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1、1 利用函数思想解题策略 刘厚顺 函数是高中数学中的重要内容,函数思想是最基本的数学思想函数的 有关概念、 性质以及几类典型的常用函数是函数思想的载体,解题时可利用 的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性、连续性、特 殊点处的函数值、函数图象的变化趋势、函数图象的某种对称性等去解决问 题 1利用函数概念 例 1 曲线 C是定义在R上的函数 yf(x)的图象,则 ( ) A曲线 C 与直线 x1 可能有两个交点 B 曲线 C 与直线 x1 一定 有一个交点 C曲线 C 与直线 x1 一定有两个交点 D 曲线 C 与直线 y1 有且 仅有一个交点 分析与解: 对于函数y=f(x)定
2、义域为A,值域为B ,则对任xA,都有 唯一的 yB 与之相对应,故选B 例 2 若函数 yf(x)存在反函数,则方程f(x)C(C为常数 ) A有且只有一个实根 B至少有一个实根 C 至多有一个实根 D没有实根 分析与解: 函数 yf(x)存在反函数,则此函数的对应必是一对一的, 若 C在函数 f(x)的值域中, 则必有唯一实根,若 C不在函数f(x)的值域中, 则无实根,选C 2利用函数的奇偶性 奇偶性 ( 即对称性 ) 是函数的又一重要性质,常利用它进行区间过渡,即 将不同区间的问题转化到同一区间中进行研究,从而达到化难为易之目的 (1) 利用函数奇偶性解方程( 组) 例 3 解方程 (
3、3x 3-4)3+4x3+x-4=0 ( 只求实数根 ) 分析与解:原方程可变为(3x 3-4)3+(3x3-4)=-(x3+x). ,令 f(x)=x 3+x , 易 证 f(x)是 奇 函 数 且 在R 上 是 增 函 数 , 方 程 就 是 f(3x 3-4)=-f(x)=f(-x) 。由 f(x) 的单调性知3x 3-4=-x ,即 3x3+x-4=0 ,此方 程显然有一根为1,故原方程就是(x-1)(3x 2+3x+1)=0 ,因为 3x 2+3x+1=0 无 实根,所以x=1 为原方程的实数根。 (2)利用函数奇偶性求值 例 4设 (2-3sinx+4sin 2x+5sin3 x)
4、 7 (2+3sinx+4sin 2x-5sin3x)7=a 0+a1sinx+a2si n 2x+ +a 42sin 42x, 求 a 1+a5+a9+a41的值。 分析与解: 令 f(x)=(2-3sinx+4sin 2x+5sin3x)7(2+3sinx+4sin2x-5sin3x)7 = a0+a1sinx+a 2sin 2x+a 42sin 42x, 易证 f(x) 是 R上的偶函数,故a1=a3=a5=a41=0, 所以 a1+a5+a9+a41=0. (3)利用函数奇偶性证明不等式 2 例 5求证:0 时, 1-4 x0,且 a 1,试比较 xloga(1-x)与 xloga(1
5、+x) 的大小。 分析与解: 设 f(x)=xloga(1-x)-xloga(1+x)=xloga x x 1 1 . 因为 f(x)=-xlog ax x 1 1 =-xlog a(x x 1 1 ) -1 =xloga x x 1 1 =f(x),所以f(x)是 偶函数,图像关于y 轴对称。 若 a1,由已知得-11,所以 loga x x 1 1 0, xlog ax x 1 1 xlog a(1+x). 综上,当a1 时, xloga(1-x)xlog a(1+x). 3利用函数的单调性 单调性是函数的重要性质,某些数学问题,通过函数的单调性,可将函 数值间的关系转化为自变量间的关系研
6、究,从而达到化繁为简的目的。特别 是在比较数式大小,证明不等式,求值或最值,解方程(组)等方面应用十 分广泛。 例 8 已知不等式 12 1 2 1 3 1 2 1 1 1 nnnn loga(a-1)+ 3 2 对于一切 大于 1 的自然数n 都成立,求实数a 的取值范围。 分析: 注意到不等式仅仅左边是与n 有关的式子,从函数的观点看,左 边是关于n 的函数,要使原不等式成立,转化为这函数的最小值大于右式, 如何求这个函数的最小值呢?这又是一个非常规问题,应该从研究此函数的 单调性入手。 解: 设 f(n)= nnnn2 1 3 1 2 1 1 1 (nN, n 2). f(n+1)-f(
7、n)=( ) 1(2 1 3 1 2 1 nnn )-(nnn2 1 2 1 1 1 )= 1 1 22 1 12 1 nnn = )22)(12( 1 nn 0, f(n)是关于 n(nN,n2)的递增函数,则f(n)f(2)=12 7 . 要使不等式成立,只须 12 1 loga(a-1)+ 3 2 0,且 a1,易得函数定义域为x1,即 ax+1. 解: 令 y1= 52x ,y2=x+1,在同一坐标系内 画出这两个函数的图象(如图1) ,然后“看图说 话”,找出y1在图象在y2的图象上方时所对应的x 的集合。 易得,原不等式解集为 - 2 5 ,2). 例 13已知 n 为正整数,实数
