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1、圆难题压轴题答案解析 1. 解: (1)如图 1,设 O 的半径为r, 当点 A 在 C 上时,点E 和点 A 重合,过点A 作 AH BC 于 H, BH=AB?cosB=4 , AH=3 , CH=4, AC=5, 此时 CP=r=5; (2)如图 2,若 AP CE,APCE 为平行四边形, CE=CP, 四边形 APCE 是菱形, 连接 AC 、EP,则 ACEP, AM=CM= , 由( 1)知, AB=AC ,则 ACB= B, CP=CE=, EF=2=; (3)如图 3:过点 C 作 CNAD 于点 N, cosB= 4 5 , B45 , BCG90 , BGC45 , AE
2、G= BCG ACB= B, 当 AEG= B 时, A、E、G 重合, 只能 AGE= AEG , AD BC, GAE GBC, =,即=, 解得: AE=3 ,EN=AN AE=1 , CE= 2. 解: (1)若圆P 与直线 l 和 l2都相切, 当点 P 在第四象限时, 过点 P 作 PHx 轴,垂足为H,连接 OP,如图 1 所示 设 y=x 的图象与x 轴的夹角为 当 x=1 时, y= tan = =60 由切线长定理得:POH=(180 60 )=60 PH=1, tanPOH= OH= 点 P 的坐标为(, 1) 同理可得: 当点 P 在第二象限时,点P的坐标为(,1) ;
3、 当点 P 在第三象限时,点P的坐标为(, 1) ; 若圆 P 与直线 l 和 l1都相切,如图2 所示 同理可得:当点P 在第一象限时,点P 的坐标为(, 1) ; 当点 P 在第二象限时,点P的坐标为(,1) ; 当点 P 在第三象限时,点P的坐标为(, 1) ; 当点 P 在第四象限时,点P的坐标为(, 1) 若圆 P 与直线 l1和 l2都相切,如图3 所示 同理可得: 当点 P 在 x 轴的正半轴上时,点P 的坐标为(,0) ; 当点 P 在 x 轴的负半轴上时,点P 的坐标为(,0) ; 当点 P 在 y 轴的正半轴上时,点P 的坐标为( 0,2) ; 当点 P 在 y 轴的负半轴
4、上时,点P 的坐标为( 0, 2) 综上所述:其余满足条件的圆P 的圆心坐标有: (, 1) 、 (,1) 、 (, 1) 、 (,1) 、 (,1) 、 (, 1) 、 (, 1) 、 (,0) 、 (,0) 、 (0,2) 、 (0, 2) (2)用线段依次连接各圆心,所得几何图形,如图4 所示 由图可知:该几何图形既轴对称图形,又是中心对称图形, 由对称性可得:该几何图形的所有的边都相等 该图形的周长=12 () =8 3. (1)解:连接OB,OD, DAB=120 ,所对圆心角的度数为240 , BOD=120 , O 的半径为3, 劣弧的长为:3=2 ; (2)证明:连接AC ,
5、AB=BE ,点 B 为 AE 的中点, F 是 EC 的中点, BF 为 EAC 的中位线, BF=AC, =, +=+, =, BD=AC , BF=BD; (3)解:过点B 作 AE 的垂线,与 O 的交点即为所求的点P, BF 为 EAC 的中位线, BFAC , FBE= CAE, =, CAB= DBA , 由作法可知BPAE, GBP=FBP, G 为 BD 的中点, BG=BD, BG=BF , 在 PBG 和 PBF 中, , PBG PBF( SAS) , PG=PF 4. 解: (1) l1l2, O 与 l1,l2都相切, OAD=45 , AB=4cm,AD=4cm
