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1、【知识点一:实数的分类】 整数(包括正整数,零,负整数) 有理数有限小数和无限循环小数 分数(包括正分数,负分数) 实数 正无理数 无理数无限不循环小数 负无理数 【知识点二:数轴、相反数和绝对值】 数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴实数和数轴上的点一一对应. 相反数 符号不同、绝对值相等的两个数,叫做互为相反数从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点 对称。零的相反数是零。如果a与b互为相反数,则有0ba,ba,反之亦成立。 绝对值 在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值,记作a.a0. 【知识点三:科学记数法、有效数字】 科学记数法:把一个数写成a 10 n的形
2、式 (其中 1 a 10,n是整数 ),这种记数法叫做科学记数法 . 如: 407000=4.0710 5, 0.000043=4.3 105 . 有效数字:一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做这个近似 数的有效数字. 【知识点四:数的乘方、平方根、算术平方根、立方根】 数的乘方:求相同因数的积的运算叫乘方,乘方运算的结果叫幂. 知识梳理 实数 平方根的定义:如果一个数x的平方等于a,那么这个数x就叫做a的平方根 . 2 (0) (0) xa a xa a (注意:我们把正的一个平方根,叫做算术平方根,记为a) a(a0) 0a aa 2 ;注意a的双重
3、非负性: a(a 0) a0 平方根的性质 一个正数有两个平方根,且它们互为相反数;0 有一个平方根是0,负数没有平方根。 立方根的定义:如果一个数x的立方等于a,那么这个数x就叫做a的立方根 . 为任意实数 为任意实数 aax aax 3 3 立方根的性质 正数有一个正的立方根,负数有一个负的立方根,0 的立方根有一个,是0。 被开方数的取值范围 1、a中的被开方数a是非负数,即 0a ; 2、 3 a中的被开方数可以是任何实数. 【知识点五:非负性的应用】 若几个非负数的和为零,则每个非负数都为零,这个性质在代数式求值中经常被使用 初中阶段的三个非负数:0a,0 2 a,0a (注意咯,下
4、面可是黄金部分!) 考点一:无理数的识别。 例 1 :实数 , 1 5 ,0,-1 中,无理数是() AB 1 5 C0 D-1 变式 1:下列各数中, 3.14159, 3 8,0.131131113 ,- ,25, 1 7 ,无理数的个数有() 知识典例 A1 个B 2 个C3 个D4 个 考点二、实数的有关概念。 例 2 :( 2014 汕尾) 2的倒数是 ( ) A2 B 2 1 C 2 1 D1来源 :Z#xx#k.Co 例 3 :如果 +30m 表示向东走30m,那么向西走40m 表示为() A+40m B -40m C+30m D-30m 例 4 :16 的平方根是() A4 B
5、 4 C8 D 8 例 5 :-2的绝对值是() A2B -2C 2 2 D- 2 2 变式 2:如果收入50 元,记作 +50 元,那么支出30 元记作() A+30 B -30 C+80 D-80 变式 3:实数 4 的算术平方根是() A-2 B 2 C 2 D 4 变式 4:2的相反数是() A2B 2 2 C-2D- 2 2 变式 5:-3 的相反数是; -3 的倒数是。 变式 6:-2013 的绝对值是 变式 7:实数 -8 的立方根是 考点三:实数与数轴。 例 6 :实数 a 在数轴上的位置如图所示,则|a-2.5|=() Aa-2.5 B 2.5-a Ca+2.5 D-a-2.