8、a1,解关于x 的不等式。 x a log -4 x a2 logx a 3log12xnn a n log)2( 1 3 )2(1 n loga(x 2-a).(1991 年全国高考理25 题) 解: 将原来不等式化简得 3 )2(1 n logax 3 )2(1 n loga(x 2-a)( 1) 作函数 y1=x 和 y2=x 2-a 的图象(如右图)因 x0,且 x 2- a0, x a . 由x=x 2-a 解 得 两 图 象 交 点 的 横 坐 标 为 x0= 2 411a , 因 而 当n为 奇 数时 (1) axx ax 2 此时原不等式解集为x| a 2 411a 。 6利用
9、函数的值域 求函数的值域,涉及到众多数学知识,构成了中学数学的重要横向知识 体系,同时也为利用函数值域解题提供了广阔的天地,尤其对某些含参数的 5 不等式, 在分离参数的基础上,通过求函数的值域进而达到确定参数的取值 范围,从而避免了对参数的繁锁讨论。 例 14已知不等式1cos 2x+sinx+a 4 17 , 对于一切xR 恒成立,求a 的取值范围。 解: 令 f(x)=cos 2x+sinx+a=-sin2x+sinx+1+a=-(sinx- 2 1 ) 2 + 4 5 +a. fmin(x)=-1+a, fmax(x)= 4 5 +a. 要使命题成立,只须 4 17 )( 1)( ma
10、x min xf xf 即 4 17 4 5 11 a a 解得2a3. 例 15若方程 sin 2x+cosx+a=0 有解,求实数 a 的取值范围。 解: 由方程得a=cos 2x-cosx-1 ,设 f(x)=cos2x-cosx-1, 要方程有解, 只须 a 在 f(x)的值域内即可, 而f(x)=(cosx-2 1 ) 2- 4 5 , - 1cosx1, - 4 5 f(x) 1, - 4 5 a1. 例 16若 cos2x-32kcosx-4k, x0,4 时恒成立,求实数k 的范围。 解: 由 cos2x-32kcosx-4k, 得 k x x cos2 cos2 2 , x
11、0,2 , 令f(x)= x x cos2 cos2 2 ,只须 kfmax(x), 而f(x)= x x cos2 cos2 2 =-(2-cosx)+ xcos2 2 +44 -2 2 ,当 2-cosx= xcos2 2 即 cosx=2-2 2 时取等号,k4-2 2 . 7利用一次函数的保号性 某此数学问题,通过构造一次函数,将问题转化为判断一次函数f(x) 在区间 a,b上函数值的符号问题,从而使问题获解。 例 17若对一切 |P| 2, P R,不等式(log2x) 2+Plog 2x+12log2x+P 恒 成立,求实数x 的范围。 解: 原不等式整理为f(P)=(log 2x
12、-1)P+(log2x-1) 20, 要使 f(P) 在 - 2P2 上恒成立,只须 0)2( 0)2( f f , 即 0) 1)(log1(log 0)3)(log1(log 22 22 xx xx 解得 log2x3 故 x(0,2 1 ) (8, + ). 6 例 18已知 |a|a+b+c. 证:构造函数f(x)=(bc-1)x+2-b-c, 这里 |b|0 f(1)=bc-1+2-b-c=(1-b)(1-c)0 一次函数f(x)=(bc-1)x+2-b-c, x(-1,1)的图象在x 轴上方, 这就 是说,当 |a|0,即 abc+2a+b+c. 8利用二次函数的性质 二次函数的应
13、用十分广泛,当所给问题含有形如m+n=p, mn=q 的等式, 或含有与二次函数的判别式相似的结构时,常可通过构造相关的二次函数来 促使问题的解决。 例 19设二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a0) ,方程 f(x)-x=0 的两个根x1, x2 满足 00,二次函数F1(x)=f(x)-x的开口向上,其 顶点横坐标2 21 xx x1,又 F1(0)=c0 ,f(x1)=0, 所以当 00 , 又 x1x2=a c , c-x 1=ax1x2-x1=x1(ax2-1)0, 及 4 3, 得 2 15 sin 2 4 3 , e 2 =( a c ) 2= t t t tb 1 1 1sin1 sin sin sin 24 2 2 22 , 其中 t=sin 2 ( 2 15 , 4 3 , 知 f(t)= t t 1 1 是增函数,故 f(2 15 )e 2f( 4 3 ) 即 1e 2 7 12 , 1e 7 212 . 函数思想作为中学数学的主线,其思想的高瞻性、应用的广泛性、解 法的多样性、思维的创造性确定了它在高考数学试卷中函数的比重仍然很 大,不仅会出现有关函数性质巧妙组合的小题,而且会出现融入各方面知识 的函数的压轴题, 考查学生推理、 论证的能力, 以适合高校选拔人才的需要。
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