6、, CD=4cm,AD=4cm , tanDAC=, DAC=60 , OAC 的度数为:OAD+ DAC=105 , 故答案为: 105; (2)如图位置二,当O1,A1, C1恰好在同一直线上时,设O1与 l1的切点为 E, 连接 O1E,可得 O1E=2,O1El1, 在 RtA1D1C1中, A1D1=4,C1D1=4 , tanC1A1D1= , C1A1D1=60 , 在 RtA1O1E 中, O1A1E=C1A1D1=60 , A1E= =, A1E=AA1 OO12=t2, t2=, t=+2, OO1=3t=2 +6; (3)当直线AC 与 O 第一次相切时,设移动时间为t1
7、, 如图,此时 O 移动到 O2的位置,矩形ABCD 移动到 A2B2C2D2的位置, 设 O2与直线 l1,A2C2分别相切于点F, G,连接 O2F,O2G,O2A2, O2Fl1, O2GA2G2, 由( 2)得, C2A2D2=60 , GA2F=120 , O2A2F=60 , 在 RtA2O2F 中, O2F=2, A2F= , OO2=3t,AF=AA 2+A2F=4t1+, 4t1+ 3t1=2, t1=2 , 当直线 AC 与 O 第二次相切时,设移动时间为t2, 记第一次相切时为位置一,点O1,A1, C1共线时位置二,第二次相切时为位置三, 由题意知,从位置一到位置二所用
8、时间与位置二到位置三所用时间相等, +2( 2)=t2(+2) , 解得: t2=2+2 , 综上所述,当d2 时, t 的取值范围是:2 t2+2 5.解: (1)证明:如图1, CE 为 O 的直径, CFE= CGE=90 EGEF, FEG=90 CFE= CGE= FEG=90 四边形 EFCG 是矩形 (2) 存在 连接 OD,如图 2 , 四边形 ABCD 是矩形, A=ADC=90 点 O 是 CE 的中点, OD=OC 点 D 在 O 上 FCE= FDE, A= CFE=90 , CFE DAB =() 2 AD=4 ,AB=3 , BD=5 , SCFE=() 2?S D
9、AB = 3 4 = S矩形ABCD=2SCFE = 四边形 EFCG 是矩形, FCEG FCE= CEG GDC=CEG, FCE=FDE, GDC=FDE FDE+ CDB=90 , GDC+CDB=90 GDB=90 当点 E 在点 A(E )处时,点F 在点 B(F )处,点G 在点 D( G 处,如图2 所示 此时, CF=CB=4 当点F 在点 D(F )处时,直径F G BD , 如图 2 所示, 此时 O 与射线 BD 相切, CF=CD=3 当 CF BD 时, CF 最小,此时点F到达 F, 如图 2 所示 SBCD=BC?CD=BD ?CF 4 3=5 CF CF= C
10、F 4 S矩形 ABCD=, () 2 S 矩形ABCD 4 2 S矩形 ABCD 12 矩形 EFCG 的面积最大值为12,最小值为 GDC=FDE= 定值,点G 的起点为D,终点为G , 点 G 的移动路线是线段DG GDC=FDE, DCG =A=90 , DCG DAB = = DG = 点 G 移动路线的长为 来 6.解: (1)以 AB 为边,在第一象限内作等边三角形ABC , 以点 C 为圆心, AC 为半径作 C,交 y 轴于点 P1、P2 在优弧 AP1B 上任取一点 P,如图 1, 则 APB=ACB= 60 =30 使 APB=30 的点 P 有无数个 故答案为:无数 (