6、5 变式 8:如图,数轴上的点A、B 分别对应实数a、b,下列结论中正确的是() Aab B |a|b| C-ab D a+b0 考点四:科学记数法。 例 7 :花粉的质量很小,一粒某种植物花粉的质量约为0.000037 毫克,已知1 克=1000 毫克,那么0.000037 毫 克可用科学记数法表示为() A3.7 10 -5 克B 3.7 10-6克C37 10-7克D3.7 10 -8 克 变式 9:2012 年,我国财政性教育经费支出实现了占国内生产总值比例达4%的目标,其中在促进义务教育均衡 方面,安排农村义务教育经费保障机制改革资金达865.4 亿元,数据 “865.4 亿元 ”
7、用科学记数法可表示为() 元 A865 10 8 B 8.65 10 9 C8.65 10 10 D0.865 10 11 变式 10:2013 年,我国上海和安徽首先发现“H7N9 ” 禽流感, H7N9 是一种新型禽流感,其病毒颗粒呈多形性, 其中球形病毒的最大直径为0.00000012 米,这一直径用科学记数法表示为() A1.2 10 -9 米B 1.2 10-8米C12 10-8米D1.2 10 -7 米 考点五:非负数的性质(拓展考点) 例 8 :若 a,b 为实数,且 |a+1|+1b=0,则( ab) 2013 的值是() A0 B 1 C-1 D 1 变式 11:已知实数x,
8、y,m 满足2x+|3x+y+m|=0 ,且 y 为负数,则m 的取值范围是() Am6 B m 6 Cm-6 Dm-6 1. 16 的算术平方根() A、4 B、 4 C 、2 D、 2 2.64 的平方根的立方根是;4的平方根为 _ 3森林是地球之肺,每年能为人类提供大约28.3 亿吨的有机物28.3 亿吨用科学记数法表示为() A28.3 10 7 B 2.83 10 8 C0.283 10 10 D2.83 10 9 4.已知 2x的平方根是2,72yx的立方根是3,求 22 yx的平方根 5.已知21m的算术平方根是3 ,31mn的立方根是1,p是11的整数部分, 则 2 23pnm
9、的平方根 6. 2-2, 33 22 10,0,125,0.1010010001,10 ,0.3, 72 中无理数的个数有() A.2 个 B.3个 C.4个 D.5个 7. 有下列命题: 强化训练 有限小数是无理数;算术平方根等于它本身的数只有0;无理数是无限小数. 实数与数轴上的点一一对应;互为相反数的两个数的立方根也互为相反数. 其中真命题有() A.0 个 B.1个 C.2个 D.3个 8.下列说法中,正确的是() A. 不带根号的数不是无理数B. 8 的立方根是2 C. 绝对值是3的实数是3D. 每个实数都对应数轴上一个点 9.已知 x、y 为实数,且499xxy则yx的值为 10.
10、 已知 2 41 ) 16 1 ( 4 12x yx,则xy的立方根 11.已知 3 4x,且 2 (21)yz+3z=0,则 33 3 xyz的值 12.已知0 5 25-2 2 x xxy ,求7(xy) 20的立方根。 13.若477.530,732.13,那么03. 0的值为() A0.5477 B0.05477 C0.1732 D0.0173 14. 若错误!未找到引用源。是整数,请写出小于10 的 a 整数值 _ 15. 计算:)3223(3-2= 16. 若2x,则化简 2 )2(x+|3-x|=( ) A 、 -1 B、1 C、2x-5 D、5-2x 课后作业 1、实数 a、b
11、、c 在数轴上的对应点如图2-C-1 ,求 a+ 2 abcbc+-的值。 a b 0 c 2、 (2013?宜宾)据宜宾市旅游局公布的数据,今年“ 五一 ” 小长假期间,全市实现旅游总收入330000000 元将 330000000 用科学记数法表示为() A3.3 10 8 B 3.3 10 9 C3.3 10 7 D0.33 10 10 3、已知 () 2 2 39 0 3 xyx x -+- = + ,求 x y 的值。 4、求使 a a a 4 1 3 1 3 有意义的a 的取值范围。 5、已知0 5 25-2 2 x xxy ,求 7(xy) 20 的立方根。 6、已知: x,y,
12、z满足关系式yxyxzyxzyx20122012223,试求 x,y,z 的值。 7、已知一个数的平方根是13a和11a,求这个数的立方根. 8、观察下列各式: 3 2 2 3 2 2, 8 3 3 8 3 3, 15 4 4 15 4 4,, . (1) 请验证以上各式是否成立,并写出验证过程; (2) 用含字母n 的式子表示以上规律,并加以证明. 实数的运算 1、比较实数的大小及估算 ( 1)数轴比较:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。 ( 2)求差比较:设 a、b是实数,,0baba,0baba.0baba ( 3)求商比较法:设a、b是两个正实数 , .1 ,1 ,1 ba
