中考数学压轴题精编附带答案(人教版).pdf
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1、中考数学压轴题精编附带答案(人教版) 1 (人教版)已知:二次函数yax 2bx 2 的图象经过点(1,0) ,一次函数的图象经过 原点和点( 1,b) ,其中 ab0 且 a、b 为实数 (1)求一次函数表达式(用含b 的式子表示) ; (2)试说明:这两个函数的图象交于不同的两点; (3)设( 2)中的两个交点的横坐标分别为x1、x2,求 | x1x2| 的范围 1解:(1)一次函数过原点,设一次函数的表达式为ykx 一次函数过(1,b) ,b k1, kb 一次函数的表达式ybx 3 分 (2)二次函数yax 2bx2 的图象经过点( 1,0) , 0ab2 b2a 4 分 由 ybx
2、yax 2bx2 得 ax 22( 2 a) x20 5 分 4( 2a) 2 8a4( a 1) 212 0 方程有两个不相等的实数根,方程组有两组不同的解 这两个函数的图象交于不同的两点 6 分 (3)两交点的横坐标x1、x2分别是方程的解 x1x2 a a)(22 a a42 ,x1x2 a 2 | x1x2| 21 2 21 4xxxx)()()( aa a2 4 42 2 2 2 1684 a aa 31 42 )( a (或由求根公式得出) 8 分 ab0,b2a, 1a2 令函数y( a 4 1) 23,则当 1a2 时, y随 a 增大而减小 4( a 4 1) 2312 9
3、分 231 4 2 )( a 32 2| x1x2| 32 10 分 2 (人教版) 如图, 平面直角坐标系中,矩形 OABC 的两边分别在x 轴和y轴上, OA28 cm,OC 8cm,现有两动点P、 Q 分别从 O、C 同时出发, P 在线段 OA 上沿 OA 方向以每 秒2 cm 的速度匀速运动,Q 在线段 CO 上沿 CO 方向以每秒1cm 的速度匀速运动设运 动时间为t 秒 (1)用 t 的式子表示OPQ 的面积 S; (2)求证:四边形OPBQ 的面积是一个定值,并求出这个定值; (3)当 OPQ 与 PAB 和 QPB 相似时, 抛物线y 4 1 x 2bx c 经过 B、P 两
4、点,过线段BP 上一动点M 作y轴的平行线交抛物线于N,当 线段 MN 的长取最大值时, 求直线 MN 把四边形OPBQ 分成两部分的面 积之比 2解:(1) CQ t,OP2 t,CO8, OQ8t SOPQ 2 1 ( 8t)22 t 2 2 t 2 24t(0t8) 3 分 (2) S四边形 OPBQS 矩形 ABCD SPABSCBQ 828 2 1 28t 2 1 8( 28 2 t) 232 5 分 四边形OPBQ 的面积为一个定值,且等于232 6 分 (3)当OPQ 与 PAB 和 QPB 相似时, QPB 必须是一个直角三角形,依题意只 能是 QPB 90 又 BQ 与 AO
5、 不平行,QPO 不可能等于 PQB, APB 不可能等于 PBQ 根据相似三角形的对应关系只能是OPQ PBQ ABP 7 分 PA QO AB OP ,即 t t 228 8 8 2t ,解得: t4 经检验: t4 是方程的解且符合题意(从边长关系和速度考虑) 此时 P(24,0) B(28,8)且抛物线y 4 1 x 2 bxc 经过 B、P 两点 抛物线是y 4 1 x 2 22x8,直线 BP 是y 2 x 8 8 分 设 M(m,2 m8) ,则 N(m, 4 1 m 2 22m 8) M 是 BP 上的动点,24m28 y1 4 1 x 2 22x8 4 1 ( x 24) 2
6、 抛物线的顶点是P(24,0) 又y1 4 1 x 2 22x 8 与y2 2 x 8 交于 P、B 两点 O y x C B A Q P O y x C B A Q P M H N 当24m28时,y2y1 9 分 | MN| |y2y1| y2y1 ( 2 m 8) ( 4 1 m 2 22m8) 4 1 m 2 23m16 4 1 ( m 26 ) 22 当 m26时, MN 有最大值是2,此时 M(26,4) 设 MN 与 BQ 交于 H 点,则 H(26,7) S BHM 2 1 3 2223 SBHM : S五边形QOPMH 23: (232 23)3 : 29 当线段MN 的长取
7、最大值时,直线 MN 把四边形OPBQ 分成两部分的面积 之比为 3 : 29 10 分 3如图、 ,在平面直角坐标系中,一边长为2 的等边三角板CDE 恰好与坐标系中的 OAB 重合,现将三角板CDE 绕边 AB 的中点 G(G 点也是 DE 的中点),按顺时针方向旋转 180 到 CED 的位置 (1)求 C点的坐标; (2)求经过O、A、C 三点的抛物线的解析式; (3)如图,G 是以 AB 为直径的圆,过B 点作 G 的切线与x 轴相交于点F,求切线 BF 的解析式; (4)抛物线上是否存在一点M,使得 SAMF : SOAB16 : 3?若存在,请求出点M 的坐标; 若不存在,请说明