11、2) 当点 P 在 y 轴的正半轴上时, 过点 C 作 CGAB ,垂足为G,如图 1 点 A(1, 0) ,点 B(5,0) , OA=1 ,OB=5 AB=4 点 C 为圆心, CGAB , AG=BG=AB=2 OG=OA+AG=3 ABC 是等边三角形, AC=BC=AB=4 CG= = =2 点 C 的坐标为( 3,2) 过点 C 作 CDy 轴,垂足为D,连接 CP2,如图 1, 点 C 的坐标为( 3,2) , CD=3 ,OD=2 P1、P2是 C 与 y 轴的交点, AP1B= AP2B=30 CP2=CA=4 ,CD=3 , DP2= = 点 C 为圆心, CDP1P2,
12、P1D=P2D= P2(0,2) P1(0,2+) 当点 P 在 y 轴的负半轴上时, 同理可得: P3(0, 2) P4(0, 2+) 综上所述:满足条件的点P的坐标有: (0,2) 、 (0,2+) 、 (0, 2) 、 (0, 2+) (3)当过点A、B 的 E 与 y 轴相切于点P时, APB 最大 当点 P 在 y 轴的正半轴上时, 连接 EA,作 EHx 轴,垂足为H,如图 2 E 与 y 轴相切于点P, PEOP EHAB ,OP OH, EPO=POH=EHO=90 四边形 OPEH 是矩形 OP=EH,PE=OH=3 EA=3 EHA=90 ,AH=2 ,EA=3 , EH=
13、 = = OP= P(0,) 当点 P 在 y 轴的负半轴上时, 同理可得: P(0,) 理由: 若点 P 在 y 轴的正半轴上, 在 y 轴的正半轴上任取一点M(不与点P重合), 连接 MA ,MB ,交 E 于点 N,连接 NA ,如图 2 所示 ANB 是 AMN 的外角, ANB AMB APB= ANB , APB AMB 若点 P 在 y 轴的负半轴上, 同理可证得:APB AMB 综上所述:当点P在 y 轴上移动时,APB 有最大值, 此时点 P的坐标为( 0,)和( 0,) 7解答:证明: (1)如图,连接PM,PN, P 与 x 轴, y 轴分别相切于点M 和点 N, PMM
14、F ,PNON 且 PM=PN, PMF=PNE=90 且 NPM =90 , PEPF, NPE=MPF =90 MPE, 在 PMF 和 PNE 中, PMF PNE(ASA) , PE=PF, (2)解:当t 1 时,点 E 在 y 轴的负半轴上,如图, 由( 1)得 PMF PNE, NE=MF=t, PM=PN=1, b=OF=OM+MF =1+t,a=NEON=t1, ba=1+t( t1)=2, b=2+a, 0t1时,如图2,点 E 在 y 轴的正半轴或原点上, 同理可证 PMF PNE, b=OF=OM+MF =1+t,a=ONNE=1t, b+a=1+t+1t=2, b=2
15、a, (3)如图 3, ()当1 t2 时, F(1+t,0) ,F 和 F 关于点 M 对称, F( 1t,0) 经过 M、E 和 F 三点的抛物线的对称轴交x 轴于点 Q, Q(1t,0) OQ=1t, 由( 1)得 PMF PNE NE=MF=t, OE=t1 当 OEQ MPF =, 解得, t=,当 OEQ MFP 时,=, =,解得, t=, ()如图4,当 t2 时, F(1+t,0) ,F 和 F 关于点 M 对称, F( 1t,0) 经过 M、E 和 F 三点的抛物线的对称轴交x 轴于点 Q, Q(1t,0) OQ=t1, 由( 1)得 PMF PNE NE=MF=t, OE
16、=t 1 当 OEQ MPF =,无解, 当 OEQ MFP 时,=,=,解得, t=2, 所以当 t=,t=,t=2时,使得以点Q、O、E 为顶点的三角形与以点P、M、F 为顶点的三角形相似 8.答: : (1) DF AB,EFAC, BDF=CEF=90 ABC 为等边三角形, B=C=60 BDF=CEF, B=C, BDF CEF ( 2) BDF =90 , B=60 , sin60 =,cos60 = BF=m, DF=m,BD= AB=4, AD=4 SADF=AD ? DF = (4) m =m 2+ m 同理: SAEF=AE?EF = (4) (4m) =m 2+2 S=