13、 b a ba b a ba b a 2、实数的混合运算法则:先算乘方,再算乘除,最后算加减; 如果有括号,先算括号里面的 3、实数的运算律: 加法交换律abba 加法结合律)()(cbacba 乘法交换律baab 乘法结合律)()(bcacab 乘法对加法的分配律acabcba)( 4、二次根式的化简: 知识梳理 5、最简二次根式应满足的条件: 被开方数中不含有能开得尽的因数或因式; 根号内不含分母; 分母上没有根号 6、二次根式的乘法、除法公式: (1) abba0,0 ba (2) b a b a 0,0 ba 7、二次根式运算注意事项: (1)二次根式相加减,先把各根式化为最简二次根式
14、,再合并同类二次根式,防止:该化简的没化简; 不该合并的合并;化简不正确;合并出错 (2)二次根式的乘除法常用乘法公式或除法公式来简化计算,运算结果一定写成最简二次根式或整式 (注意咯,下面可是黄金部分!) 考点一:实数的大小比较。 例 1 :如图,数轴上A、B 两点表示的数分别为2和 5.1,则 A、B 两点之间表示整数的点共有() A6 个B 5 个C4 个D3 个 变式 1:下列四个实数中,绝对值最小的数是() A-5 B -2C1 D4 变式 2:比较大小:(填 “ ”“”“=”) 考点二:估算无理数的大小 例 2 :估计11的值 在()之间 A1 与 2 之间B 2 与 3 之间C3
15、 与 4 之间D4 与 5 之间 变式 3: 科 3+ 3 的整数部分是a,3- 3 的小数部分是b,则 a+b 等于 考点三:有关绝对值的运算 知识典例 例 3 : 在数轴上, 点 A (表示整数a) 在原点 的左侧,点 B (表示整数b) 在原点的右侧 若|a-b|=2013, 且 AO=2BO , 则 a+b 的值为 变式 4:已知0 | ab ab ,则 | ab ab 的值为 考点四:实数的混合运算。 例 4 :计算: 2013 0+(1 2 ) -1-2sin60 -|3-2|= 变式 5:计算: 3 8+2cos60 -( -2 -1)0 考点五:实数中的规律探索。 例 5 :(
16、2013?红河州模拟)计算:31+1=4,32+1=10,33+1=28,34+1=82, 35+1=244,归纳计算结果中的个 位数字的规律,猜测32009+1 的个位数字是 变式 6:有规律排列的一列数:2,4,6,8,10,12,, 它的每一项可用式子2n(n是正整数)来表示则下 列有规律排列的一列数: 1,4, 7,10,13,16,, (1)它的每一项你认为可用怎样的式子来表示? (2)它的第 100 个数是多少? (3)2011 是不是这列数中的数?如果是,是第几个数? 1在 - 1 2 ,- 1 3 , -2, -1 这四个数中,最大的数是() A- 1 2 B - 1 3 C-
17、2 D-1 2. 比较2、 3 3与 4 5的大小关系 3. 估算272的值 ( ) A在 1 到 2 之间B在 2 到 3 之间C在 3 到 4 之间D在 4 到 5 之间 4数轴上的点A 表示的数是1,点 B 表示的数是,则点 B 关于点 A 的对称点B 点表示的数为() A2 B2 C1 D0 5计算:+|1|+() 1 强化训练 6计算: 2sin30 () 2+( ) 0 +( 1) 2012 7 8. 若 x 是不等于1 的实数,我们把称为 x 的差倒数,如3 的差倒数为, 5的差倒数为 现已知 x1= ,x1的差倒数是 x2,x2的差倒数是x3, ,以此类推, x2013的值是多
18、少? 课后作业(提高) 1、若 a+b0,a 0,b0,则 a,-a,b,-b 的大小关系为() 。 A. a -bb-a B. -ba-ab C.a-b -a b D.-ba b-a 2、估计 51 2 - 与 0.5 大小关系是 51 2 - 0.5(填“”“=”或“)。 3、比较27+与36+的大小 . 4、已知 a,b 均为有理数,且满足等式5-2a=2b+ 2 2 3 a-,求 a,b 的值 . 5、若 a0, a b 0,则()() 2 2 41baab-+的结果是() . A.-3 B.3 C.2a+2b+3 C.-2a+2b-5 6、( 2013?南京)设边长为3 的正方形的对
19、角线长为a下列关于a 的四种说法:a 是无理数;a可以用 数 轴上的一个点来表示;3a4; a 是 18 的算术平方根其中,所有正确说法的序号是()来源 学科 网 Z|X|X|K ABCD 7、 (盐城中考)计算12-()() 0 21 232. 16 - + - 8、已知 a,b 均为有理数,且满足等式5-2a=2b+ 2 2 3 a-,求 a,b 的值 . 9、比较下列各组数的大小。 (1) 3 2 3-7-与(2) 8 5 2 5-3 与 10、已知75的小数部分是a,7-5的小数部分是b,求 a+b 的值。 11、已知 a 满足 |2008-a|+2009a=a,求 a- 2 2008的值。 12、利用估算比较32与23的大小 . 13、定义一种新的运算a b=a b,如 23=23=8,那么请试求( 32) 2= 14、计算: ( 1 3 ) -1- 3-1) 0+|1 2 - 2 3 |。 15、计算: (-1) 2013-|-2|+( 3-) 03 8+( 1 4 ) -1 16、计算: |-3|+ 3?tan30 - 3 8-(2013-) 0
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