高二+选修2-2第二章推理与证明.pdf
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1、知识导入(进入美妙的世界啦) (一)合情推理与演绎推理 知识梳理 1. 合情推理 : 根据已有的事实, 经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出 的推理叫做合情推理. 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类: ( 1)归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象具有这 些特征的推理, 或者由个别事实概括出一般结论的推理. 简言之, 归纳推理是由部分 到整体、由个别到一般的推理. ( 2)类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征,推 出另一类对象也具有这些特征的推理,简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理. 2. 演绎推理 : 从一般性
2、的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理,简言之,演绎推 理是由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式,它包括: (1)大前提 - 已知的一般原理; (2)小前提 - 所研究的特殊情况; (3)结论根据一般原理,对特殊情况作出的判断. 例题精讲 例 1. 通过观察下列等式,猜想出一个一般性的结论,并证明结论的真假. 2 3 135sin75sin15sin 020202 ; 2 3 150sin90sin30sin 020202 ; 2 3 165sin105sin45sin 020202 ; 2 3 180sin120sin60sin 020202 推理与证明 例 2. 为
3、确保信息安全, 信息需加密传输, 发送方由明文密文(加密),接受方由密文 明文(解密) ,已知加密规则为:明文dcba,对应密文ddccbba4,32,2,2,例如, 明文1,2,3, 4对应密文5,7,18,16当接受方收到密文14,9, 23,28时,则解密得到的明文为 () A 4 , 6,1,7 B 7 ,6,1,4 C 6 , 4,1,7 D 1 ,6,4,7 【方法技巧】 1. 归纳推理的一些常见形式:一是“具有共同特征型”,二是“递推型”,三是“循环型” (周期性) . 2. 类比推理常见的情形有:平面向空间类比;低维向高维类比;等差数列与等比数列类比; 实数集的性质向复数集的性
4、质类比;圆锥曲线间的类比等. 做题时应注意: (1)找两类对象的对应元素,如:三角形对应三棱锥,圆对应球,面积对应体积,平面上 的角对应空间角等等;(2)找对应元素的对应关系,如:两条边(直线)垂直对应线面垂 直或面面垂直,边相等对应面积相等. 3. 掌握利用“三段论”进行推理. 巩固训练 1.图( 1)、( 2)、( 3)、( 4)分别包含1 个、 5 个、 13 个、 25 个第二十九届北京奥运 会吉祥物“福娃迎迎”,按同样的方式构造图形,设第n个图形包含( )f n个“福娃迎迎”, 则(5)f;( )(1)f nf n(答案用数字或n的解析式表示) 2. 对于任意的两个实数对( , )a
5、 b和( , )c d,规定:( , )( , )a bc d,当且仅当,ac bd;运 算“”为:( , )( , )(,)a bc dac bd bcad;运算“”为:( , )( , )(,)a bc dac bd,设 ,p qR,若(1,2)( , )(5,0)p q,则(1,2)( , )p q,() A(4,0)B(2,0)C(0,2)D(0, 4) (二)直接证明与间接证明 知识梳理 1. 综合法: 由原因推导到结果的证明方法,它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过 一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立的证明方法. 2. 分析法: 从要证明的结论出发,逐步寻
6、求推证过程中,使每一步结论成立的充分条件,直到最后, 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、公理、定理等)为止的 证明方法 . 3. 反证法: 假设原命题的结论不成立, 经过正确的推理, 最后得出矛盾, 由此说明假设错误, 从而证明 了原命题成立 , 这样的方法叫反证法; 它是一种间接的证明方法. 用这种方法证明一个命题的 一般步骤: (1) 假设命题的结论不成立; (2) 根据假设进行推理, 直到推理中导出矛盾为止; (3) 断言假设不成立 (4) 肯定原命题的结论成立; 例题精讲 例 1. 证明 : 若0,ba, 则 2 lglg 2 lg baba 例 2. 已知1
7、,baRba,求证: 2 25 )2()2( 22 ba 例 3. 已知)1( 1 2 )(a x x axf x ,证明方程0)(xf没有负数根 【方法技巧】 1.注意分析法的“格式”是“要证-只需证 - ”,而不是“因为- 所以 - ” . 2.“正难则反”,选择反证法,如例3,因涉及方程的根,可从范围方面寻找矛盾;否定性 命题从正面突破往往比较困难,故用反证法比较多. 巩固训练 1. 设 a、b、c 都是正数,则 b a 1 、 c b 1 、 a c 1 三个数 ( ) A.都大于 2 B.都小于 2 C. 至少有一个大于2 D. 至少有一个不小于2 2. 已知 a、b、c 成等差数列
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- 选修 第二 推理 证明
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