17、SADF+SAEF =m 2+ m+2 =(m 24m8) =(m2) 2+3 其中 0m4 0,024, 当 m=2 时, S取最大值,最大值为3 S与 m 之间的函数关系为: S (m2) 2+3 (其中 0m4) 当 m=2 时, S取到最大值,最大值为3 ( 3)如图 2, A、D、F、E 四点共圆, EDF=EAF ADF=AEF=90 , AF 是此圆的直径 tanEDF =, tanEAF= = C=60 , =tan60 = 设 EC=x,则 EF=x,EA=2x AC=a, 2x+x=A x= EF=,AE= AEF=90 , AF= 此圆直径长为 9. 解答:解 : (1)
18、连接 OA,过点 B 作 BH AC,垂足为H,如图 1 所示 AB与 O 相切于点 A, OAAB OAB=90 OQ=QB=1 , OA=1 AB= = = ABC是等边三角形, AC=AB=, CAB=60 sinHAB=, HB=AB?sinHAB = = S ABC=AC?BH = = ABC的面积为 ( 2)当点A 与点 Q 重合时, 线段 AB与圆 O 只有一个公共点,此时=0; 当线段A1B 所在的直线与圆O 相切时,如图2 所示, 线段 A1B与圆 O 只有一个公共点, 此时 OA1BA1,OA1=1,OB=2, cosA1OB= A1OB=60 当线段AB 与圆 O 只有一
19、个公共点(即A 点)时, 的范围为: 060 ( 3)连接 MQ,如图 3 所示 PQ是 O 的直径, PMQ=90 OAPM, PDO=90 PDO= PMQ PDO PMQ = PO=OQ=PQ PD=PM,OD=MQ 同理: MQ=AO,BM=AB AO=1, MQ= OD= PDO=90 ,PO=1,OD=, PD= PM= DM= ADM=90 ,AD=A0OD=, AM= = ABC是等边三角形, AC=AB=BC , CAB=60 BM=AB, AM=BM CMAB AM=, BM=, AB= AC= CM= CM 的长度为 10. 解答:( 1)证明: CD是 O 的直径, D
20、FC=90 , 四边形ABCD是平行四边形, A=C,ADBC, ADF=DFC=90 , DE为 O 的切线, DEDC, EDC=90 , ADF=EDC=90 , ADE= CDF , A=C, ADE CDE ; ( 2)解: CF:FB=1: 2, 设 CF=x ,FB=2x,则 BC=3x , AE=3EB , 设 EB=y ,则 AE=3y,AB=4y, 四边形ABCD是平行四边形, AD=BC=3x , AB=DC=4y , ADE CDF , =, =, x、y 均为正数, x=2y, BC=6y,CF=2y , 在 RtDFC中, DFC=90 , 由勾股定理得:DF=2y
21、, O 的面积为? (DC)2=?DC2= (4y)2=4y2 , 四边形 ABCD的面积为BC?DF=6y?2y=12y2, O 与四边形ABCD的面积之比为4y2 :12y2= :3 11. ( 1)证明:, DPF=180 APD=180 所对的圆周角 =180 所对的圆周角 =所对 的圆周角 =APC 在 PAC 和PDF 中, , PAC PDF ( 2)解:如图 1,连接 PO,则由,有 POAB ,且 PAB=45 ,APO、AEF 都为等腰直角三角形 在 RtABC 中, AC=2BC , AB 2=BC2+AC2=5BC2, AB=5 , BC=, AC=2, CE=AC ?
