,则 C、D 的坐标分别是 _ ( 4)平面向量数量积: 1212 a bx
9、 xy y 。如 例 已知向量 a(sinx,cosx), b(sinx,sinx), c( 1,0) 。 (1)若 x 3 ,求向量 a、c的 夹角; (2)若 x 4 , 8 3 ,函数baxf)(的最大值为 2 1 ,求的值 ( 5)向量的模 : 2 22222 |,|axyaaxy 例 已知 , a b均为单位向量,它们的夹角为60 ,那么| 3 |ab _ ( 6)两点间的距离:若 1122 ,A x yB xy,则 22 2121 |ABxxyy 七向量的运算律 : 1交换律:abba, aa,a bb a; 2结合律:,abcabc abcabc , ababab ; 3分配律:
10、,aaaabab,abcacbc。 例 下列命题中: cabacba)(;cbacba)()(; 2 ()ab 2 |a 2 2| |abb;若0ba,则0a或0b;若,a bc b 则ac; 2 2 aa; 2 a bb a a ; 22 2 ()a bab ; 22 2 ()2abaa bb 其中正确的是_ 提醒: (1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别:对于一个向量等式,可以移项,两边平 方、两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两 边不能约去一个向量,切记两向量不能相除( 相约 ) ; ( 2)向量的“乘法”不满足结合律,即 cbacb
11、a)()( 八、向量平行( 共线 ) 的充要条件 :/abab 22 ()(|)a bab 1212 x yy x0。 例 1 若向量( ,1),(4, )axbx,当x_时a与b共线且方向相同 例 2 已知(1 ,1),(4, )abx,2uab,2vab,且/uv,则 x_ 例 3 设( ,12),(4,5),(10, )PAkPBPCk,则 k_时, A,B,C 共线 九、向量垂直的充要条件:0| |aba babab 1212 0xxy y. (1)已知( 1,2),(3,)OAOBm,若OAOB,则m ( 2)以原点 O 和 A(4,2) 为两个顶点作等腰直角三角形OAB ,90B,
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