8、理由 3解:(1) C 点的横坐标为22 2 1 3,纵坐标为2 2 3 3 C 点的坐标为( 3,3) 2 分 (2)抛物线过原点O(0,0) ,设抛物线的解析式为yax 2bx 把 A(2,0) ,C(3, 3)代入,得 4a 2b0 9a 3b3 y x B A O ( D) G ( C)( E)F C 图 y x B A O ( E) G ( C)( D) 图 y x B A O ( D) G ( C)( E) C 图 解得 a 3 3 ,b 3 32 3 分 抛物线的解析式为y 3 3 x 2 3 32 x 4 分 (3) ABF90 , BAF60 , AFB30 又 AB2, A
9、F4, OF 2, F(2,0) 设切线 BF 的解析式为ykxb 把 B(1,3) ,F(2,0)代入,得 kb3 2kb0 解得 k 3 3 ,b 3 32 5 分 切线 BF 的解析式为y 3 3 x 3 32 6 分 (4)假设存在,设M 的坐标为( x, 3 3 x 2 3 32 x) 当点 M 在 x 轴上方时 由 SAMF : S OAB16 : 3,得 2 1 4( 3 3 x 2 3 32 x) : 2 1 2316: 3 整理得 x 22x 80,解得 x12,x24 当 x2 时,y 3 3 (2) 2 3 32 (2) 3 38 当 x4 时,y 3 3 4 2 3 3
10、2 4 3 38 M1(2, 3 38 ) ,M2(4, 3 38 ) 8 分 当点 M 在 x 轴下方时 由 SAMF : S OAB 16 : 3,得 2 1 4( 3 3 x 2 3 32 x) : 2 1 2316: 3 整理得 x 22x80,此方程无实数解 9 分 综上所述,抛物线上存在点M1(2, 3 38 )和 M2( 4, 3 38 ) 使得 SAMF: SOAB16 : 3 10 分 4已知:等边三角形ABC 的边长为4 厘米,长为 1 厘米的线段MN 在 ABC 的边 AB 上沿 AB 方向以 1 厘米 /秒的速度向B 点运动(运动开始时,点M 与点 A 重合,点N 到达
11、点 B 时 运动终止),过点 M、N 分别作 AB 边的垂线,与ABC 的其它边交于P、Q 两点,线段MN 运动的时间为t 秒 (1)线段 MN 在运动的过程中,t 为何值时,四边形MNQP 恰为矩形?并求出该矩形的面 积; y x B A O ( D) G ( C)( E)F C M1M2 (2) 线段 MN 在运动的过程中, 四边形 MNQP 的面积为S, 运动的时间为t 求四边形 MNQP 的面积 S随运动时间t 变化的函数关系式,并写出自变量t 的取值范围 4解:(1)如图 1,过点 C 作 CDAB 于 D,则 AD2 当 MN 运动到被CD垂直平分时,四边形MNQP 是矩形 即 A
12、M 2 3 时,四边形MNQP 是矩形 t 2 3 秒时,四边形MNQP 是矩形 PMAM2tan60 3 2 3 S四边形 MNQP3 2 3 4 分 (2)当 0 t1 时,如图 2 S四边形MNQP 2 1 ( PMQN)2MN 2 1 t 33(t1) 1 3t 2 3 6 分 当 1t2 时,如图3 S 四边形 MNQP 2 1 ( PMQN)2MN 2 1 t 33( 3t) 1 2 33 8 分 当 2t3 时,如图4 S四边形MNQP 2 1 ( PMQN)2MN 2 1 3(3t)3(4t) 1 3t 2 37 11 分 C P Q B A M N C Q B A M N P
13、 D 图 1 C P Q B A M N 图 2 C P Q B A M N 图 3 C Q P B A M N 图 4 5如图,在平面直角坐标系中,已知A、B、C 三点的坐标分别为A(2,0) ,B(6,0) , C(0,3) (1)求经过A、B、 C 三点的抛物线的解析式; (2)过 C 点作 CD 平行于 x 轴交抛物线于点D,写出 D 点的坐标,并求AD、BC 的交点 E 的坐标; (3)若抛物线的顶点为P,连结 PC、PD,判断四边形CEDP 的形状,并说明理由 5解:(1)抛物线经过点C(0,3) ,可设抛物线的解析式为yax 2bx3(a0) 又抛物线经过点A(2,0) ,B(6
14、, 0) 4a2b3 0 36a6b 30 解得 a 4 1 b1 3 分 抛物线的解析式为y 4 1 x 2x3 4 分 (2)D 点的坐标为D(4, 3) 5 分 设直线 AD 的解析式为ymxn 把 A(2,0) ,D(4,3)代入,解得 m 2 1 ,n1 直线 AD 的解析式为y 2 1 x1 同理可求得直线BC 的解析式为y 2 1 x3 联立求得交点E 的坐标为 E(2,2) 8 分 (3)连结 PE 交 CD 于点 F y 4 1 x 2x3 4 1 ( x 2) 24 顶点 P 的坐标为P(2,4) 9 分 又 E(2, 2) ,C(0, 3) ,D(4, 3) PFEF1,
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