22、sinBAC=AC ?=2?=2, AE=AC ?cosBAC=AC ?=2?=4, AEF 为等腰直角三角形, EF=AE=4 , FD=FC+CD= (EFCE)+2CE=EF+CE=4+2=6 APO 为等腰直角三角形,AO=?AB= , AP= PDF PAC, , , PD= ( 3)解:如图2,过点 G 作 GHAB,交 AC 于 H,连接 HB,以 HB 为直径作圆, 连接 CG 并延长交 O 于 Q, HCCB,GHGB, C、 G 都在以 HB 为直径的圆上, HBG= ACQ, C、 D 关于 AB 对称, G 在 AB 上, Q、 P 关于 AB 对称, , PCA=AC
23、Q, HBG= PCA PAC PDF, PCA=PFD=AFD , y=tanAFD=tan PCA=tanHBG= HG=tan HAG ?AG=tanBAC ?AG=, y=x 12. 解答:解: (1)证明:连接OH,如图 所示 四边形 ABCD 是矩形, ADC= BAD=90 , BC=AD ,AB=CD HPAB , ANH+ BAD=180 ANH=90 HN=PN=HP= OH=OA=, sinHON= HON=60 BD 与 O 相切于点H, OHBD HDO=30 OD=2 AD=3 BC=3 BAD=90 , BDA=30 tanBDA= AB=3 HP=3, AB=H
24、P AB HP, 四边形 ABHP 是平行四边形 BAD=90 ,AM 是 O 的直径, BA 与 O 相切于点A BD 与 O 相切于点H, BA=BH 平行四边形ABHP 是菱形 (2)EFG 的直角顶点G 能落在 O 上 如图 所示,点G 落到 AD 上 EFBD, FEC= CDB CDB=90 30 =60 , CEF=60 由折叠可得:GEF=CEF=60 GED=60 CE=x, GE=CE=x ED=DC CE=3x cosGED= x=2 GE=2,ED=1 GD= OG=AD AOGD=3= OG=OM 点 G 与点 M 重合 此时 EFG 的直角顶点G 落在 O 上,对应
25、的x 的值为 2 当 EFG 的直角顶点G 落在 O 上时,对应的x 的值为 2 (3) 如图 , 在 RtEGF 中, tanFEG= FG=x S=GE?FG=x?x=x2 如图 , ED=3x,RE=2ED=6 2x, GR=GEER=x( 62x)=3x6 tanSRG=, SG=(x2) SSGR=SG?RG=? (x2)?(3x6) =( x2) 2 SGEF= x 2, S=SGEFSSGR =x 2 (x2)2 =x 2+6 x6 综上所述:当0 x 2 时, S=x2;当 2x 3 时, S=x2+6 x6 当 FG 与 O 相切于点T 时,延长FG 交 AD 于点 Q,过点
26、 F 作 FKAD ,垂足为 K,如图 所示 四边形 ABCD 是矩形, BCAD , ABC= BAD=90 AQF= CFG=60 OT=, OQ=2 AQ=+2 FKA= ABC= BAD=90 , 四边形 ABFK 是矩形 FK=AB=3 , AK=BF=3x KQ=AQ AK= (+2)( 3x)=22+x 在 RtFKQ 中, tanFQK= FK=QK 3=(22+x) 解得: x=3 0 3 2, S=x2= (3) 2 =6 FG 与 O 相切时, S 的值为6 13 解答:(1)证明:连结OC、OE,OE交 AB 于 H,如图 1, E是弧 AB的中点, OEAB, EHF
27、=90 , HEF+ HFE=90 , 而 HFE= CFD , HEF+ CFD=90 , DC=DF , CFD= DCF , 而 OC=OE , OCE= OEC , OCE+ DCE= HEF+ CFD=90 , OCCD, 直线 DC与 O 相切; (2)解:连结BC, E是弧 AB的中点, 弧 AE=弧 BE , ABE= BCE , 而 FEB= BEC , EBF ECB , EF : BE=BE :EC , EF?EC=BE 2=(r)2=r2; (3)解:如图2,连结 OA, 弧 AE=弧 BE , AE=BE=r , 设 OH=x,则 HE=rx, 在 RtOAH中, A
28、H2+OH2=OA2,即 AH2+x2=r2, 在 RtEAH中, AH2+EH2=EA2 ,即 AH2+(rx) 2=(r)2, x2( rx)2=r2( r)2,即得 x=r, HE=rr=r, 在 RtOAH中, AH=, OEAB, AH=BH, 而 F是 AB的四等分点, HF=AH=, 在 RtEFH中, EF=r, EF?EC=r 2, r?EC=r2, EC=r 14. 解: (1)连结 O1A、 O2B,如图,设 O1 的半径为r, O2的半径为R, O1与 O2外切与点D, 直线 O1O2 过点 D, MO2=MD+O2D=4+R, 直线 l 与两圆分别相切于点A、B, O
29、1A AB,O2BAB, tanAM01=, AM01=30 , 在 RtMBO2 中, MO2=O2B=2R, 4+R=2R ,解得 R=4, 即 O2的半径为4; (2) AM02=30 , MO2B=60 , 而 O2B=O2D, O2BD为等边三角形, BD=O2B=4, DBO2=60 , ABD=30 , AM01=30 , MO1A=60 , 而 O1A=O1D, O1AD=O1DA, O1AD=MO1A=30 , DAB=60 , ADB=180 30 60 =90 , 在 RtABD 中, AD=BD=4, AB=2AD=8, ADB内切圆的半径=22, ADB内切圆的面积=
30、? ( 22)2=(168) ; (3)存在 在 RtMBO2 中, MB=O2B=4=12, 当 MO2P MDB 时,=,即=,解得 O2P=8; 当 MO2P MBD 时,=,即=,解得 O2P=8, 综上所述,满足条件的O2P的长为 8 或 8 15. 解: (1)连接 PA,如图 1 所示 POAD, AO=DO AD=2, OA= 点 P坐标为( 1,0) , OP=1 PA=2 BP=CP=2 B( 3,0) ,C(1,0) (2)连接 AP,延长 AP交 P于点 M,连接 MB、MC 如图 2 所示,线段MB、MC 即为所求作 四边形 ACMB 是矩形 理由如下: MCB由 A
31、BC绕点 P旋转 180 所得, 四边形ACMB是平行四边形 BC是 P的直径, CAB=90 平行四边形ACMB 是矩形 过点 M 作 MHBC,垂足为H,如图 2 所示 在 MHP 和 AOP 中, MHP= AOP, HPM=OPA ,MP=AP, MHP AOP MH=OA=,PH=PO=1 OH=2 点 M 的坐标为( 2,) (3)在旋转过程中MQG 的大小不变 四边形ACMB是矩形, BMC=90 EGBO, BGE=90 BMC= BGE=90 点 Q 是 BE的中点, QM=QE=QB=QG 点 E 、 M、 B、G在以点 Q 为圆心, QB为半径的圆上,如图3 所示 MQG
32、=2MBG COA=90 ,OC=1, OA=, tanOCA= OCA=60 MBC= BCA=60 MQG=120 在旋转过程中MQG 的大小不变,始终等于120 16解: (1)如图 1, AB 是 O 的直径, AEB=90 AEBC (2)如图 1, BF 与 O 相切, ABF=90 CBF=90 ABE= BAE BAF=2 CBF BAF=2 BAE BAE= CAE CBF= CAE CGBF,AEBC, CGB=AEC=90 CBF= CAE , CGB=AEC, BCG ACE (3)连接 BD,如图 2 所示 DAE= DBE, DAE= CBF, DBE= CBF A
33、B 是 O 的直径, ADB=90 BD AF DBC= CBF,BD AF,CGBF, CD=CG F=60 , GF=1, CGF=90 , tanF=CG=tan60 = CG=, CD= AFB=60 , ABF=90 , BAF=30 ADB=90 , BAF=30 , AB=2BD BAE= CAE, AEB= AEC , ABE= ACE AB=AC 设 O 的半径为r,则 AC=AB=2r ,BD=r ADB=90 , AD=r DC=AC AD=2r r=(2)r= r=2+3 O 的半径长为2+3 17 解答:解: (1)当 k=1 时,抛物线解析式为y=x 21,直线解析
34、式为 y=x+1 联立两个解析式,得:x21=x+1, 解得: x=1 或 x=2, 当 x=1 时, y=x+1=0 ;当 x=2 时, y=x+1=3 , A( 1,0) ,B( 2,3) (2)设 P(x,x 21) 如答图 2 所示,过点P 作 PFy 轴,交直线AB 于点 F,则 F(x,x+1) PF=yF yP=(x+1)( x21)=x 2+x+2 SABP=SPFA+SPFB=PF(xFxA )+PF(xBxF)=PF(xBxA )=PF SABP= ( x 2+x+2)=( x)2+ 当 x=时, yP=x 21= ABP 面积最大值为,此时点P 坐标为(,) (3)设直线
35、AB: y=kx+1 与 x 轴、 y 轴分别交于点E、F, 则 E(, 0) ,F(0,1) ,OE=,OF=1 在 RtEOF 中,由勾股定理得:EF= 令 y=x 2+(k1)xk=0,即( x+k ) (x1)=0,解得: x=k 或 x=1 C( k,0) ,OC=k 假设存在唯一一点Q,使得 OQC=90 ,如答图3 所示, 则以 OC 为直径的圆与直线AB 相切于点Q,根据圆周角定理,此时OQC=90 设点 N 为 OC 中点,连接NQ,则 NQEF,NQ=CN=ON= EN=OE ON= NEQ=FEO, EQN= EOF=90 , EQN EOF, ,即:, 解得: k=,
36、k0, k= 存在唯一一点Q,使得 OQC=90 ,此时 k= 18解: (1)设抛物线为y=a(x4) 21, 抛物线经过点A(0,3) , 3=a( 04) 2 1, ; 抛物线为; (3 分) ( 2)相交 证明:连接CE,则 CEBD , 当时, x1=2,x2=6 A(0,3) ,B(2,0) ,C(6,0) , 对称轴 x=4, OB=2,AB=,BC=4, ABBD , OAB+ OBA=90 , OBA+ EBC=90 , AOB BEC , =,即=,解得 CE=, 2, 抛物线的对称轴l 与 C 相交(7 分) ( 3)如图,过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点 Q;
37、可求出 AC 的解析式为; (8 分) 设 P点的坐标为(m,) , 则 Q 点的坐标为(m,) ; PQ=m+3( m22m+3) =m2+m SPAC=SPAQ+SPCQ= ( m2+m) 6 =( m3) 2+ ; 当 m=3 时, PAC 的面积最大为; 此时, P 点的坐标为(3,) (10 分) 19、 【解】 : (1)如图 1,设 O 与 AB、BC、CA 的切点分别为 D、E、F,连接 OD、 OE、OF,则 AD=AF,BD=BE,CE=CF O 为 ABC 的内切圆, OFAC,OEBC,即 OFC =OEC=90 C=90 , 四边形 CEOF 是矩形, OE=OF,
38、四边形 CEOF 是正方形 设 O 的半径为 rcm,则 FC=EC=OE=rcm, 在 RtABC 中, ACB=90 ,AC=4cm,BC=3cm, AB=5cm AD=AF=ACFC=4r,BD=BE=BC EC=3r , 4r+3r=5, 解得r=1,即 O 的半径为1cm (2)如图 2,过点 P 作 PGBC,垂直为G PGB=C=90 , PG AC PBG ABC, BP=t, PG=,BG= 若 P 与 O 相切,则可分为两种情况,P 与 O 外切, P 与 O 内切 当 P 与 O 外切时, 如图 3,连接 OP,则 OP=1+t,过点 P 作 PHOE,垂足为H PHE=
39、HEG=PGE=90 , 四边形 PHEG 是矩形, HE=PG,PH=CE, OH=OEHE=1,PH=GE=BCECBG=3 1=2 在 RtOPH 中, 由勾股定理, 解得t= 当 P 与 O 内切时, 如图 4,连接 OP,则 OP=t1,过点 O 作 OMPG,垂足为M MGE=OEG=OMG =90 , 四边形 OEGM 是矩形, MG=OE, OM=EG, PM=PGMG=,OM=EG=BCECBG=31=2, 在 RtOPM 中, 由勾股定理,解得t=2 综上所述, P 与 O 相切时, t=s 或 t=2s 20. : (1)如图 2,连接 OA、OB、OC、 OD S=SAOB+SBOC+SCOD+SAOD= +=, r= (2)如图 3,过点 D 作 DEAB 于 E, 梯形 ABCD 为等腰梯形, AE=5, EB=ABAE=215=16 在 RtAED 中, AD=13,AE=5, DE=12, DB=20 SABD= =126, SCDB=66, =
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